1、课堂导学三点剖析一、离散型随机变量均值的求法【例 1】 从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛，设随机变量 X 表示所选 3 人中女生的人数.（1）求 X 的分布列；（2）求 X 的均值；（3）求“所选 3 人中女生人数 X1”的概率.解析：（1）X 可能取的值为 0，1，2.P（X=k)= ,k=0,1,2.3642Ck所以，X 的分布列为：X 0 1 2P 515351（2）由（1） ，X 的均值为EX=0 +1 +2 =1.53（3）由（1） ， “所选 3 人中女生人数 X1”的概率为P（X1)=P(x=0)+P(X=1)= 54温馨提示做这类的题目，首先要确定随机变量
2、的分布列，然后再去求它的均值.二、离散型随机变量的均值的应用【例 2】 A、B 两个代表队进行乒乓球对抗赛，A 队队员是 A1,A2,A3，B 队队员是B1，B 2，B 3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：对阵队员 A 队队员的胜率 B 队队员的胜率A1 对 B1 31A2 对 B2 55A3 对 B3 现按表中对阵方式出场，每场胜队得 1 分，负队得 0 分，设 A，B 两队最后所得总分分别为 ，.（1）求 ， 的概率分布；（2）求两队各自获胜的期望.解析：（1）， 的可能取值分别为 3，2，1，0，=3 表示三场 A 队全胜，P（=3）= 32 = ，=2 表示三场中 A
3、队胜两场，有三种可能.578P（ =2）= (1- )+ (1- ) +(1- ) = .=1 表示三场中 A 队胜一场，也3253535728有三种可能：P（=1 ）= + + = ，=0 表示三场 A 队全负.3251352P（=0）= = .依题意可知：+=3，P（=0）=P （=3）= ，P(=1）1 758=P（=2）= ，P （=2）=P（=1）= ，P（=3 ）=P（=0）= ；758 23（2）E=3 +2 +1 +0 = .22531+=3.E=3-E= .故甲队获胜的期望是 ，乙队获胜的期望是 .13 15三、与其他知识的交汇题【例 3】 某城市有甲、乙、丙 3 个旅游景点
4、，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设 表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.()求 的分布及数学期望；()记“函数 f(x)=x2-3x+1 在区间2，+)上单调递增”为事件 A，求事件 A 的概率.解析：（） 的分布列为 1 3P 0.76 0.24E=10.76+30.24=1.48.（）因为 f(x)=(x- )2+1- 2，所以函数 f(x)=x2-3x+1 在区间 ，+)上单调递增，3492要使 f(x)在2,+)上单调递增，当且仅当 322，即 .从而 P（A）=P( )3=P(=1)=0.76.温
5、馨提示该题考查概率的分布列、期望、随机变量 在某一范围内的概率，考查函数的单调性.但是它并没有直接给出 的范围，而是通过函数的单调性间接地给出 的范围，把函数的单调性和概率结合起来了.各个击破【类题演练 1】若对于某个数学问题，甲、乙两人都在研究，甲解出该题的概率为 32，乙解出该题的概率为 ，设解出该题的人数为 ，求 E.54解析：记“甲解出该题” 为事件 A， “乙解出该题”为事件 B. 可能取值为 0，1，2，P（=0）=P （ ）P （ ）=(1- )(1- )= ；B32541P（=1）=P （ A ）+P （ B）=P（A ）P（ ）+P（ ）P（B）=(1- ) + (1- )=
6、 A354；P（=2）=P（A）P（B）= = .528所以 的分布列为： 0 1 2P 1552158故 E=0 +1 +2 1.467.1528【变式提升 1】已知随机变量 X 的概率分布列为：P （X=k)=q k-1p(k=1,2,0p1,q=1-p),求证：EX= .p证明：P（X=k)=q k-1p,EX=1p+2qp+3q2p+kqk-1p+=p(1+2q+3q2+kqk-1+)令 S=1+2q+3q2+kqk-1+(k+1)qk+Sq=q+2q2+3q3+kqk+(k+1)qk+1+-得：S-Sq=1+q+q2+qk+即 S（1-q)= q1S= 2)(pEX=pS=p =21
7、【类题演练 2】某儿童商品专卖商场统计资料表明，每年六一国际儿童节商场内促销活动可获得经济效益 2.5 万元，商场外的促销活动如不遇雨天可获得经济效益 12 万元.若促销活动遇到雨天则带来 5 万元的经济损失.5 月 30 日气象台预报六一儿童节当天有雨的概率是40%，问商场应该采取哪种促销方式？解析：设该商场六一儿童节在商场外的促销活动获得的经济效益为 万元，则由天气预报知 P（=12）=0.6 ，P（=-5）=0.4，E=120.6+(-5)0.4=5.2(万元).即在六一儿童节当地有雨的概率是 40%的情况下，在商场外的促销活动的经济效益的期望是 5.2 万元，超过在商场内促销活动可获得
8、的经济效益 2.5 万元.故商场应选择商场外的促销活动.【变式提升 2】某寻呼台共有客户 3 000 人，若寻呼台准备了 100 份小礼品，邀请客户在指定时间来领取，假设任一客户去领奖的概率为 4%，问寻呼台能否向每一位顾客都发出领奖邀请？若能使每一位领奖人都能得到礼品，寻呼台至少应准备多少礼品？解析：设来领奖的人数 =k(k=0,1,2,3 000),所以 P（=k)= (0.04)k(1-0.04) 3 000-k,可见kC30B（3 000，0.04)，所以 E=3 0000.04=120(人）100（人）. 答：不能都发出邀请，至少应准备 120 份礼品.【类题演练 3】某地最近出台一
9、项机动车驾照考试规定；每位考试者一年之内最多有 4 次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第 4 次为止.如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7,0.8,0.9,求在一年内李明参加驾照考试次数 的分布列和 的期望，并求李明在一年内领到驾照的概率.解析： 的取值分别为 1，2，3，4. =1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故P（=1）=0.6. =2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，故P（=2）=（1-0.6)0.7=0.28. =3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，故P（=3）=（1-
10、0.6)(1-0.7）0.8=0.096.=4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，故P（=4）=（1-0.6）（1-0.7 ）（1-0.8）=0.024.李明实际参加考试次数 的分布列为 1 2 3 4P 0.6 0.28 0.096 0.024 的期望 E=10.6+20.28+30.096+40.024=1.544.李明在一年内领到驾照的概率为1-（1-0.6） （1-0.7） （1-0.8） （1-0.9）=0.997 6.【变式提升 3】某电器商经过多年经验发现本店每个月售出的电冰箱的台数 是一个随机变量，它的分布列如下： 1 2 3 4 P 1/12 1/12 1/12 1/12
11、设每售出一台电冰箱，电器商可以获利 300 元，如果售不出而囤积于仓库，则每台每月需花保养费 100 元，问电器商月初购进多少台电冰箱才能使自己月平均收益最大？解析：设 x 为月初电器商购进的电冰箱的台数，只需考虑 1x12 的情况，设电器商每月的收益为 元，则 是随机变量 的函数，且=x),(103,电器商平均每月获益的平均数，即数学期望为E=300x（P x+P x+1+P12）+300-100（x-1） P 1+2300-100（x-2 ） P 2+300（x-1）-100P x-1=300x（12-x+1 ） + 300 -100 = （-22)(x)1(x352x2+38x）.由于 xN+，所以当 x=9 或 10 时，即电器商每月初购进 9 台或 10 台电冰箱时，收益最大.
