1、课堂导学三点剖析一、排列的简单应用【例 1】从 19 的九个数字中，取出 5 个数作排列，并把五个位置自右至左编号，则奇数数字必在奇数位置上的排列有多少个？解法一：1，2，9 中只有四个偶数数字，故排列中至少有一个奇数数字，一奇四偶的排列可按下列程序得到： 从五个奇数数字中选取一个放在三个奇数位置中的一个上，再把四个偶数数字排在剩下的四个位置上，因此一奇四偶的排列有 ，类似15C34A地，二奇三偶的排列有 种；三奇二偶的排列有 种，因此适合题意25C32A34 324的排列个数有 + + =2 520（个）.1534252解法二：（转换思维角度，将本题解释为“偶数位置上的数字必是偶数”） ，由
2、题意知：只有两个偶数位置，应从四个偶数中选取两个排列在这两个偶数位置上，有 种排列，再从剩24A下七个数字中选取两个排列在其余三个位置上，有 种排法，故适合题意的排列个数是37A =2 520（个）.24A37温馨提示一定要认真审题,弄清题目所蕴含的含义,否则就会出现一些不该出现的错误.不同情形的分类要考虑周密，做到不重不漏，另外在解决数字排列问题时还必须熟悉自然数的性质，同时数字 0 的安排要特别引起重视.二、排列的综合应用【例 2】六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？（1）甲不站两端； （2）甲、乙必须相邻；（3）甲、乙不相邻； （4）甲、乙之间间隔两人；（5）甲、乙站在两端；
3、 （6）甲不站左端，乙不站右端.思路分析：本题主要考查有限制条件的排列应用题的解法及分类讨论的思想和分析问题、解决问题的能力.解：（1）解法一：要使甲不站在两端，可先让甲在中间 4 个位置上任选 1 个，有 种站14A法，然后其余 5 人在另外 5 个位置上作全排列有 种站法,根据分步计数原理，共有站法5A =480（种）.14A5解法二：由于甲不站两端，这两个位置只能从其余 5 人中选 2 个人站，有 种站法,25A然后中间 4 人有 种站法,根据分步计数原理,共有站法 =480（种）.4 A4解法三：若对甲没有限制条件共有 种站法，甲在两端共有 2 种站法，从总数中6 5减去这两种情况的排
4、列数，即得所求的站法数，共有 -2 =480（种）.65（2）解法一：先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，有 种站法，再反甲、乙进行5A全排列，有 种站法，根据分步计数原理，共有 =240（种）站法.2A52解法二：先把甲、乙以外的 4 个人作全排列，有 种站法，再在 5 个空档中选出一个4供甲、乙放入.有 种方法，最后让甲、乙全排列，有 种方法，共15 2A有 =240（种）.4A152（3）因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用“插空法”，第一步先让甲、乙以外的 4 个人站队，有 种；第二步再将甲、乙排在 4 人形成的 5 个空档（含两端）中，有 种，故共4 25A有站法为 =480（种）
5、.425（4）解法一：先将甲、乙以外的 4 个人作全排列，有 种，然后将甲、乙按条件插入站4A队，有 3 种，故其有 （ 3 ）=144 种站法.2A2A解法二：先从甲、乙以外的 4 个人中任选 2 人排在甲、乙之间的两个位置上，有 种，24A然后把甲、乙及中间 2 人看作一个“大”元素与余下 2 个作全排列有 种方法，最后对甲、3A乙进行排列，有 种方法，故共有 =144 种站法 .A24A3（5）解法一：首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有 种，再让其他 4 人在中间位置2作全排列，有 种，根据分步计数原理，共有 =48 种站法.4 24解法二：首先考虑两端两个特殊位置，甲、乙去站有 种站
6、法，然后考虑中间 4 个位2A置，由剩下的 4 人去站，有 种站法，由分步计数原理共有 =48 种站法.4A24（6）解法一：甲在左端的站法有 种，乙在右端的站法有 种，且甲在左端而乙在右端5 5的站法有 种，共有 -2 + =504 种站法.4A654解法二：以元素甲分类可分为两类:甲站右端有 种, 甲在中间 4 个位置之一,而5A乙不在右端有 种，故共有 + =504 种站法.1445144温馨提示此题将排列问题整理得很好，情况很全、方法很多，是一个好题.三、证明排列恒等式【例 3】求证: +m = .mnA1mn证明： +m = +mn1)(!)!1(= )!(!m= )!1(!n= )
7、(m= nA1所以 +m = .m1nm各个击破类题演练 1用 0，1，2，3，4，5 组成无重复数字的四位数，其中有多少个偶数，若将这些偶数从小到大排列，3 402 是第几位数？解析：（1）按个位情形分类：个位为 0 的有 =60 个；个位不为 0 的，先排个位接35A着排首位，再排中间两位有 =96 个，故所求的四位偶数共有 60+96=156 个.12A4（2）按千位进行分类：千位为 1 时，先排个位，再排中间两位有 个；千位为 213A24时有 个；千位为 3 时，百位为 0 或 2 的 22 个，百位为 1 的有 3 个，百位为1A24 134 的仅 1 个.总共有 + +4 3 +
8、1=82 个，即所得偶数从小到大排列，3 402 是124A1第 82 个数变式提升 1某信号兵用红、黄、蓝三面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以挂一面、两面或三面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？解析：表示信号这件事，可分为三类：第一类 挂一面旗表示信号，是从 3 个不同元素中任取 1 个元素的排列，共有 种不同的13A方法；第二类 挂两面旗表示信号，是从 3 个不同元素中任取 2 个元素的排列，共有 种方法；23第三类 挂三面旗表示信号，是 3 个元素的全排列，共有 种方法.3A由分类加法计数原理，可以表示信号共有+ + =3+32+321=3+6+6
9、=15（种）.13A23类题演练 2排一张有 5 个歌唱节目和 4 个舞蹈节目的演出节目单.（1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？（2）歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？解析：（1）先排歌唱节目有 种，歌唱节目之间以及两端共有 6 个空位，从中选 4 个放5A入舞蹈节目，共有 种方法，所以任两个舞蹈节目不相邻的排法有 =43 200（种）46 5A46方法.（2）先排舞蹈节目有 种方法，在舞蹈节目之间以及两端共有 5 个空位，恰好供 5 个歌4A唱节目放入.所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有 =2 880（种）方法.4变式提升 2星期一共排六节不同的课，若第一节排数学或第六节
10、排体育，问有多少种不同的课程排法？解析：数学排在第一节的课程排法有 种，体育排在第六节的排法也有 种，由分类计5A5A数原理共有 + =240 种排法.5A在数学排在第一节的 种排法中，有体育排在第六节的排法，而在体育排在第六节的排法5中，也存在着数学排在第一节的情形，因此, + 中，将数学排在第一节，同时体育排5A在第六节的排法计算了两次，发生了重复.第一节排数学或第六节排体育的排法共有 + - =216 种.54类题演练 3计算：（1） ;!5627A（2）已知 = ,求 n.412n30n解析：（1）原式= = .!567!736!5)1(（2）原等式可化为（2n+1）2n（2n-1 ） （2n-2 ）=140n（n-1 ）（n-2）,n3,n（n-1）0.（2n+1） （2n-1）=35（n-2）.解得 n=3 或 n= .423nN *,n=3.变式提升 3计算： .4958A解析：原式= .3625498498
