1、2.2 直接证明与间接证明2.2.1 直接证明知识梳理1.直接从原命题的条件逐步推得命题成立的，这种证明称为_（direct proof).2.从已知条件出发，以已知的_ 为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法称为综合法.3.从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件与已知条件吻合为止.这种证明方法称为_.知识导学综合法的基本思路是“由因导果”即从已知看可知，再逐步推向未知的方法.若用 P 表示已知条件，已有的定义、定理、公理等，Q 表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：分析法的基本思路是：从未知看需知，再逐步靠近已知，若用 P 表示已知条
2、件，Q 表示所要证明的结论，则分析法的框图可以表示为疑难突破1.综合法与分析法的异同点：综合法与分析法是两种不同的证明方法，但它们都是直接证法，都属于演绎推理，几何学中的定理和数学问题中的证明，大部分都采用综合法和分析法.综合法与分析法的不同之处是：综合法是“由因导果”，而分析法则是“执果索因”.分析法便于我们去找思路，而综合法便于过程的叙述.2.证明与推理之间的联系和区别.（1）联系：证明过程其实就是推理的过程.就是把论据作为推理的前提，应用正确的推理形式，推出论题的过程.一个论证可以只含一个推理，也可以包含一系列的推理；可以只是用演绎推理，或只用归纳推理，也可以综合运用演绎推理和归纳推理，
3、所以证明就是推理，是一种特殊形式的推理.（2）区别：（）从结构上看，推理包含前提和结论两部分，前提是已知的，结论，是根据前提推出来的；而证明是由论题、论据、论证三部分组成的.论题相当于推理的结论,是已知的，论据相当于推论的前提.（）从作用上看，推理只解决形式问题，对于前提和结论的真实性是管不了的.而证明却要求论据必须是真实的，论题经过证明后其真实性是确信无疑的.典题精讲【例 1】 已知 a、b、c R +,且 a+b+c=1,求证：（ -1)( -1)( -1)8.1思路分析：这是一个条件不等式的证明问题，要注意观察不等式的结构特点和条件a+b+c=1 的合理应用.可用综合法和分析法两种方法证
4、明.证明：(方法 1 综合法）（ -1)（ -1)（ -1)abc=（ )（ -1)（ -1)1acbbccba= = =8abcabc22)()( 当且仅当 a=b=c 时取等号，所以不等式成立.（方法 2 分析法）：要证（ -1)（ -1)（ -1)8 成立a1bc1只需证 8 成立因为 a+b+c=1,所以只需证 8 成立cbabcac)()()(即： 8ba只需证 8 成立cabacc22而 8 显然成立.cbab2（ -1)( -1)( -1）8 成立 .1绿色通道：综合法是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到特征的结论；而在分析法中，从结论出发的每一步骤所得到的判断都是使结论成立
5、的充分条件，最后一步归结到已被证明了的事实.黑色陷阱：在证明不等式时要注意应用重要不等式和不等式的性质，要注意基本不等式应用的条件及等号成立的条件.【变式训练】 已知 a、b、c R +,求证：（ab+a+b+1)(ab+bc+bc+c 2)16abc.证明：综合法：方法 1ab+a+b+1=(a+1)(b+1).ab+ac+bc+c2=(a+c)(b+c)又a0,b0,c0,a+1 0,b+1 0,ba+c 0,b+c .c2c2(a+c)(b+c) ,a4(a+1)(b+1) 0.ab因此当 a,b,cR +时，有(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c2)16abc,结论得证方法 2
6、分析法：要证(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c 2)16abc 成立，只需证：(a+1)(b+1)(a+c)(b+c)16ab 成立.由于 a0,b0,c0.a+1 ,b+1 .2ba+c b+ccc(a+1)(b+1)(a+c)(b+c) =16abc.a2cb2即：(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c 2)16abc 成立.【例 2】 在 ABC 中，三个内角 A、B、C 对应的边分别为 a、b、c,且 A、B、C 成等差数列，a、b、c 成等比数列，求证：ABC 为等边三角形.思路分析：将 A、B、C 成等差数列，转化为符号语言就是 2B=A+C；a、b、c 成等比数列，转
