1、14.2 勾股定理的应用教学目标教学知识点：能运用勾股定理及直角三角形的判别条件(即勾股定理的逆定理)解决简单的实际问题.能力训练要求：1.学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念.2.在 将实际问题抽象成几何 图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想.情感与价值观要求：1.通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.2.在解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用 性，体现人人都学有用的数学.教学重点难点：重点：探索、发现给定事物中隐含的勾股定理及其逆及理，并用它们解决生活实际问题.难点：利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题.教学过程1
2、、创设问题情境，引入新课：前几节课我们学习了勾股定理，你还记得它有什么作用吗？例如：欲登 12 米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物 5 米，至少需多长的梯子？根据题意，(如图)AC 是建筑物，则 AC=12 米，BC=5 米，AB 是梯子的长度.所以在 RtABC中，AB 2=AC2+BC2=122+52=132；AB=13 米.所以至少需 13 米长的梯子.2、讲授新课：、蚂蚁怎么走最近ABAB出示问题：有一个圆柱，它的高等于 12 厘米，底面半径等于 3 厘米在圆行柱的底面 A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与 A 点相对的 B 点处的食物，需要爬行的的最短路程是多少？( 的值
3、取 3) （1）同学们可自己做一个圆柱，尝试从 A 点到 B 点沿圆柱的侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？（小组讨论）（2）如图，将圆柱侧面剪开展开成一个长方形，从 A 点到 B 点的最短路线是什么?你画对了吗?（3）蚂蚁从 A 点出发，想吃到 B 点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（学生分组讨论，公布结果）我们知道，圆柱的侧面展开图是一长方形.好了，现在咱们就用剪刀沿母线 AA将圆柱的侧面展开(如下图).我们不难发现，刚才几位同学的走法：(1)AAB； (2)ABB；(3)ADB； (4)AB.哪条路线是最短呢？你画对了吗？第(4)条路线最短.因为“两点之间的连线中线段最短
4、”.、做一做。李叔叔随身只带卷尺检测 AD，BC 是否与底边 AB垂直，也就是要检测 DAB=90，CBA=90.连结 BD 或 AC，也就是要检测DAB 和CBA 是否为直角三角形.很显然，这是一个需用勾股定理的逆定理来解决的实际问题.、随堂练习出示投影片1.甲、乙两位探险者，到沙漠进行探险.某日早晨 800 甲先出发，他以 6 千米/时的速度向东行走.1 时后乙出发，他以 5 千米/时的速度向北行进.上午 1000，甲、乙两人相距多远？2.如图，有一个高 1.5 米，半径是 1 米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是 0.5 米，问这根铁棒应有多
5、长？1.分析：首先我们需要根据题意将实际问题转化成数学模型.解：(如图)根据题意，可知 A 是甲、乙的出发点，1000 时甲到达 B 点，则AB=26=12(千米)；乙到达 C 点，则 AC=15=5(千米).在 RtABC 中，BC 2=AC2+AB2=52+122=169=132，所以 BC=13 千米.即甲、乙两人相距 13 千米.2.分析：从题意可知，没有告诉铁棒是如何插入油桶中，因而铁棒的长是一个取值范围而不是固定的长度，所以铁棒最长时，是插入至底部的 A 点处，铁棒最短时是垂直于底面时.解：设伸入油桶中的长度为 x 米，则应求最长时和最短时的值.(1)x2=1.52+22，x 2=
