1、二项式定理习题课教学目标 知识与技能1能熟练地掌握二项式定理的展开式及其有关概念2会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题3能熟练掌握杨辉三角及二项式系数的有关性质4会用二项式系数的性质解决一些简单问题，并能熟练地使用赋值法过程与方法1能解决二项展开式的有关概念问题：项、二项式系数、系数、有理项、无理项、常数项、整数项等2能用二项式定理解决诸如整除、近似值、求和等有关问题3能用二项式系数的有关性质，解决诸如：最值、二项式系数和、系数和等问题情感、态度与价值观1培养学生对整个数学知识的驾驭能力，能在一定高度上进行数学知识的应用2培养学生观察、归纳的能力以及分析问题与解决问题的能力3进一步提升
2、学生学好数学用好数学的积极性，进一步提升学生学习数学的兴趣重点难点 教学重点：掌握二项展开式，掌握二项式系数的有关性质，掌握解决二项式定理性质等有关问题的方法教学难点：利用二项式定理解决有关问题，利用二项式系数的性质解决有关问题教 学 过 程Error!前面我们学习了二项式定理，请回顾：1(a b)n_(nN *)，这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做(ab) n 的_ ，其中 C (r0,1,2，n)叫做rn_，通项是指展开式的第_项，共有_项其中二项式系数是_，系数是_2二项式系数的四个性质(杨辉三角的规律 )(1)对称性：_.(2)性质 2：_.(3)二项式系数的最大值
3、_(4)二项式系数之和_，所用方法是_ 答案：1(a b)nC anC an1 b C an2 b2C anr br C bn(nN)、展开式、二0n 1n 2n rn n项式系数、r1、n1、C 、变量前的常数rn2(1)C Cnmn (2)C C Cmn rn 1 r 1n rn(3)当 n 是偶数时，中间的一项取得最大值，即 C n 最大；当 n 是奇数时，中间的两项n2相等，且同时取得最大值，即 C nC n 最大n 12 n 12(4)C C C C C 2 n 赋值法0n 1n 2n rn nError!类型一：二项展开式的有关概念例 1 试求：(1)(x3 )5 的展开式中 x5
4、 的系数；2x2(2)(2x2 )6 的展开式中的常数项；1x(3)在( x )100 的展开式中，系数为有理数的项的个数3 32思路分析：理解二项展开式的有关概念，什么是二项式系数，什么是系数，什么是项，什么是常数项、有理项、无理项等，其实都是由通项入手，根据变量的系数、指数进行判断，当指数为 0 时是常数项，当指数是整数时是有理项，当指数是分数时是无理项解：(1)T r1 C (x3)5r ( )r(2) rC x155r ，依题意 155r5，解得 r2.故( 2)r52x2 r52C 40 为所求 x5 的系数25(2)Tr1 C (2x2)6r ( )r(1) r26r C x123
5、r ，依题意 123r0，解得 r4.故(1)r61x r6422C 60 为所求的常数项26(3)Tr1 C ( x)100r ( )rC 350 2 x100r ，要使 x 的系数为有理数，指数r100 3 32 r100r2 r350 与 都必须是整数，因此 r 应是 6 的倍数，即 r6k(kZ )，又 06k100，解得r2 r30k16 (kZ)， x 的系数为有理数的项共有 17 项23点评：求二项展开式中具有某特定性质的项，关键是确定 r 的值或取值范围应当注意的是二项式系数与二项展开式中各项的系数不是同一概念，要加以区分【巩固练习】试求：(1)(x 2) 10(x21)的展开
6、式中 x10 的系数；(2)(|x| 2) 3 的展开式中的常数1|x|项解：(1)(x 2) 10x 1020x 9180x 8，(x 2) 10(x21)的展开式中 x10 的系数是1180179.(2)(|x| 2) 3( )6，所求展开式中的常数项是C 20.1|x| |x| 1|x| 36类型二：二项展开式的有关应用简单应用例 2 求(x1) (x 1) 2(x1) 3(x 1) 4(x 1) 5 的展开式中 x2 的系数解： (x1)(x1) 2(x 1) 3(x1) 4(x 1) 5 x 11 x 151 x 1， 所求展开式中 x2 的系数就是(x1) 6 的展开式中 x3 的
