1、27 正方形1掌握正方形的概念、性质，并会运用；(重点)2理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别；(难点)3掌握正方形的判定条件；(重点)4合理地利用正方形的判定进行有关的论证和计算(难点)一、情境导入做一做：用一张长方形的纸片(如图所示) 折出一个正方形学生在动手过程中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系问题：什么样的四边形是正方形？二、合作探究探究点一：正方形的性质【类型一】 利用正方形的性质求线段长或证明如图所示，正方形 ABCD 的边长为 1，AC 是对角线， AE 平分BAC ，EFAC于点 F.(1)求证：BECF；(2)求 BE 的长解析：(1)由角平分线的性质
2、可得到 BEEF，再 证明CEF 为等腰直角三角形，可证明BE CF；(2)设 BEx，在 CEF 中可表示出 CE，由 BC1，可列出方程，可求得 BE.(1)证明：四边形 ABCD 为正方形，B90，EFAC ，EFA90，AE 平分BAC，BEEF，又AC 平分BCD，ACB45，FEC FCE，EF FC，BECF ；(2)解：设 BEx，则 EFCFx，在 RtCEF 中，CE x，BC1，x x1，解得 x 1，即 BE 的长为 1.EF2 CF2 2 2 2 2方法总结：矩形被每条对角线分成两个直角三角形，被两条 对角线分成四个等腰直角三角形，因此正方形的计算问题 可以转化到直角
3、三角形和等腰直角三角形中去解决变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第 1 题【类型二】 利用正方形的性质求角度或证明在正方形 ABCD 中，点 F 是边 AB 上一点，连接 DF，点 E 为 DF 中点连接BE、 CE、AE .(1)求证：AEBDEC；(2)当 EBBC 时，求AFD 的度数解析：(1)根据正方形的四条边都相等可得 ABCD，每一个角都是直角可得BADADC 90，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AE EFDE DF，根据等边对等角可得EADEDA ，再求出BAE CDE，然后利12用“边角边”证明即可；(2)根据全等三角形对应边相等可得 EBEC，再求
4、出BCE 是等边三角形，根据等 边三角形的性质可得EBC60，然后求出 ABE30 ，再根据等腰三角形两底角相等求出BAE，然后根据等边对等角可得 AFD BAE .(1)证明：在正方形 ABCD 中，ABCD，BADADC 90，点 E 为 DF 的中点，AE EFDE DF， EADEDA，BAEBADEAD，CDEADC12EDA， BAECDE，在AEB 和DEC 中， AB CD， BAE CDE，AE DE， )AEB DEC(SAS) ；(2)解：AEBDEC， EBEC，EBBC，EBBCEC，BCE 是等边三角形，EBC60， ABE 906030 ，EBBCAB，BAE(1
5、8030)75，又AEEF ，AFDBAE75.12方法总结：正方形是最特殊的平行四边形，在正方形中 进 行计算时，要注意 计算出相关的角的度数，要注意分析图形中有哪些相等的 线段变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第 3 题探究点二：正方形的判定【类型一】 利用“一组邻边相等的矩形是正方形”判定已知：如图，在 RtABC 中，ACB90，CD 为ACB 的平分线，DEBC于点 E， DF AC 于点 F.求证：四边形 CEDF 是正方形解析：要证四边形 CEDF 是正方形，则要先证明四边形 DECF 是矩形，再证明一组邻边相等即可证明：CD 平分ACB，DEBC，DF AC，DE D
6、F，DFC90，DEC90，又ACB 90，四边形 DECF 是矩形，DEDF，矩形 DECF是正方形方法总结：要注意判定一个四边形是正方形，必 须先证明 这个四边形为矩形或菱形变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第 9 题【类型二】 利用“有一个角是直角的菱形是正方形”判定如图，已知在四边形 ABFC 中，ACB 90，BC 的垂直平分线 EF 交 BC 于点D，交 AB 于点 E，且 CFAE ；(1)试判断四边形 BECF 是什么四边形？并说明理由；(2)当A 的大小满足什么条件时，四边形 BECF 是正方形？请回答并证明你的结论解析：(1)根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两
