1、1.4 计数应用题五分钟训练（预习类训练，可用于课前）1.将(x-q)(x-q-1)(x-19) 写成 的形式是( )mnAA. B. C. D.19xqA20xq qxA19 qxA20答案:D解析：由排列形式可看出(x-q)为最大数,共有 x-q-(x-19)+1=20-q 个数连乘, .qxmn202.已知1,2 X 1,2,3,4,5,满足这个关系式的集合 X 共有_个( )A.2 B.6 C.4 D.8答案:D解析：由题意知集合 X 中的元素 1,2 必取,另外,从 3,4,5 中可以不取,取 1 个,取 2 个,取 3 个,故有 =8(个).32130C3.将 7 名学生分配到甲,
2、乙两个宿舍中,每个宿舍至少安排 2 名学生,那么互不相同的分配方案共有( )A.252 种 B.112 种 C.70 种 D.56 种答案:B解析：分两类:甲,乙每屋住 4 人,3 人或 5 人,2 人,所以共 有 =352+212=112(种).2127237AC4.在所有无重复数字的四位数中,千位上的数字比个位上的数字大 2 的数共有_个.答案:448解析：形如 20,31,42,53,64,75,86,97 符合条件,共有 8 =448 个.2A十分钟训练（强化类训练，可用于课中）1.直角坐标系 xOy 平面上,在平行直线 x=n(n=0,1,2,5)与平行直线 y=n(n=0,1,2,
3、5)组成的图形中,矩形共有( )A.25 个 B.36 个 C.100 个 D.225 个答案:D解析：在垂直于 x 轴的 6 条直线中任取 2 条,在垂直于 y 轴的 6 条直线中任取 2 条,4 条直线相交得出一个矩形,所以矩形总数为 =1515=225 个.故选 D.6C2.有 5 个坐位连成一排,现在安排 3 个人就坐,则有两个空位不相连的不同坐法共( )A.28 种 B.36 种 C.60 种 D.72 种答案:B解析：用插空法,首先让三人就坐有 种方法,然后再从 4 个空中选两个把坐位放进去有3A种方法,则共有不同坐法 =36 种.24C24C33.七种新产品排成一排参加展览,要求
4、甲,乙两种产品之间恰有两种其他产品,则不同的排列方法共有( )A.120 种 B.240 种 C.480 种 D.960 种答案:D解析：分步,第一步:从甲,乙以外的 5 种产品中任选两种产品放在甲,乙中间,有 种方法.25C第二步:把甲,乙与其中间的两种产品看作一个元素 ,与其他三种产品进行排列有 种方法.4A第三步:对甲,乙进行排列有 种方法.2A第四步:对甲,乙中间的两种产品进行排列有 种方法.2所以有 =960 种方法.25C424.某外商计划在 4 个候选城市投资 3 个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过 2 个,则该外商不同的投资方案有( )A.16 种 B.36 种 C.
5、42 种 D.60 种答案:D5.从 a,b,c,d,e 五名运动员中,选出四人参加 4100 米接力赛,则不同的选取方案有_种.答案:5解析： =5 种.45C6.某学习小组有 8 个同学,从男生中选 2 人,女生中选 1 人参加数学,物理,化学三种竞赛,要求每科均有 1 人参加,共有 180 种不同的选法,那么该小组中男,女同学各有多少人?解:设男生有 x 人,则女生有(8-x)人,依题意,=180,382Ar (8-x)6=180,)(x3-9x2+8x+60=0,(x3-5x2)-(4x2-20x)-(12x-60)=0,(x-5)(x2-4x-12)=0.x1=5,x2=6,x3=-
6、2(舍).男生 5 人,女生 3 人,或男生 6 人,女生 2 人.30 分钟训练（巩固类训练，可用于课后）1.从集合1,2,3,11中任取两个元素作为椭圆方程 =1 中的 m 和 n,则能组成落在2nyx矩形区域 B=(x,y)|x|11 且|y|9 内的椭圆个数为( )A.43 B.72 C.86 D.90答案:B解析：m1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,n1,2,3,4,5,6,7,8.故椭圆个数为 -8=72.10C82.四棱锥的 8 条棱分别代表 8 种不同的化工产品,有公共点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是危险的,没有公共点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是安全的
