1、1.3 组合学习目标 重点、难点1通过实例能理解组合的概念；2能利用计数原理推导组合数公式；3能理解组合数的有关性质；4能用组合数公式解决简单的实际问题.重点：排列与组合的区分，及组合数公式难点：排列与组合的区分，利用组合数公式解决简单的实际问题.1组合的概念一般地，从 n 个不同元素中取出 m(mn) 个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合预习交流 1如何区分排列问题和组合问题？提示：区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题；而交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题2组合数从
2、 n 个不同元素中取出 m(mn) 个元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用符号 C 表示mnC .mnAmnAm nn 1n 2n m 1m！ n！m！ n m！预习交流 2如何理解和记忆组合数公式？提示：同排列数公式相类比，在排列数公式的基础上，分母再乘以 m！.3组合数的性质性质 1：C C ，性质 2：C C C .mn n mn mn 1 mn m 1n预习交流 3如何理解和记忆组合数的性质？提示：从 n 个元素中取 m 个元素，就剩余 (nm) 个元素，故 C C .从 n1 个元mn n mn素中取 m 个元素记作 C ，可认为分作两类：第一类
3、为含有某元素 a 的取法为 C ；mn 1 m 1n第二类不含有此元素 a，则为 C ，由分类计数原理知：C C C .mn mn 1 mn m 1n在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点 我的学疑点一、组合问题判断下列问题是组合问题，还是排列问题设集合 Aa，b，c，d，则集合 A 的含 3 个元素的子集有多少个？一个班中有 52 人，任两个人握一次手，共握多少次手？4 人去干 5 种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？思路分析：交换两个元素的顺序，看结果是否有影响，如无影响则是组合问题解：因为集合中取出的元素具有“无序性” ，故这是组合问题
4、；因为两人握手是相互的，没有顺序之分，故这是组合问题；因为 5 种工作是不同的，一种分工方法就是从 5 种不同的工作中选出 4 种，按一定的顺序分配给 4 个人，它与顺序有关，故这是排列问题下列问题中，是组合问题的有_从 a，b，c，d 四名学生中选 2 名学生完成一件工作，有多少种不同的选法；从 a，b，c，d 四名学生中选 2 名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法；a，b，c，d 四支足球队进行单循环赛，共需多少场比赛；a，b，c，d 四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果答案：解析：2 名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题；2 名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列
5、问题；单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题；冠亚军是有顺序的，是排列问题组合问题与顺序无关，而排列问题与顺序有关二、组合数公式及组合数的性质(1)计算 C C ；98100 199200(2)已知 C C ，求 n；3n 618 4n 218(3)化简 C C C C 1.45 46 47 48思路分析：先把组合数利用性质化简或利用组合数性质直接求解解：(1)C C C C 2005 150.98100 199200 2100 1200100992(2)由 C C ，知 3n64n2 或 3n6(4 n2)18，解得 n8 或 2.3n 618 4n 218而 3n6
6、18 且 4n218，即 n4 且 nN *，n2.(3)C C C C 11C C C C C C C C C C C C45 46 47 48 45 46 47 48 5 45 46 47 48 56 46C C C C C C C C 126.47 48 57 47 48 58 48 59 4998764321(1)C C C C _；34 35 36 310(2)(C C )A _.98100 97100 3101答案：(1)329 (2)16解析：(1)原式C C C C C C C C 1 C C 1C 1329.4 34 35 310 4 45 35 310 410 310 41
7、1(2)原式C A C A A .98101 3101 3101 3101A31013！ 3101 16利用组合数的性质解题时，要抓住公式的结构特征，应用时，可结合题目的特点，灵活运用公式变形，达到解题的目的三、组合知识的实际应用现有 10 名教师，其中男教师 6 名，女教师 4 名(1)现要从中选 2 名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)现要从中选出男、女教师各 2 名去参加会议，有多少种不同的选法？思路分析：由于选出的教师不需要考虑顺序，因此是组合问题第(1)小题选 2 名教师不考虑男女，实质上是从 10 个不同的元素中取出 2 个的组合问题，可用直接法求解第(2)小题必须选男、女教师
8、各 2 名，才算完成所做的事，因此需要分两步进行，先从 6 名男教师中选 2 名，再从 4 名女教师中选 2 名解：(1)从 10 名教师中选 2 名参加会议的选法数，就是从 10 个不同元素中取出 2 个元素的组合数，即 C 45 种21010921(2)从 6 名男教师中选 2 名的选法有 C ，从 4 名女教师中选 2 名的选法有 C 种，根据26 24分步乘法计数原理，因此共有不同的选法 C C 90 种26 2465214321某小组共有 10 名学生，其中女生 3 名，现选举 2 名代表，至少有 1 名女生当选的不同选法有多少种？解：方法一：(直接法)至少 1 名女生当选可分为两类
9、：第一类：1 名女生 1 名男生当选代表，有 C C 种方法，第二类：2 名女生当选代表，13 17有 C 种方法由分类加法计数原理，至少有 1 名女生当选的不同选法有23C C C 21 324 种13 17 23方法二：(间接法)10 名学生中选 2 名代表有 C 种选法，若 2 名代表全是男生有 C210种选法，所以至少有 1 名女生当选代表的选法有 C C 24 种27 210 27利用组合知识解决实际问题要注意：将已知条件中的元素的特征搞清，是用直接法还是间接法；要使用分类方法，要做到不重不漏；当问题的反面比较简单时，常用间接法解决1给出下面几个问题，其中是组合问题的有_某班选 10
10、 名学生参加拔河比赛；由 1,2,3,4 选出两个数，构成平面向量 a 的坐标；由 1,2,3,4 选出两个数分别作为双曲线的实轴和虚轴，焦点在 x 轴上的双曲线方程数；从正方体 8 个顶点中任取两个点构成的线段条数是多少？答案：解析：由组合的概念知是组合问题，与顺序无关，而是排列问题，与顺序有关2C 2C C _.978 968 958答案：161 700解析：原式C C C C C C C C 161 700.978 968 968 958 979 969 97100 31003平面上有 12 个点，其中没有 3 个点在一条直线上，也没有 4 个点共圆，过这几个点中的每三个点作圆，共可作_
11、个圆答案：220解析：由题意知，可作 C 220 个不同的圆3121211103214解方程：C C C .x17 x16 2x 216解：C C C ，C C C ，C C .x17 x16 x 116 x17 x16 x 116 x 116 2x 216由组合数的性质得 x12x 2 或 x12x216，解得 x3(舍)或 x5.x5.5平面内有 10 个点，其中任何 3 点不共线，以其中任意 2 点为端点，试求：(1)线段有多少条？(2) 有向线段有多少条？解：(1)所求线段的条数，即为从 10 个元素中任取 2 个元素的组合，共有 C 21045 条不同的线段10921(2)所求有向线段的条数，即为从 10 个元素中任取 2 个元素的排列，共有A 10990 条不同的有向线段210用精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来，并进行识记知识精华 技能要领