6、6.25，x=2.5所以最长是 2.5+0.5=3(米) .(2)x=1.5，最短是 1.5+0.5=2(米).答：这根铁棒的长应在 23 米 之间(包含 2 米、3 米).3.试一试在我国古代数学著作九章算术中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为 10 尺的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇， 它高出水面 1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？我们可以将这个实际问题转化成数学模型.解：如图，设水深为 x 尺，则芦苇长为(x+1)尺，由勾股定理可求得(x+1)2=x2+52，x 2+2x+1=
7、x2+25解得 x=12则水池的深度为 12 尺，芦苇长 13 尺.、课时小结这节课我们利用勾股定理和它的逆定理解决了生活中的几个实际问题.我们从中可以发现用数学知识解决这些实际问题，更为重要的是将它们转化成数学模型.、课后作业教学反思：这节的内容综合性比较强，可能有些同学掌握的不是太好。勾股定理的应用习题课教学目标知识要求： 能解决较复杂的应用题，渗透分类讨论思想能力训练要求：提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想.情感与价值观要求：1.通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.2.在解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性教学重点难点： .难点：利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用
8、勾股定理及逆定理，解决实际问题.教学过程1长方体(或正方体)面上的两点间的最短距离长方体(或正方体)是立体图形，但它的每个面都是平面若计算同一个面上的两点之间的距离比较容易，若计算不同面上的两点之间的距 离，就必须把它们转化到同一个平面内，即把长方体(或正方体)设法展开成为一个平面，使计算距离的两个点处在同一个平面中，这样就可以利用勾股定理加以解决了所以立体图形中求两点之间的 最短距离，一定要审清题意，弄清楚到底是同一平面中两点间的距离问题还是异面上两点间的距离问题谈重点 长方体表面上两点间最短距离因为长方体的展开图不止一种情况，故对长方体相邻的两个面展开时，考虑要全面，不要有所遗漏不过要留意
9、展开时的多种情况，虽然看似很多，但由于长方体的对面是相同的，所以归纳起来只需讨论三种情况前面和右面展开，前面和上面展开，左面和上面展开，从而比较取其最小值即可【例 11】 如图是一个棱长为 3 cm 的正方体，它的 6 个表面都分别被分成了 33的小正方形，其边长为 1 cm.现在有一 只爬行速度为 2 cm/s 的蚂蚁，从下底面的 A 点沿着正方体的表面爬行到右侧表面上的 B 点，小明把蚂蚁爬行的时间记录了下来，是 2.5 s经过简短的思考，小明先是脸上露出了惊讶的表情，然后又露出了欣赏的目光你 知道小明为什么会佩服这只蚂蚁的举动吗？解：如图，在 Rt ABD 中， AD4 cm， BD3
10、cm.由勾股定理， AB2 BD2 AD23 24 225， AB5 cm，蚂蚁的爬行距离为 5 cm.又知道蚂蚁的爬行速度为 2 cm/s，它从点 A 沿着正方体的表面爬行到点 B 处，需要时间为 2.5 s.52小明通 过思考、判断，发现蚂蚁爬行的时间恰恰就是选择了这种最优的方式，所以他感到惊讶和佩服【例 12】 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点 A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点 C1处(三条棱长如图所示)，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？解：蚂蚁 由 A 点沿长方体的表面爬行到 C1点，有三种方式，分别展成平面图形如下：如图，在 Rt ABC1中，AC AB2 BC 4 23 2
11、5 225.21 21故 AC15.如图，在 Rt ACC1中，AC AC2 CC 6 21 237.21 21如图，在 Rt AB1C1中，AC AB B1C 5 22 229.21 21 212 52937，沿图的方式爬行路线最短，最短的路线是 5.点技巧 巧展长方体求解此类问题时只需对长方体进行部分展开，画出局部的展开图，若将长方体全部展开，不仅没有必要反而会扰乱视线2圆柱体(或圆锥体)面上的两点间的最短距离圆柱体(或圆锥体)是立体图形，从其表面看两点之间的连线绝大部分是曲线，那么怎样确定哪一条是最短的呢？解决问题的方法是将圆柱(或圆锥)的侧面展开， 转化 为平面图形，应用勾股定理解决，