7、系数x 1 x 16xC 20.36点评：这是一组将一个二项式扩展为若干个二项式相乘或相加，或扩展为简单的三项展开式的问题，求解的关键在于转化为二项展开式的问题，转化时要注意分析题目中式子的结构特征能够最大限度地考查学生对知识的把握程度【巩固练习】(1x) 5(1 x) 6(1x) 7(1x) 8 的展开式中 x3 项的系数是( )A74 B121C74 D121解析：先求和：(1x) 5(1 x) 6(1x) 7(1x) 8 1 x51 1 x41 1 x，分子的展开式中 x4 的系数，即为原式的展开式中 x3 项的系1 x54x 6x2 4x3 x4x数，( 1)14(C )6C 4(C
8、)1206040121，所以选 D.15 25 35答案：D类型三：二项展开式的有关应用：整除、不等式、近似值等问题例 3 证明：(1)2(1 )n3，其中 nN*；1n(2)证明：对任意非负整数 n,33n26n1 可被 676 整除思路分析：对于二项式中的不等式，通过展开式，分析其中的特殊项，可以证明一些简单的不等式问题；对于整除问题同样如此，关键是把二项式拆成 676 的形式；对于比较麻烦的数列问题，我们经常采用的方法就是数学归纳法，本题也不例外证明：(1)(1 )n1C C ( )22(当且仅当 n 1 时取等号) 1n 1n1n 2n1n当 n1 时，(1 )n23 显然成立；1n当
9、 n2 时，(1 )nC C C C 2 1n 0n 1n1n 2n1n2 n1nn n(n 1)2！ 1n2 n(n 1)(n 2)3！ 2 2 1n3 n(n 1)21n！ 1nn 12！ nnn 1n 13！ nnn 1n n 2n 1n！ nnn 1n 2n1n 12！ 13！ 2 2(1 )( )( )3 3.综上1n！ 112 123 1n(n 1) 12 12 13 1n 1 1n 1n所述：2(1 )n3，其中 nN*.1n(2)当 n0，n1 时 33n26n10，显然 33n26n1 可被 676 整除当 n2 时，33n26n127 n26n1(1 26) n26n112
10、6n C 262C 26n26n1C2n n262 C 263C 26n676(C 26C 26 n2 C )综上所述：对任意非负整数2n 3n n 2n 3n nn,33n26n1 可被 676 整除点评：用二项式定理解决整除问题是二项式定理的一大特色，这是二项展开式的一种基本应用，通过对二项式的拆解，我们可以解决一些看似很难但易解决的问题【巩固练习】已知 m，n 是正整数，f(x)(1 x) m(1 x) n 的展开式中 x 的系数为 7，(1)试求 f(x)中的 x2 的系数的最小值；(2)对于使 f(x)中的 x2 的系数为最小的 m，n，求出此时 x3 的系数；(3)利用上述结果，求
11、 f(0.003)的近似值(精确到 0.01)解：根据题意得：C C 7，即 mn7.(*)1m 1n(1)x2 的系数为 C C .2m 2nm(m 1)2 n(n 1)2 m2 n2 m n2将(*)变形为 n7m 代入上式得：x 2 的系数为 m27m 21(m )2 .72 354故当 m3 或 4 时，x 2 的系数的最小值为 9.(2)当 m3，n4 或 m4，n3 时，x 3 的系数为 C C 5.3 34(3)f(0.003)2.02.类型四：二项式系数的最大值、系数的最大值问题例 4 求(x1) 9 的展开式中系数最大的项思路分析：二项式系数最大的项我们可以根据公式求解，但是
12、系数最大的项怎么求呢？观察本题中二项式系数与系数之间的关系，我们发现它们只不过相差一个负号而已，所以可以通过二项式系数的大小反映系数的大小，只不过要注意正负号解：T r 1( 1)rC x9r .C C 126，而(1) 41，( 1)51，T 5126x 5 是所r9 49 59求系数最大的项点评：此类问题仍然是利用二项展开式的通项公式来求解，但在解题过程中要注意一些常用方法和数学思想的应用【巩固练习】求( )8 展开式中系数最大的项x124x解：记第 r 项系数为 Tr，设第 k 项系数最大，则有Error!又 TrC 2r1 ，那么有r 18Error!即 Error!Error!解得
13、3k4，系数最大的项为第 3 项 T37x 和第 4 项 T47x .52 72类型五：二项式系数之和、系数之和等问题例 5 若(2x )4a 0a 1xa 2x2a 3x3a 4x4，则(a 0a 2a 4)2(a 1a 3)2 的值等于3_；思路分析：注意到与系数的和差有关，所以可以用赋值法求得奇数项的系数之和与偶数项的系数之和，注意使用平方差公式解：令 x1，得 a0a 1a 2 a3a 4(2 )4，令 x 1，得 a0a 1a 2a 3a 4(3 2)4，由此可得(a 0a 2a 4)2(a 1a 3)2(a 0a 1a 2a 3a 4)(a0a 1a 2a 3a 4)3( 2)(
