1、 由双曲线上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦点半径，简称焦半径。双曲线的焦半径是一个非常重要的几何量，从双曲线的第二定义可以推导出双曲线的焦半径公式。在涉及到焦半径或焦点弦的一些问题时，常利用焦半径公式把问题转化，简化运算过程。先看例题：例：已知点 P(x ， y )在双曲线 = 1 (a0， b0)上， F ， F 分别为双曲线的左、02axby12右焦点。若点 P 在右半支上，则| PF | = x + a，| PF | = x a；若点 P 在左半支上，1e02e0则| PF | =( x + a) ，| PF | =( x a)，其中 是双曲线的离心率。1e02证明：双曲线 =
2、1 (a0，b0)上的两焦点 ，相应的准线方程分2ayFc120()()， 、 ，别是 xca2和双曲线上任一点到焦点的距离与它到相应准线的距离的比等于双曲线的离心率，若点 P 在右半支上，则 。12200|PF|eeaaxcc，化简得 。1020|x|PFa，同理可证若点 P 在左半支上，则| PF | =( x + a) ，| PF | =( x a)。1e02e0注意：（1） 都是双曲线上的点到焦点的距离，习惯称作焦半径;|F12、（2）若点 P 在左半支上,也可以根据点 P 在右半支上的焦半径公式和双曲线的第一定义推导出点 P 在左半支上的焦半径公式。整理：已知点 P(x ， y )在
3、双曲线 = 1 (a0， b0) 上， F ， F 分别为双曲线的左、右02axby12焦点。若点 P 在右半支上，则| PF | = x + a，| PF | = x a；1e02e0若点 P 在左半支上，则| PF | =( x + a) ，| PF | =( x a)，0其中 是双曲线的离心率。e焦点在 y 轴上的双曲线类似处理。再看一个例题，加深印象例点 A(x0,y0)在双曲线 = 1 的右支上,若点 A 到右焦点的距离等于 2x0,则2x4y3x0=_.解：设点 A 到右准线的距离等于 d,0062|()3Fedx得 。02x总结：1.根据双曲线不同形式的标准方程，合理选择相应的焦
4、半径公式。利用焦半径公式，可使运算过程简便易行。2.在涉及到双曲线上的点与其焦点的距离，如果直接用两点间距离公式，运算将非常复杂，而选用焦半径公式使得运算简洁练习：1.设 F 、 F 是双曲线 = 1 (a0， b0)的左、右两个焦点，l 为左准线，离心率122axbye= ，P( ,m)是左支上一点， P 到 l 的距离为 d，且 d，| PF |，| PF |成等差数列，38 12求此双曲线方程。2.双曲线 =1 的两个焦点为 F 、 F ，点 P 在双曲线上，若 P F P F ，则点 P 到92x16y12 12x 轴的距离为_.3.已知双曲线 = 1 的左、右焦点分别为 F 、F ，
5、左准线为 能否在双曲线的左25x42y12l支上找到一点 P，使| PF |是 P 到 的距离与| PF |的等比中项？若能，试求出 P 点坐标；1l2若不能，请说明理由4. 已知双曲线 的焦点为 F1,F2,点 M 在双曲线上且 ,则点 M 到 x 轴2yx120F的距离为( )A. B. C. D.435333答案：1.分析；利用焦半径，结合双曲线的第二定义列出等式，求出待定系数.解：由双曲线的第二定义知： d = | PF |，又| PF | =( x + a) = 14 a, 3211e0| PF | =( x a) = 14 a,由已知得： d| PF | = 2| PF |，即 (
6、14 a)(14 a)2e0 2132=282 a 得： a = 2， c =3， b = ，故双曲线的方程为 =1。54x5y2.分析；利用焦半径及勾股定理，列出等式，求出 P 点纵坐标即可。解：不妨设 P 在双曲线上右支上，设 P(x ， y )，0则| PF | = x + a = 3 x ，| PF | = x a = x 3，1e0502e50则| PF | | PF | = |F F | ，即：(3 x ) ( x 3) =100，221222所以 = ，又 =1，所以 = ，所以点 P 到 x 轴的距离为 。20x53690x6y20y565163.分析；此题为探索题目，一般可设存在点 P，再利用焦半径及等比数列概念列等式可求解。