12、而不能盲目地凭感觉来确定【例 2】 如图所示，一只蚂蚁在底面半径为 20 cm，高为 30 cm 的圆柱下底的点A 处，发现自己正上方圆柱上 边缘的 B 处有一只小昆虫，便决定捕捉这只小昆虫，为了不引起这只小昆虫的注意，它故意 不走直线，而绕着圆柱，沿一条螺旋路线，从背后对小昆虫进行突然袭击，结果蚂蚁偷袭成功，得到了一顿美餐根据上述信息，请问蚂蚁至少爬行多少路程才能捕捉到小昆虫？分析：解此题 的关键是把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短和勾股定理作答解：假设将圆柱体的侧面沿 AB 剪开铺平如图，则对角线 AB 即为蚂蚁爬行的最短路线在 Rt ACB 中， AC40 cm， BC30 cm.由
13、勾股定理，得 AB2 AC2 BC2(40) 2(30) 2(50) 2， AB50 cm.蚂蚁至少爬行 50 cm 才能捕捉到小昆虫谈重点 圆柱体两点间的最短距离本题文字叙述较多，要 求在阅读的基础上提炼有用的信息，具体解题时先将圆柱沿 AB剪开，将侧面展开成一矩形，会发现对角线 AB 即为蚂蚁爬行的最短路线，再运用勾股定理即可求得3生活中两点间的最短距离用勾股定理解决实际问题的关键是从实际问题中构建数学模型直角三角形，再正确利用两点之间线段最短解答【例 3】 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为 5 dm,3 dm 和 1 dm， A 和 B 是这个台阶两个相对的端点， A 点
14、有一只蚂蚁，想到 B 点去吃可口的食物请你想一想，这只蚂蚁从 A 点出发，沿着台阶面爬到 B 点的最短路程是多少？分析：由于蚂蚁是沿台阶的表面由 A 爬行到 B，故需把三个台阶展开成平面图形(如图)解：将台阶展开成平面图形后，可知 AC5 dm， BC3(31)12 dm， C90.在 Rt ABC 中， AB2 AC2 BC2， AB25 212 213 2， AB13 dm.故 蚂蚁爬到 B 点的最短路程是 13 dm.4如何正确利用勾股定理及其逆定理解决生活中的问题利用勾股定理及其逆定理解决生活中的实际问题，重要的是将实际问题转化成数学模型(直角三角形模型)，将实际问题中的“数”转化为定
15、理中的“形” ，再转化为“数” 解题的关键是深刻理解题意，并画出符合条件的图形解决几何体表面上两点之间的最短距离问题的关键是要设法把立体图形转化为平面图形，具体步骤是：(1)把立体图形展成平面图形；(2)确定点的位置；(3)确定直角三角形；(4)分析直角三角形的边长，用勾股定理求解【例 4】 如图，圆柱形玻璃容器的高为 18 cm，底面周长为 60 cm，在外侧距下底 1 cm 的点 S 处有一只蜘蛛，在与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口 1 cm 的点 F 处有一只苍蝇，急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛需要爬行的最短距离是_ _cm.解析：将圆柱的侧面展开得到它的侧面展开图(如图)， CD AB，
16、且 AD BC 底面12周长， BS DF1 cm.则蜘蛛所走的最短路线的长度即为线段 SF 的长度过 S 点作SM CD，垂足为 M，由条件知， SM AD 6030 cm， MC SB DF1 cm，所以12MF181116 cm，在 Rt MFS 中，由勾股定理得 SF216 230 234 2，所以 SF34 cm.故蜘蛛需要爬行的最短距离是 34 cm.5勾股定理与方程相结合的应用方程思想是一种重要的数学思想所谓方程思想是指从分析问题的数量关系入手，将问题中的已知量和未知量之间的数量关系通过适当设元建立起方程(组)，然后通过解方程(组)使问题得到解决的思维方式而勾股定理反映的直角三角
17、形三边的关系正是构建方程的基础故勾股定理的许多问题的解决都要跟方程相结合方程思想是勾股定理中的重要思想 【例 5】 如图，有一张直角三角形状纸片 ABC，两直角边 AC6 cm， BC8 cm，现将直角边 AC 沿直线 AD 折叠，使它落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，你能求出 CD 的长吗？解：设 CD x cm，由题意知 DE x cm， BD(8 x) cm， AE AC6 cm，在 Rt ABC 中，由勾股定理得 AB 10 cm.AC2 BC2于是 BE1064 cm.在 Rt BDE 中，由勾股定理得 42 x2(8 x)2， 解得 x3.故 CD 的长为 3 cm.教学反思：难度较大，需要举一反三，不 断复习总结
