1、课堂导学三点剖析一、二项展开式的通项【例 1】 已知 展开式中,前三项系数的绝对值依次成等差数列.nx)21(4(1)证明展开式中没有常数项;(2)求展开式中所有有理项.解析:依题意,前三项系数的绝对值是 1, ,且 所以 n2-21)(,nC142nC9n+8=0.所以 n =8(n =1 舍).所以 Tr+1= .2)1(2() 4316848 rrrrr xxC(1)若 Tr+1 为常数项 ,当且仅当 =0 时,即 3r=16.因为 rN,这不可能,所以展开式中没有6常数项.(2)若 Tr+1 为有理项 ,当且仅当 为整数.431r因为 0r8,rN,所以 r 为 4 的倍数.所以 r=
2、0,4,8.则有理项为 T1=x4,T5= .2,8389x温馨提示对二项展开式结构特点认识的深刻和熟练,是解决类似问题的关键.二、利用二项式定理求系数的和【例 2】 已知 展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大 992,求展开式nx)3(2中系数最大的项.解析:令 x=1 得各项系数的和为(1+3) n=4n,而各项的二项式系数的和为nnoC2.1由已知 4n=2n+992,2n=32(2n=-31 舍),n=5,设第 r+1 项系数最大,则 135,6,3155 rCrr即 r ,又 rN,r=4.418系数最大的项是第 5 项.T5= .326423405)(xxC温馨提示(1)赋值
3、法是解决二项展开式有关系数( 或二项式系数)“和”问题的一般方法.(2)要注意系数和二项式系数的本质区别.三、二项式定理的综合应用【例 3】 (1)91 92 除以 100 的余数是几?(2)求证:3 2n+2-8n-9(nN*)能被 64 整除.(1)解:91 92=(90+1) 92= 90 92+ 90 91+ 902+ 90+1,092C19290C91由于前面各项均能被 100 整除,只有末尾两端不能被 100 整除,由于 90+1=8 281=8 200+81,912被 100 除余 81.(2)证明:3 2n+2-8n-9=9n+1-8n-9=(8+1)n+1-8n-9=(8n+
4、1+C1n+18n+ 8 n-1+ 8+1)-8n-91Cn1=8n+1+ 8n+ 8n-1+ 82,121n而上式各项均为 64 的倍数,32n+2-8n-9(nN*)能被 64 整除 .温馨提示用二项式定理证明整除问题时,首先需注意(ab) n 中,a、b 中有一个必须是除数的倍数,其次,展开式的规律必须清楚余项是什么,必须写出余项,同理可处理系数的问题.各个击破类题演练 1求 展开式中的常数项.5)(x解析:由于本题只是 5 次展开式 ,可以直接展开( x+ )-1 5,1即(x+ )-1 5=(x+ )5-5(x+ )4+10(x+ )3-10(x+ )2+5(x+ )-1.11由 x
5、+ 的对称性,只有在(x+ )的偶次幂中,其展开式才会出现常数项 ,且是各自的中间项,所以其常数项为 =-51.10524C变式提升 1若(2x+ )4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则(a 0+a2+a4)2-(a1+a3)2 的值是( )3A.1 B.-1 C.0 D.2解析:(2x+3) 4= ,4342243140 )2()()()()( xCxxCC a0= (3)4=9,a1= 21(3)3=243,4Ca2= 22(3)2=72,a3= 233=323,4a4= 24=16.C(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=972-(563)2=9 409-9 408=1
6、.答案:A类题演练 2(1)若(2x+ )3=a0+a1x+a2x2+a3x3,则(a 0+a2)2-(a1+a3)2 的值为( )A.-1 B.1 C.0 D.2(2)(2x+ )3 的展开式中各项二项式系数之和为_.解析:(1) 令 x=1,则(2+ )3=a0+a1+a2+a3,令 x=-1,则(-2+ )3=a0-a1+a2-a3,相乘得(a 0+a2)2-(a1+a3)2=(a 0+a2)+(a1+a3) (a 0+a2)-(a1+a3)=(2+ )3(-2+ )3=(-1)3=-1,选 A.(2)各项二项式系数之和为 =23=8.23103C答案:(1)A (2)8变式提升 2等于
7、( )109310102.4CA.3210 B.3 10C. D.)(29)3(10解析:观察结构与二项展开式结构作比较,发现.1)2(.12)2.( 0108091019310210 CCC所以原式= ,选 D.)(答案:D类题演练 3求证:对任何自然数 n,33n-26n-1 可被 676 整除.证明:当 n=0 时,原式=0, 可被 676 整除;当 n=1 时,原式=0, 也可被 676 整除;当 n2时,原式=27 n-26n-1=(26+1)n-26n-1=( + 262+ 26+1)-26n-126nnC1n1nC1=26n+ 26n-1+ 262.1Cn每一项都含 262 这个
8、因数,故可被 262=676 整除.综上所述,对一切自然数 n,33n-26n-1 可被 676 整除.变式提升 3(1)设(1+x) 3+(1+x)4+(1+x)50=a0+a1x+a2x2+a3x3+a50x50,则 a3 为( )A. B. C. D.51C5150C450C(2)(1-x3)(1+x)10 的展开式中,x 5 的系数是( )A.-297 B.-252 C.297 D.207解析:(1)(1+ x)3+(1+x)4+(1+x)50= ,xx351483 )()()1( x3 的系数 a3,即为(1+x )51 展开式中 x4 项的系数 ,选 B.45C(2)(1-x3)(1+x)10=(1+x)10-x3(1+x)10,x5 的系数为 =207,选 D.2105C答案:(1)B (2)D