7、化为符号语言就是 b2=ac.A、B、C 为ABC 的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是 A+B+C=,此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状.余弦定理正好满足要求，于是可以用余弦定理为工具进行证明.证明：由 A、B、C 成等差数列，所以有2B=A+C，因为 A、B、C 为ABC 的内角，所以 A+B+C=,所以 B= .3由 a、b、c 成等比数列，有 b2=ac.由余弦定理及 b2=ac,可得：b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac.a 2+c2-ac=ac 即(a-c) 2=0,因此 a=c,从而有 A=C.A=B=C=
8、,所以ABC 为正三角形.3【变式训练】 如图 2-2-1 所示，设在四面体 P-ABC 中，ABC=90,PA=PB=PC,D 是 AC的中点，求证：PD 垂直于ABC 所在的平面.图 2-2-1证明：因为 BD 是 RtABC 斜边上的中线，所以 DA=DC=DB,又因为 PA=PB=PC,而PD 是PAD, PBD, PCD 的公共边，所以PAD PBDPCD.于是，PAD=PBD=PCD,而PDA=PDC=90,因此，PDB=90. 可见 PDAC 和 PDBD.由此可知 PD 垂直于ABC 所在平面.【例 3】 设 a、b、c 为一个三角形的三边，s= （a+b+c)且 s2=2ab
9、,试证：s2a.21思路分析：题目中条件与结论之间的关系不明显，因此可以先结合条件把结论适当的转化.结合条件 s= （a+b+c), 可把结论 s2a 转化为 （a+b+c)2a,即证 b+c3a,我们结合条件21s2=2ab，把结论 s2a 转化为 s ,即 bs.再结合条件 s= （a+b+c),把结论进一步转化2 21为 2ba+b+c,即 ba+c 从而得到证明.证明：要证 s2a，由于 s2=2ab,所以只需证 s ,即 bs,2因为 s= （a+b+c),所以只需证 2ba+b+c,1即 ba+c.由于 a、b、c 为一个三角形的三边，所以上式显然成立.于是原命题成立.绿色通道：利
10、用分析法证明本题要注意挖掘其中的隐含条件，由结论适当转化.在分析法证明中，从结论出发的每一步骤所得到的判断都是使结论成立的充分条件，最后一步归结到已被证明了的事实.【变式训练】 求证：当一个圆和一个正方形的周长相等时，圆的面积比正方形的面积大.证明：设圆和正方形的周长即为 L，依题意，圆的面积为 ,正方形的面积为2)(L2)4(L因此只需证明 .1642L两边同乘以 得： ,因此只需有 4,因为 4 显然成立.2所以， ,即问题得证.)(24【例 4】(2006 年全国高考卷 ,20) 如图 2-2-2 所示，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB=BC，D、E 分别为 BB1，AC 1
11、的中点.（1）证明：ED 为异面直线 BB1 与 AC1 的公垂线；（2）设 AA1=AC= AB，2图 2-2-2求：二面角 A1-AD-C1 的大小.思路分析：本题以直三棱柱为载体，考查异面直线的公垂线的定义及二面角的求法.充分考查了证明的几种方法，在问题中的综合运用能力，会用综合法和分析法来解决问题.解法 1：（1）设 O 为 AC 中点，连结 EO，BO，则 EO C1C，又 C1C B1B2EO DB.EOBD 为平行四边形， EDOB.AB=BC,BOAC,又平面 ABC平面 ACC1A1，BO 面 ABC，故 BO面 ACC1A1ED平面 ACC1A1，ED AC1，EDCC 1
12、.EDBB 1ED 为异面直线 AC1 与 BB1 的公垂线.（2）连结 A1E，由 AA1=AC= AB 可知，A 1ACC1 为正方形，A 1EAC 1，又由 ED2面 A1ACC1 和 ED 平面 ADC1 知，平面 ADC1平面 A1ACC1，A 1E平面 ADC1.作 EFAD ，垂足为 F，连结 A1F，则 A1FAD，A 1FE 为二面角A1-AD-C1 的平面角 .则 AC=2，AB= ，ED=OB=1，EF= ， tanA 1FE= .232DE3EA 1FE=60.所以二面角 A1-AD-C1 为 60.解法 2：（1）如图，建立直角坐标系 O-xyz，其中 O 为 AC
13、的中点.设 A（a,0,0),B(0,b,0),B 1(0,b,2c),则 C(-a,0,0),C1(-a,0,2c),E(0,0,c),D(0,b,c).=(0,b,0), =(0,0,2c), =0,ED1BED1BEDBB 1,同理可证 EDAC 1 所以 ED 是异面直线 BB1 与 AC1 的公垂线.（2）不妨设 A（1，0，0） ，则 B（0，1，0） ，C（-1，0，0） ，A 1（1，0，2） ， =（-BC1，-1，0） ， =（-1，1，0）=（0，0，2） ， =0, =0,即 BCAB ，BCAA 1，又1ABCABC1AABAA1=A，BC面 A1AD.E(0,0,1
