1、互动课堂疏导引导本课时重点掌握微积分定理.1.导数和定积分的联系如图,一个做变速直线运动的物体的运动规律是 s=s(t),由导数的概念可知,它在任意时刻t 的速度 v(t)=s(t).设这个物体在时间段 a,b内的位移为 s,你能分别用 s(t)、v(t)表示 s 吗?显然,物体的位移 s 是函数 s=s(t)在 t=b 处与 t=a 处的函数值之差 ,即 s=s(b)-s(a). 另一方面,我们还可以利用积定分,由 v(t)求位移 s.用分点 a=t0t 1t i-1t it n=b,将区间a,b等分成 n 个小区间: t 0,t1,t 1,t2, ,t i-1,ti, ,t n-1,tn,
2、每个小区间的长度均为 t=ti-ti-1= .ab当 t 很小时,在t i-1,ti上,v(t)的变化很小,可以认为物体近似地以速度 v(ti-1)做匀速运动,物体所做的位移 sihi=v(ti-1)t=s(ti-1)t= s(ti-1). n从几何意义上看(如图),设曲线 s=s(t)上与 ti-1 对应的点为 P,PD 是 P 点处的切线,由导数的几何意义知切线 PD 的斜率等于 s(ti-1),于是 Sihi=tanDPCt=s(ti-1)t.结合图可得物体总位移s= si hi= v(ti-1)t= s(ti=1)t.ni1nl1ni1显然,n 越大,即 t 越小,区间a,b 的分划就
3、越细, v(ti-1)t= s(ti-1)t 与 s 的近ni1ni1似程度就越好.由定积分的定义有 s= v(ti-1)nlim1ab= s(ti-1)nlim1ab= v(t)dt= s(t)dt.baba结合 有 s= v(t)dt= s(t)dt=s(b)-s(a).ba上式表明,如果做变速直线运动的物体的运动规律是 s=s(t),那么 v(t)=s(t)在区间a,b上的定积分就是物体的位移 s(b)-s(a).一般地,如果 f(x)是区间 a,b上的连续函数,并且 F(x)=f(x),那么 f(x)dx=F(b)-F(a).ba这个结论叫做微积分基本定理.理解微积分基本定理需注意以下
4、几个方面：1.在区间a，b上连续函数 f(x)的定积分是一种和式的极限.2.函数 f(x)在区间 a，b上连续这一条件保证了定积分(和的极限)的存在性.3.从定积分定义可知，定积分就是和的极限 f(i)x= f(x)dx，而 f(x)dx 只是nlim1baba这种极限的一种记号，表示一个常数.4.若 F(x)是 f(x)的原函数，则 F(x)+C 也是 f(x)的原函数，随着常数 C 的变化，f(x)有无穷多个原函数，这是因为 F(x)=f(x)，则F(x)+C=F(x)=f(x)的缘故，因为 f(x)dx=F(x)ba+C =F(b)+C - F(a)+C =F(b)-F(a)=F(x)
5、.所以利用 f(x)原函数计算定积分时，一般ba| ba|只与一个最简单的，不再加任意常数 C 了.活学巧用1.求定积分 ( )dx.212x解析： ( )dx= xdx+ dx- dx2121x21= +lnx +|= (4-1)+ln2+( -1)=1+ln2.22.设 f(x)= 求 f(x)dx.,0,1cos2x1解析： f(x)dx= x2dx+ (cosx-1)dx11= x3 +(sinx-x) =sin1 .1010323.求 (sinx+2cosx)dx.20解析： (sinx+2cosx)dx= sinxdx+2 cosxdx=-cosx +2sinx20202020=-
6、cos -(-cos0)+2sin -2sin0=3.24.求定积分 dx.102x解析：设 y= ,则 x2+y2=1(y0). dx 表示由曲线 y= 在0,1上的一段与坐标轴所围成的面积，即在102x21x第一象限部分的圆的面积. dx= .10245.求定积分 dx32261x.解析：设 y= ,即(x-3) 2+y2=25(y0). dx 表示在-2 ，3上的一段与坐标轴所围成的四分之一圆的面积,322x dx= .61456.证明：(1) f(x)dx=- f(x)dx；baab(2)设 f(x)在-a，a上连续，那么，当 f(x)是偶函数时， f(x)dx=2 f(x)dx，当
7、f(x)是aa0奇函数时， f(x)dx=0.a证明:(1) 设 F(x)是 f(x)在a ， b上的任一原函数，由微积分基本定理得：f(x)dx=F(b)-F(a)，右=- F(a)-F(b)=F(b)-F(a) 左=右，即 f(x)dx=- f(x)dx.ba baba(2) f(x)dx= f(x)dx+ f(x)dx0aa0在左端第一个积分中，令 x=-t，则f(x)dx=- f(t)dt= f(-x)dx0a0a0于是 f(x)dx= f(x)+f(-x)dxa当 f(x)为偶函数时， f(x)=f(-x);当 f(x)为奇函数时， f(x)=-f(-x)，从而得到所需的结果.7.有一直线与抛物线 y=x2 相交于 A、B 两点，AB 与抛物线所围图形的面积恒等于 ，求34线段 AB 的中点 P 的轨迹方程.解析：设抛物线 y=x2 上的两点为 A(a,a2),B(b,b2)，不妨设 ba,直线 AB 与抛物线所围成图形的面积为 S，则S= (a+b)x-ab-x 2dxba=( ) = (b-a)3321xxba6当 S= ,即 (b-a)3= 时，44有 b-a=2 (*)设 AB 的中点 P(x,y)，则x= ,y=2ba2由(*)式得 消去 a 得 y=x2+1212ayx所求 P 点轨迹方程是：y=x 2+1.
