1、课堂探究探究一 离散型随机变量的分布列求离散型随机变量的分布列的步骤：(1)找出随机变量 的所有可能的取值 xi(i1,2，) ；(2)求出随机变量 的每个取值的概率 P(x i)p i；(3)列出表格【典型例题 1】从装有 6 个白球，4 个黑球和 2 个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出 1 个黑球赢 2 元，而每取出 1 个白球输 1 元，取出黄球无输赢(1)以 X 表示赢得的钱数，随机变量 X 可以取哪些值？求 X 的分布列(2)求出赢钱的概率，即 X0 时的概率解：(1)从箱中取两个球的情形有以下 6 种：2 白球，1 白球 1 黄球，1 白球 1 黑球 ，2 黄球 ，1 黑球
2、1 黄球，2 黑球当取到 2 白球时，随机变量 X2；当取到 1 白球 1 黄球时，随机变量 X1；当取到 1 白球 1 黑球时，随机变量 X1；当取到 2 黄球时，随机变量 X0；当取到 1 黑球 1 黄球时，随机变量 X2；当取到 2 黑球时，随机变量 X4.所以随机变量 X 的可能取值为2，1,0,1,2,4.P(X2) ，P(X1) ，C26C21 522 C16C12C21 211P(X0) ，P(X1) ，C2C21 166 C16C14C21 411P(X2) ，P (X 4) .C14C12C21 433 C24C21 111所以 X 的分布列如下：X 2 1 0 1 2 4P
3、 522 211 166 411 433 111(2)P(X0) P(X1)P( X2)P(X4) .411 433 111 1933赢钱的概率为 .1933规律总结 求离散型随机变量的分布列的关键有两点：(1)随机变量的取值；(2) 随机变量每一个取值的概率探究二 离散型随机变量分布列的性质及应用(1)离散型随机变量的特征是能一一列出，且每个值各代表一个试验结果，所以研究离散型随机变量时，关键是随机变量能取哪些值(2)在求概率 pi时，充分运用分布列的性质，既可减少运算量，又可验证所求的分布列是否正确【典型例题 2】设随机变量 X 的分布列 P ak( k1,2,3,4,5)(X k5)(1
4、)求常数 a 的值；(2)求 P ；(X 35)(3)求 P .(110X710)思路分析：已知随机变量 X 的分布列，根据分布列的性质确定 a 的值及相应区间的概率解：由题意，得随机变量 X 的分布列为X 15 25 35 45 55P a 2a 3a 4a 5a(1)由分布列的性质得 a2a3a4a5a1，解得 a .115(2)P P P P ，(X 35) (X 35) (X 45) (X 55) 315 415 515 45或 P 1P 1 .(X 35) (X 25) (115 215) 45(3) X ，X ， .110 710 1525 35P P P (110X710) (X
5、 15) (X 25)P .(X 35) 115 215 315 25规律总结 利用离散型随机变量分布列的性质可以求随机变量在某个范围内取值的概率，此时只需根据随机变量的取值范围确定随机变量可取哪几个值，再利用分布列即可得到它的概率，注意分布列中随机变量取不同值时所表示的随机事件彼此互斥，因此利用概率的加法公式即可求出其概率探究三 两点分布的应用两点分布的几个特点：(1)两点分布中只有两个对应结果，且两个结果是对立的(2)两点分布又称为 01 分布，应用十分广泛(3)由对应事件的概率求法可知：P( x0) P(x1)1.【典型例题 3】一个袋中有形状、大小完全相同的 3 个白球和 4 个红球(
6、1)从中任意摸出 1 球，用 0 表示摸出白球，用 1 表示摸出红球，即 XError! 求 X 的分布列；(2)从中任意摸出两个球，用“X0”表示两个球全是白球，用 “X1”表示两个球不全是白球，求 X 的分布列思路分析：两问中 X 只有两个可能取值，且为 0,1，属于两点分布，应用概率知识求出 X0 的概率，然后根据两点分布的特点求出 X1 的概率，最后列表即可解：(1)由题意知 P(X0) ，P(X1) .37 47X 的分布列如下表：X 0 1P 37 47(2)由题意知 P(X0) ，C23C27 17P(X1)1P(X0) .67X 的分布列如下表：X 0 1P 17 67规律总结
7、 (1)如果一个随机试验只有两个可能的结果，那么就可以用两点分布来研究，为此只需定义一个随机变量，使其中一个结果对应 1，另一个结果对应 0 便可以了(2)两点分布的应用非常广泛，如抽取的彩票是否中奖，买回的一件产品是否为正品，新生婴儿的性别，投篮是否命中等等，都可以用两点分布列来研究探究四 超几何分布及应用超几何分布是一种很重要的分布，其理论基础是古典概型，主要运用于抽查产品、摸不同类别的小球等概率模型，其中的随机变量相应是正品( 或次品) 的件数、某种小球的个数【典型例题 4】某高二数学兴趣小组有 7 位同学，其中有 4 位同学参加过高一数学“南方杯”竞赛若从该小组中任选 3 位同学参加高
8、二数学“南方杯”竞赛，求这 3 位同学中参加过高一数学“南方杯”竞赛的同学数 的分布列及 P(2) 思路分析：该问题与抽取产品在本质上是一致的，从而可用超几何分布解决解：由题意可知， 的可能取值为 0,1,2,3.则P(0) ，P (1) ，C04C3C37 135 C14C23C37 1235P(2) ，P (3) .C24C13C37 1835 C34C03C37 435所以随机变量 的分布列为 0 1 2 3P 135 1235 1835 435P(2)P( 0)P( 1) .135 1235 1335规律总结 解决此类问题，先分析随机变量是否满足超几何分布，若满足超几何分布，则建立超几
9、何分布列的组合关系式，求出随机变量取相应值的概率；否则利用概率公式和计数原理求随机变量取相应值的概率在解题中不应拘泥于某一特定的类型探究五 易错辨析易错点 随机变量的取值错误【典型例题 5】盒中装有 12 个乒乓球，其中 9 个新的，3 个旧的(用过的球即为旧的) ，从盒中任取 3 个使用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数 X 是一个随机变量，求 X 的分布列错解：由题意知 X 服从超几何分布，且 X 的取值为 0,1,2,3，所以分布列为：X 0 1 2 3P 84220 108220 27220 1220错因分析：本题关键有两点：一是认清 X 的取值，题目中说的是盒中旧球个数为 X，所以取值应为 3,4,5,6，而不是 0,1,2,3；二是正确利用公式求解概率，以免出现计算错误正解：从盒中任取 3 个，这 3 个可能全是旧的，2 个旧的 1 个新的，1 个旧的 2 个新的或全是新的，所以用完放回盒中，盒中旧球个数可能是 3 个，4 个，5 个，6 个，即 X 可以取 3,4,5,6.P(X3) ；C3C312 1220P(X4) ；C19C23C312 27220P(X5) ；C29C13C312 2755P(X6) .C39C312 2155所以 X 的分布列为：X 3 4 5 6P 1220 27220 2755 2155
