1、典题精讲【例 1】 用二项式定理展开(2x- )5.23x思路分析:可以直接看作 2x 与 ( )的二项式展开，也可先化简，再利用二项式定理展开.解法一：直接展开（2x- )5= (2x)5+ (2x)4( )+ (2x)( )4+ ( )523x0C123x45C23x523x=32x5-120x2+ .10748x解法二：(2x- )5= (4x3)5+ (4x3)4(-3)+ + (4x3)(-3)4+231010532)(x145C(-3)5C= 1 024x 15-3 840x12+5 760x9-4 320x6+1 620x3-243032x=32x5-120x2+ .107432
2、85xx绿色通道：记准、记熟二项式(a+b) n 的展开式，是解答好与二项式有关问题的前提条件，对于较复杂的二项式，有时先化简再展开更简捷.变式训练 1 求(2x- )5 的倒数第二项 .2x解:T 5= (2x)(- )4= .4C3780变式训练 2 在(2x- )5 的展开式中是否存在常数项 .若有，请求出; 若没有，请说明理由.2x解：T r+1= (2x)5-r(- )r=(-1)r 25-2r3rx5-3r.r5C5若存在常数项，必存在 rN *，使得 5-3r=0，但 5-3r=0,r= N*.35展开式中不存在常数项.【例 2】 (1)用二项式定理证明 1110-1 能被 10
3、0 整除.(2)求 9192 被 100 除所得的余数.思路分析:解决利用二项式定理证明整除问题关键是判断所证式子与除数之间的联系，要掌握好对式子的拆分，如本例的第（1）小题，可以利用 1110=（10+1） 10 展开式进行证明，第（2）小题则可利用 9192=(100-9)92 展开式,或利用(90+1) 92 展开式进行求解.（1）证明：11 10-1=(10+1)10-1=(1010+ 109+ 10+1)-110C10=1010+ 109+ 108+10210C210=100(108+ 107+ 106+1).11 10-1 能被 100 整除.(2)解法一：(100-9) 92=
4、10092- 100919+ 1009092-+ 992,092C19229C2展开式中前 92 项均能被 100 整除，只需求最后一项除以 100 的余数.9 92=(10-1)92= 1092- 1091+ 102- 10+1,0921929091前 91 项均能被 100 整除,后两项和为-919,因余数为正,可从前面的数中分离出 1 000,结果为1 000-919=81,故 9192 被 100 除可得余数为 81.解法二:(90+1) 92= 9092+ 9091+ 902+ 90+ .092C19290C9192前 91 项均能被 100 整除,剩下两项和为 9290+1=8 2
5、81,显然 8 281 除以 100 所得余数为 81.绿色通道：利用二项式定理可以求余数和整除性问题,通常需将底数化成两数的和与差的形式,且这种转化形式与除数有密切的关系.黑色陷阱：出现余数为负数的情况.余数不可能为负,如本题中余数的范围是(0,100).变式训练 1 11100-1 末尾连续零的个数为 ( )A.7 B.5 C.4 D.3解：11 100-1=(10+1)100-1= 10100+ 1099+ 10+ -1.01C10910C10答案:D变式训练 2 求证：n n-1-1 能被(n-1) 2 整除(n3,nN *).证明：n3,nN *，故(n-1)+1 n-1-1= (n
6、-1)n-1+ (n-1)n-2+ (n-1)2+ (n-1)+ -1= (n-1)01n1n31n1n1nC01nn-1+ (n-1)n-2+ (n-1)2+(n-1)2.1nC3由于上式各项都能被(n-1) 2 整除，所以当 n3,nN *时，n n-1-1 能被(n-1) 2 整除.【例 3】 (1)求二项式( )6 的展开式中第 6 项的二项式系数和第 6 项的系数;x1(2)求( )9 的展开式中 x3 的系数.x1思路分析:利用二项式定理求展开式中的某一项，可以通过二项展开式的通项公式进行求解，同时注意某一项的二项式系数与系数的区别.解:（1）T 6= ( )( )5= ,5Cx2
7、129x第 6 项的二项式系数为 =6,第 6 项的系数为 2(-1)=-12.56C(2)设展开式中的第 r+1 项为含 x3 的项,则Tr+1= x9-r( )r=(-1)r x9-2r,r9199-2r=3.r=3,即展开式中的第 4 项含 x3,其系数为(-1) 3 =-84.9C绿色通道：求某项的二项式系数、系数或展开式中含 xr 的项的系数，主要是利用通项公式求出相应的内容.黑色陷阱：某项二项式系数与系数两者概念出现 混淆.变式训练 求(1-x) 6(1+x)4 的展开式中 x3 的 系数.解法一：(1-x) 6(1+x)4=(1-x)(1+x) 4(1-x)2=(1-x2)4(1