7、个端点的距离相等，有BE EC，BF FC，又因为 CFAE，可得出 BEEC BF FC ，根据四边相等的四边形是菱形，所以四边形 BECF 是菱形；(2)由菱形的性质知， 对角线平分一组对角，即当ABC 45时，EBF90，得出菱形EBFC 为 正方形，根据直角三角形中两个锐角互余得A 45.解：(1)四边形 BECF 是菱形理由如下：EF 垂直平分BC，BFFC ，BE EC，31，ACB 90，3490，1290，24，ECAE， BEAE，CFAE，BEECCF BF ，四边形 BECF是菱形；(2)当A45时，菱形 BECF 是正方形证明：A 45，ACB90，CBA 45，EBF
8、 2CBA90，菱形 BECF 是正方形方法总结：正方形的判定方法：先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角； 还可以先判定四边形是平行四边形，再用或 进行判定变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第 8 题探究点三：正方形的性质与判定的综合已知：如图，ABC 中，点 O 是 AC 上的一动点，过点 O 作直线 MNBC，设MN 交BCA 的平分线于点 E，交BCA 的外角ACG 的平分线于点 F，连接 AE、AF.(1)求证：ECF90；(2)当点 O 运动到何处时，四边形 AECF 是矩形？请说明理由；(3)在(2)的条件下，
9、ABC 应该满足条件：_ ，则四边形AECF 为正方形( 直接添加条件，无需证明)解析：(1)由已知 CE、CF 分别平分BCO 和GCO ，可推出BCE OCE， GCFOCF，所以得 ECF90；(2)由(1)可得出 EOCOFO，点 O 运动到 AC 的中点时，则有 EOCOFOAO ，所以这时四边形 AECF 是矩形；(3)由已知和(2)得到的结论，点 O 运动到 AC 的中点时，且ABC 满足ACB 为直角的直角三角形时，则推出四边形 AECF 是矩形且对角线垂直，所以四边形 AECF 是正方形(1)证明：CE 平分BCO，CF 平分GCO ，OCEBCE，OCFGCF，ECF 18
10、090；12(2)解：当点 O 运动到 AC 的中点时，四边形 AECF 是矩形理由如下：MNBC，OECBCE，OFCGCF，又 CE 平分BCO，CF 平分GCO ，OCEBCE，OCFGCF，OCEOEC，OCFOFC，EOCO，FOCO，OE OF.又当点 O 运动到 AC 的中点时，AOCO，四边形AECF 是平行四边形，ECF90，四边形 AECF 是矩形；(3)解：当点 O 运动到 AC 的中点时，且满足ACB 为直角时，四边形 AECF 是正方形由(2)知，当点 O 运动到 AC 的中点时，四边形 AECF 是矩形，已知 MNBC，当ACB 90，则AOFCOECOFAOE90
11、，即 ACEF，四边形 AECF是正方形故答案为：ACB 为直角方法总结：此题考查的是正方形和矩形的判定，角平分线 的定义，平行 线的性质，等腰三角形的判定等知识解题的关 键是由已知得出 EOFO ，确定(2)(3)的条件变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第 7 题如图，AE 是正方形 ABCD 中BAC 的平分线，AE 分别交 BD、BC 于F、E ，AC、BD 相交于 O.求证：(1)BEBF；(2)OF CE.12解析：(1)根据正方形的性质可求得ABEAOF90. 由于 AE 是正方形 ABCD 中BAC 的平分线，根据“等角的余角相等”即可求得AFO AEB.根据“对顶角相
12、等”即可求得BFEAEB ，BEBF ；(2)连接 O 和 AE 的中点 G.根据三角形的中位线的性质即可证得 OGBC，OG CE.根据平行线的性质即可求得OGF FEB ，从而证得12OGF AFO，OGOF，进 而证得 OF CE.12证明：(1)四边形 ABCD 是正方形，ACBD，ABEAOF 90.CAE BAE，AFOAEB ，又AFOBFE，BFEAEB，BEBF；(2)连接 O 和 AE 的中点G.AO CO，AGEG，OGBC ，OG CE，OGFFEB.AFOAEB，12OGF AFO，OGOF ，OF CE.12方法总结：在正方形的条件下证明线段的关系，通常的方法是连接
13、对角线构造垂直平分线，利用垂直平分线的性质 、中位 线定理、角平分线、等腰三角形等知识来证明，有时也利用全等三角形来解决变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第 5 题三、板书设计1正方形的性质对边平行，四条边都相等；四个角都是直角；对角线互相垂直、平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角2正方形的判定方法一组邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形本节课采用探究式教学，让学生产生学习兴趣，通过实践活动调动学生的积极性，给学生动手动脑的机会，变被动学习为主动学习，引导通过感官的思维去观察、探究、分析知识形成的过程，以此深化知识、更深刻理解知识、主动获取知识，养成良好的学习习惯