14、),D(0,1,1),C(-1,0,0), =(-1,0,-1), =(-1,0,1), =(0,1,0), =0, EEDECA =0 即 ECAE，ECED，又 AEED=E，EC 面 C1AD.ECDcos = =B|CE21即得 和 的夹角为 60.所以二面角 A1-AD-C1 为 60.绿色通道：本题主要考查直线与直线的垂直，直线与平面垂直的判定及二面角平面角的求法.方法一为传统解法，方法 2 为向量解法.两种方法各有千秋，充分体现了思维的灵活性.黑色陷阱:在解决此类问题时，要注意计算方法的灵活性，特别是向量解法，应注意各点的坐标.【变式训练】(2005 年北京高考卷， 20)在直三
15、棱柱 ABC-A1B1C1 中，AC=3，BC=4 ， AB=5，AA 1=4，点 D 是 AB 的中点，如图 2-2-3 所示.（1）求证：ACBC 1；（2）求证：AC 1平面 CDB1；（3）求异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值.图 2-2-3解：解法 1直三棱柱 ABC-A1B1C1 底面三边长 AC=3,BC=4,AB=5.ACBC.BC 1 在平面 ABC 内的射影为 BC,ACBC 1,(2)设 CB1 与 C1B 的交点为 E，连结 DE.D 是 AB 的中点，E 是 BC1 的中点，DEAC 1,DE 平面 CDB1，AC 1 平面 CDB1，AC 1平面 CDB1
16、.（3）DEAC 1,CED 为 AC1 与 B1C 所成的角.在CED 中，ED= AC1= ，CD= AB= ,2525CE= CB1= .2cosCED= 528异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值为 .52解法 2：直三棱柱 ABCA1B1C1 底面三边长 AC=3，BC=4 ，AB=5 ，AC、BC，C 1C 两两垂直.如图所示，以 C 为坐标原点，直线 CA、CB 、CC 1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则 C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4),D( ,2,0)23(1) =(-3,0,0), =
17、(0,-4,4),A1B =0，ACBC 1.C1(2)设 CB1 与 C1B 的交点为 E，连结 DE，则 E（0，2，2） =(- ,0,2), =(-3,0,4),DE231A = ,DEAC 1.1DE 平面 CDB1，AC 1 平面 CDB1，AC 1平面 CDB1.(3) =(-3,0,4), =(0,4,4).ACBcos , = .1 52|1CA异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值为 .问题探究问题 1：设有比例式 .yxzzyx由比例性质可得：= ,)()()(yxzyxzyx 21.1)()(xzyxzy由此可得 =-1.21试指出这个推理的错误所在.导思： yx
18、zzyx= = 是正确的.而得到结论 =-1 的错误原因是什么呢？)()()( 2121探究：由题意令 =t，且 x、y、z0.xzyzxx=t(y+z) y=t(z+x),z=t(x+y)x+y+z=t(y+z)+t(z+x)+t(x+y)=t(2x+2y+2z)=2t(x+y+z).x+y+z0 t= .21由比例式的性质= 是正确的.)()()(yxzyxzyzx 21而 x-y=t(y+z)-t(z+x)=t(y+z)-(z+x)=t(y-x)若 x-y0,t=-1.此题错误的关键在于没有考虑 x=y 的情况.所以这个推理错误的关键是题目中没有告诉 x、y、z 是否完全相等，若 x=y
19、=z，则第二个关系式是错误的.由此题可以看出，在证明问题的过程中，证明要严谨，思考要缜密，做到无懈可击，无可置疑.问题 2：在ABC 中，BC、AC 边上的中线所在的直线 AD 与 BE 相交于点 H.求证：AB 边上的中线所在的直线也通过点 H.证明：因为任何三角形的三条中线所在的直线相交于一点，所以 AB 边上的中线所在的直线一定通过点 H.上述命题的证明正确吗？如果不正确，请说出错误的原因.导思：这里的论据是“三角形的三条中线所在的直线相交于一点， ”这个论据实质上就是论题的另一种表达方式.因此，证来证去还是围绕着论题转圈子，结果什么也没有证明，犯了循环论证的逻辑错误.探究：此问题可以用向量的方法来证明.证明：首先令 =a, =b，有 =a-b, =a- b, =- a+b,再令 AD 与 BE 交于ACBAD21BE点 G1 并假定 =a+ bAC2 = a+b,又由于 = + =（1 ）a+(-1)b,B1GAB2所以 ,12由此可得 = ,所以 = .31AG32D再令 AD 与 CF 相交于 G2，同理可证 = ，因此 G1、G 2 重合，即 AD、BE、CF23A交于一点，故三角形三条中线交于一点.