14、2)41.3 3点评：在二项式系数的性质应用中，尤其是系数和的问题，我们经常使用赋值法，这是一种奇妙的方法，可以帮助我们在不用计算每一个系数的前提下，求出各个系数的和【巩固练习】已知(12x) 7a 0a 1xa 2x2a 7x7，求(1)a 0a 1 a 7 的值；(2)a0a 2a 4a 6 及 a1a 3 a5a 7 的值；(3)各项二项式系数和解：(1)令 x1，则 a0a 1a 71.(2)令 x1，则 a0a 1a 2 a3a 6a 72 187.则 a1a 3a 5 a71 094；a 0a 2a 4a 61 093.(3)各项二项式系数和 C C C 2 7128.07 17
15、7【拓展实例】例 1(1 )6(1 )10 的展开式中的常数项为 ( )3x14xA1 B46 C4 245 D4 246思路分析：对于非一般的二项式问题，要注意转化成二项式问题解决本题虽然有两个式子相乘，只要我们写出整个式子的通项，令指数为 0，即可求得常数项解：先求(1 )6 的展开式中的通项T r1 C (x )rC x ，r 0,1,2,3,4,5,6.再求(13x r613 r6r3)10 的展开式中的通项T k1 C (x )kC x ， k0,1,2,3,4，10.两通项相乘14x k10 14 k10 k4得：C x C x C C x ，令 0，得 4r3k，这样一来，(r，
16、k) 只有三组：r6r3 k10 k4 r6 k10r3 k4 r3 k4(0,0)，(3,4)，(6,8) 满足要求故常数项为：1C C C C 4 246.36 410 6 810点评：对于乘积的式子或者三项的式子的展开问题，我们可以通过化归思想，将其转化成二项展开式问题要注意本题中，常数项的位置有三处【巩固练习】已知(1xx 2)(x )n 的展开式中没有常数项，n N*，且 2n8，则 n_.1x3解析：依题意(x )n，对 nN*，且 2n8 中，只有 n 5 时，其展开式既不出现常数1x3项，也不会出现与 x、x 2 乘积为常数的项故填 5.答案：5【变练演编】(1)对于 9100
17、 你能编出什么样的整除问题？如 9100 被_整除的余数是_(2)(2x2 )6 的展开式中的常数项是第_项，整数项是第_项，1xx 的最高次项是第_项，二项式系数之和是_，系数之和是_将你能得到的所有正确的答案一一列举出来答案：(1)这是一个开放性的问题，学生可以有多种答案，比如说 9100 被 8 整除的余数是 1,9100 被 80 整除的余数是 1 等等(2)Tr1 C (2x2)6r ( )r(1) r26r C x123r .依题意 123r0，解得 r4，所以常r61x r6数项是第 5 项；整数项是第 1,2,3,4,5 项；x 的最高次项是第 1 项；二项式系数之和为 64；
18、系数之和为 1.设计意图：变练演编这种开放性的设计，能够有效地提高学生学习的积极性，使得编题不仅仅是老师的专利，学生在编题解题的过程中，领悟知识，提高能力，增长兴趣，增强信心，不仅有助于训练同学们的常规思维，还能培养同学们的逆向思维，最终提高学生的数学成绩【达标检测】1(x )12 展开式中的常数项为( )13xA1 320 B1 320 C220 D2202(1 )6(1 )4 的展开式中 x 的系数是( )x xA4 B3 C3 D43若(12x) 2 005a 0a 1xa 2x2a 2 005x2 005(xR)，则(a 0a 1)(a 0a 2)(a 0a 3)(a 0a 2 005
19、)_(用数字作答)答案：1.C 2.B 3.2 003反考老师：即由学生出题，教师现场解答(约 8 分钟) (活动设计：请学生到黑板板书题目，要求别太烦琐，且与本节习题课内容相符一般不多于 3 道题，教师尽可能全部解答，具体解答数目视题目难度和时间而定教师要边做边讲，以向学生现场展示解题思路的发现过程和解题能力做完后，请学生给“阅卷”)Error!活动设计：先给学生 12 分钟的时间默写本节的主要基础知识、方法，例题、题目类型、解题规律等；然后用精练的、精确的语言概括本节的知识脉络，思想方法，解题规律等活动成果：(板书)1知识收获：二项式定理、二项展开式、二项式系数的性质2方法收获：利用二项式