7、.现打算用编号为的 4 个仓库存放这 8 种化工产品,那么安全存放的不同方法种数为( )A.96 B.48 C.24 D.0答案:B解析：8 条棱没有公共点只能分成四组,否则三条棱时必会有公共点,而分成四组,每组两条没有公共点的棱有且仅有下面两种情况:SA,CD;SB,AD;SC,AB;SD,BC 或SA,BC;SB,CD;SC,AD;SD,BC.把四个组排列到四个空白中有 种不同的方法,故存在不同方4A法种数为 2 =48 种方法.4A3.新区新建有 5 个住宅小区(A,B,C,D,E),现要铺设连通各小区的自来水管道 ,如果它们两两之间的线路长如下表:地名线路长地名A B C D EA -
8、 5 7 8 5B 5 - 3 5 2C 7 3 - 5 4D 8 5 5 - 4E 5 2 4 4 -则最短的管线长为( )A.13 B.14 C.15 D.17答案:B解析：从 B 开始寻找最短路线 ,如下图.4.由 0,1,2,9 这十个数字组成的无重复数字的四位数中,个位数字与十位数字之差的绝对值等于 8 的个数为( )A.180 B.196 C.210 D.224答案:C解析：由题意知可能情况有:(1)_ 0 8 (2)_ 8 0 (3)_ 1 9 (4)_ 9 1 对(1)(2)都有不同数字 =87=56 种,28A对(3)(4)都有不同数字 =49 种.17C则共有(56+49)
9、2=210 种不同的四位数.5.从集合O,P,Q,R,S与0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中各任取 2 个元素排成一排(字母和数字均不能重复).每排中字母 O,Q 和数字 0 至多只出现一个的不同排法种数是_.(用数字作答)答案:8 424解析： 若字母 O,Q 和数字 0 都不出现是 种.4293AC若数字 0 出现是 种.41923AC若字母 O,Q 出现其一是 种.429132综上,共有( ) =8 424 种.19329346.把 9 个相同的球放入编号为 1,2,3 的箱子里,要求每个箱子放球的个数不小于其编号数,则不同的放法有_种.(用数字作答)答案:10解析：要使每个箱子放
10、球数不小于其编号数,即在 1,2,3 三个箱子里至少要分别放进 1,2,3 个小球,这样只剩下 3 个任意放到三个箱子里,有三种情况.1 3 个一组有 3 种放法;2 2 个一组另一个一组, =6 种放法;23A3 一个一组 ,只有一种放法.所以共有 3+6+1=10 种.7.三个人坐在一排八个坐位上,若每个人的两边都要有空位,则不同的坐法种数为_.答案:24解析：根据题意,两端的坐位要空着,中间 6 个坐位坐三个人,再空三个坐位,这三个坐位之间产生四个空,可以认为是坐后产生的空.故共有 =24 种.这种执果索因的思考方法是处理排34A列,组合问题常用的方法.8.6 个女同志(其中有一个领唱
11、)和 2 个男同志,分成前后两排表演 .(1)每排 4 人,问共有多少种不同的排法?(2)领唱站在前排,男同志站在后排,还是每排 4 人,问有多少种不同的排法 ?解:(1)要完成这件事,必须分三步 :第一步,先从 8 人中选 4 人站在前面,另 4 人站在后面,这共有 种不同方法;4848C第二步,前面 4 人进行排列,有 种方法;A第三步,后面 4 人也进行排列,有 种方法.4三步依次完成,才算这件事完成,故由分步计数原理有 N= =40 320 种不同的排法.48CA(2)分三步:第一步,除领唱和男同志外,从剩余的 5 位女同志中任选 3 位站在前排,共 种不35235C同的方法;第二步,
12、前面 4 人进行全排列,有 种方法;4A第三步,后排 4 人进行全排列,有 种方法.4三步依次完成,才算完成此事,所以共有 N= =5 760 种不同的排法.435AC9.解不等式: 6 .xA82解: ,)!10(6)!(即(10-x)(9-x)6.x2-19x+840.7x12.又 8x,且 x-20,即 2x8,则 7x8.故 x=8.10.方程 a+b+c+d=12 有多少组正整数解?解:建立隔板模型:将 12 个完全相同的球排成一列,之间有 11 个空,任意插入 3 块隔板,把球分成 4 堆,而每一种分法所得各堆球的数目,即为 a,b,c,d 的一组正整数解 ,故原方程的正整数解的组数共有 =165(组).31C