8、-x)2=(1- x2+ x4- x6+ x8)(1-x)2,14C3Cx 3 的系数为- (-2)=8.14解法二：(1-x) 6 的通项为 Tr+1= (-x)r=(-1)r xr,r0,1,2,3,4,5,6,6C6(1+x)4 的通项为 Tk+1= xk,k0,1,2,3,4.C4令 r+k=3,则 ;0,31,2;,30rrkx 3 的系数为 - + - =8.4162643【例 4】 (1)求(x+2y) 7 展开式中系数最大的项 ;（2）求(x-2y) 7 展开式中系数最大的项 .思路分析:要使第 r 项系数最大，则应该满足 Tr+1 的系数T r 的系数,成立，同时还要注意各项
9、系数的符号.的 系 数的 系 数 的 系 数的 系 数 21,rrT解:（1）设 r+1 项系数最大，则有,177rrC即 .31,6,271,8,2)!7()!12)!7( ,! rrrrrrrr 解 得又0r7,r=5.系数最大项为 T6= x225y5=672x2y5.7C（2）展开式中共有 8 项，系数最大项必为正项，即在第一、三、五、七这四项中取得，又因(x-2y) 7 括号内两项中后项系数绝对值大于前项系数的绝对值，故系数最大项必在中间或偏右，故只需比较 T5 和 T7 的大小即可.14)2(7367475 CT系 数系 数系数最大项为第五项,T 5=C47(-2y)4x3=560
10、x3y4.绿色通道：T r+1 与 Tr+2、T r 系数的大小关系是研究求系数最值的有效方法，它利用的是增减性.变式训练 求(x-2y) 7 的展开式中系数最小的项 .解:因为在(x-2y) 7 的展开式中，各项的二项式系数与项的系数相等或互为相反数，又展开式中二项式系数最大的项有两项，分别为第四项 T4= x4(-2y)3，第五项 T5= x3(-2y)4,7C7C所以系数最小的项的系数为(-2) 3 =-280.7【例 5】已知(1-2y) 7=a0+a1x+a2x2+a7x7,(1)a1+a2+a3+a7;(2)a1+a3+a5+a7;(3)a0+a2+a4+a6.思路分析:求恒等式的
11、系数间的关系，一般采用赋值法，且常赋特殊值 0，1，-1 等，再注意适当组合.解: (1)令 x=0,则 a0=1;令 x=1,则 a0+a1+a2+a7=-1. a 1+a2+a7=-1-1=-2.(2)令 x=-1,则 a0-a1+a2-+a6-a7=37. 由(-)2,得 a1+a3+a5+a7= =-1 094.3（3）由（+）2，得 a0+a2+a4+a6= =1 093.17绿色通道：一般地，对于多项式 g(x)=(px+q)n=a0+a1x+a2x2+anxn,g(x)的各项的系数和为g(1);g(x)的奇数项的系数和为 g(1)+g(-1);g(x) 的偶数项的系数和为 g(1
12、)-g(-1).21变式训练 已知(1-2x) 7=a0+a1x+a2x2+a7x7,求 a5.解：(1-2x) 7 的通项为 Tr+1= (-2x)r，令 r=5，可得 a5= (-2)5=-480.C7C问题探究问题 1:二项式定理(a+b) n= + an-rbr+ bn，从左到右是展开式，an10n由简变繁，从右到左则是由繁变简，为什么要把二项式展开，化简为繁呢？导思:一般地，化繁为简是我们解题的基本思路，但有时候，化简为繁也是一种创举；探究:由简变繁可以判断二项式系数的关系，如 = 等，可以更深mnCknknC1,刻地理解组合数的一些性质.从左到右可以具体地观察每一项的特征，比较二项
13、式系数之间的大小关系，如 n 是偶数，则中间一项二项式系数最大等，如果给左边赋值的话，会出现更有趣的一些结论，如 2n= . 312010, nnnnC从这个角度看，二项式定理的由简变繁是为了更好地由繁变简.问题 2:在二项式定理这一节中，研究了二项式系数的三个性质，那么研究二项式系数的意义是什么呢？导思:理解研究二项式系数的意义，应从二项式定理的应用这一点进行考虑，它会涉及到今后学习的内容.探究:研究二项式系数的意义在于：一是有助于研究二项式展开式的性质.例如当 a=b= 时，21二项式展开式的各项依次是 (r=0,1,2, ,n)，而它正是概率论中最重要的随机变量的分nrC2布之一二项分布的一个特例，可见研究二项式系数的性质对研究概率中的二项分布有着重要意义；二是由于二项式系数是一组特定的组合数，它对我们进一步认识组合数，进行组合数的计算和变形也有一定作用.