20、定理解决有关问题，利用二项式系数的性质解决有关问题3思维收获：合作意识，创新精神，增加了学习数学的积极性，提升学习数学的兴趣设计意图：通过学生自己总结所学、所识、所想，不但能充分体现新课程的理念，还能充分发挥学生在课堂上的“主人翁”精神，真正体现了学生的主体地位不仅可以使学生更好地掌握本节所学，而且还能提高学生学习的主动性，提高学生学习数学的兴趣，久而久之，学生的数学水平与数学素养必定会得到长足的提高！Error!【基础练习】1计算 13C 9C 27C (1) n3nC .1n 2n 3n n2(x 2) 3 的展开式中，常数项是_1x3已知(3x )n，nN *的展开式中各项系数和为 12
21、8，则展开式中 的系数是( )13x2 1x3A7 B7 C21 D214求( )10 的展开式中有理项共有_项x13x1解：原式C C (3) 1C (3) 2C (3) 3C (3) n(1 3) n(2) n.0n 1n 2n 3n 3n2解析：(x 2) 3 3 .1x (x 1)2x (x 1)6x3上述式子展开后常数项只有一项 ，即20.C36x3 13x33解析：由已知条件可得：(31) n128，n7.Tr1 (1) rC (3x)7r ( )r(1) rC 37r x7 r.r713x2 r7 53令 7 3，则有：r6.5r3所以二项展开式中 的系数是：T 7(1) 6C
22、376 21，故选 C.1x3 674解析：T r1 C ( )10r ( )rC (1) rx5 r.r10 x13x r10 56当 r0,6 时，所对应的项是有理项故展开式中有理项有 2 项【拓展练习】5已知(1kx 2)6(k 是正整数) 的展开式中，x 8 的系数小于 120，则 k_.6设 nN，则 C C 6 C 62C 6n1 _.1n 2n 3n n5解析：(1kx 2)6 按二项式定理展开的通项为 Tr1 C (kx2)rC krx2r，r6 r6我们知道 x8 的系数为 C k4 15k4，即 15k4120，也即 k48，而 k 是正整数，故 k 只46能取 1.6解：
23、C C 6C 62C 6n1 C C C 6C 6n1 C (C C1n 2n 3n n16 0n 1n 2n n 16 0n 16 0n6C 62C 6n1) (16) n1 (7n1)1n 2n n16 16设 计 说 明二项式定理的内容，是各地高考中经常要考查的内容之一，其形式主要是选择题和填空题，题型往往相对稳定，思路方法常常是利用二项展开式的通项公式、二项式系数的有关性质等常见的二项式问题有：求二项展开式中某一项或某一项的系数，求所有项系数的和或奇( 偶) 数项系数和，求展开式的项数，求常数项，求近似值，证明不等式等实际教学的过程中，要努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；
24、尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生发挥其创造意识，以使他们能在创造的氛围中学习二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式二项式的乘方的展开式二项式定理既是排列组合的直接应用，又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系掌握好二项式定理既可对初中学习的多项式的变形起到很好的复习、深化作用，又可以为进一步学习概率统计做好必要的知识储备所以有必要掌握好二项式定理的相关内容备 课 资 料二项式定理 同步练习选择题1已知 C C C ，那么 n 等于( )7n 1 7n 8nA14 B12 C13 D152C 3C 9C 3
25、 nC 的值等于( )0n 1n 2n nA4 n B34 n C. 1 D .4n3 4n 133C C C 的值为( )1 311 911A2 048 B1 024 C1 023 D5124(x1)(2x 1)(3x1)(nx1) 展开式中 x 的一次项系数为 ( )AC BCn 1n 2nCC D不能用组合数表示2n 15设(1xx 2)na 0a 1xa 2x2a 2nx2n，则 a0a 1a 2a 2n 等于 ( )A2 2n B3 n C. D.3n 12 3n 126若 n 是正奇数，则 7nC 7n1 C 7n2 C 7 被 9 除的余数为( )1n 2n n 1nA2 B5 C7 D87(1x) 2(1x) 3(1x) 10 展开式中 x4 的系数为( )AC BC CC DC511 411 510 410填空题8(a b)n 展开式中第 r 项为_911 1001 的末位连续零的个数为_参考答案1A 2.A 3.C 4.C 5.B 6.C 7.A5提示：令 x1 即可8T r C an1r br1r 1n93(设计者：毕晓岩)
