1、圆基本概念与性质与圆有关的位置关系与圆有关的计算定义对称性点与圆的位置关系弧长确定圆的条件圆周角与圆心角的关系垂径定理圆心角、弧、弦的关系直线与圆的位置关系圆的内接四边形扇形面积切线长定理内接正多边形三年级 数学 学科导学案课题： 回顾与思考 （第 1 课时）主备人：关庆新 审核人：九年集备组 授课人：关庆新 备课时间：3.27 【学习目标】 课标要求：逐渐形成“圆的基本概念与定理” 、 “与圆有关的位置关系” 、 “与圆有关的计算”的知识网络体系；目标达成：在解决具体问题的过程中，构建圆的知识体系，内化数学思想方法，特别是辅助线添加和转化思想等难点问题.学习流程： 【课前展示】在课前，先让学
2、生自行回顾本单元内容，并尝试建构单元的知识框架，并在课堂上展示.之后老师给出参考框图如下：来源:学优高考网 gkstk对于每一个知识点，可以在利用学案填空的形式让学生回顾.1. 圆的对称性圆是 轴 对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的 对称轴 ；rOAPPPOlA圆又是 中心 对称图形， _圆心_是它的对称中心.2. 垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦 ，并且平分 弦所对的两条弧 ；平分弦（不是直径）的 直径 垂直于弦，并且平分 弦所对的两、条弧.3. 圆心角、弧、弦的关系在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.在同圆或等圆中，如果两个 圆心角 ，两条弧，两条弦，中有一组量
3、相等 ，那么它们所对应的其余各组量都分别 相等 .4.圆周角定理同弧或等弧所对的圆周角相等 ，都等于它所对弧的圆心角 度数的一半 .直径所对的圆周角是直角 ，90所对的弦是直径 . 5.与圆有关的位置关系（1）点与圆的位置关系点 P 在圆外 d r；来源:学优高考网 gkstk点 P 在圆上 d = r；点 P 在圆内 d r.6.圆的切线的性质圆的切线 垂直于 过切点的半径；符号语言：l 是O 的切线，切点为 A，OA 是O 的直径， OA BDECO ABABACBOlOrllAPO.BAB CDBAOCBAOCDOA l7圆的切线的判定经过 半径 的外端，并且垂直于 这条 半径 的直线是
4、圆的切线.符号语言OA 是O 的半径, lOA 于 A, l 是O 的切线.8. 切线长定理从圆外一点所画的圆的两条切线的长相等.来源:学优高考网 gkstk符号语言：PA、PB 分别切O 于 A、B，PA =PB9圆的内接多边形圆的内接四边形对角互补.10弧长与扇形面积的计算n的圆心角所对的弧长计算公式为 ， 180nRln的圆心角所在的扇形面积为 .236S扇 形本环节主要由学生自主填写。【合作探究】 问题 1.如图，O 是ABC 的外接圆，已知ACO =30，B=_分析本题考察的是同弧所对的圆周角的问题，题目只给出了部分图形，需要学生挖掘相关条件，因此，添加辅助性是一个关键.方法一：连接
5、 OA， 可知B = ACO，由等腰三角形性质易求ACO =120；21方法二：延长 CO 交O 于 D， 连接 DA，则B 与D 均为 所对的圆周角，A而 CD 为直径，可得DAC =90，则B=D=90-30=60.教师点拨：通过辅助线的添加，建立同弧所对的圆周角及圆心角或直径所对的圆On1OA BC DE FOA BC DE F周角，实现所求对象的转换.来源:gkstk.Com问题 2.如图 2，在O 中，弦 AB=1.8cm，圆周角ACB =30，则O 的直径等于_cm.分析本题所求的对象直径并非显性对象，需要构造出来，同时要与题目中的已知条件有联系，因此构造直角三角形是关键点和难点.
6、解：连接 AO，并延长交O 于 D，连接 BD，来源:gkstk.Com，ABD =C=30 ，AD 是直径 ， B =90 ， 23.6A教师点拨：当所求对象非显性存在时，可先将其作出，并寻找与之相关的已知条件.问题 3.已知：如图，AB 是O 的弦，半径 OC、 OD 分别交 AB 于点 E、 F, 且AE=BF，请你找出线段 OE 与 OF 的数量关系，并给予证明.分析本题需要先通过观察，对线段的数量关系进行判断，对于证明线段相等的问题，学生往往会选择使用较多的全等方法，此时可以提出对称形的思想方法，利用垂径定理的结论直接解答，当然，辅助性的添加是个难点.解法一：连接 OA、OB ，可知
7、AOB 为等腰三角形，因此可以找到全等三角形的三组条件 OA=OB，A = B，AE =BF，所以AOEBOF，可得 OE=OF.解法二：过 O 作 AB 的垂线 OG，由垂径定理可得 AG=BG,又已知 AE=BF，所以得EG=GF，从而知道 OG 为 EF 的垂直平分线，所以 OE=OF.BCOADG教师点拨：图形呈轴对称性时，可利用垂径定理求解，也可利用半径和弦组成的等腰三角形的对称性求解.问题 4. 某宾馆大堂要铺设圆环形地毯，如图，工人王师傅只测量了与小圆相切的大圆的弦 AB 的长就计算出了圆环的面积，王师傅是怎样算的？请你用圆的相关知识加以解释.分析本题需要先表示出圆环的面积，而大
8、小圆的半径未知，但利用圆的切线可以将两半径 OA 与 OC 联系在一起，从而达到解决问题的目的.解：连接圆心 O 与切点 C，连接 AO ，OCAB , 在AOC 中，AO 2-OC2=AC2 S 圆环面积 =(AO 2-OC2)=AC 2 =( )2, AB教师点拨：遇到相切问题经常需要作出过切点的半径，垂径定理往往需要建立的直角三角形，并利用勾股定理求解三边.问题 5. 如图，过圆外一点 O 作O 的两条切线OA、OB，A、B 是切点，且 OO圆 O 半径长两倍，则AOB=_.分析本题的基本图形是切线长定理的模型，但问题却转化为求切线的夹角，此时连接过切点的半径是解决问题的关键.同时直角三
9、角形的边角关系也是一个考察的知识点.解：连接 OA,OB，OO ，OA, OB 与 O相切，OA= OB，且 OAOA， OBOB,在 RtAOO 中， ，AOO =3021A同理可得BOO =30，即AOB=60教师点拨：过圆外一点可作两条与圆相切的直线，该点与两切点的距离相等，且OA BCOABOOO平分AOB问题 6. 如图，RtABC 内接于O，A=30，延长斜边 AB 到 D，使 BD 等于O 半径，求证：DC 是O 切线.分析本题是综合应用定理解决问题，表面是考察切线的判定问题，但实际需要使用辅助线，实现直角三角形的判定.证明：连 OC，如图，A=30，OA =OC，COB =60
10、，COB 为等边三角形，BC =BO，而 BD 等于 O 半径，BC =BO=BD，OCD 为直角三角形，即OCD=90，所以 DC 是O 切线 教师点拨：求证圆的切线问题除了需要作出过切点的半径，还要注意观察图形的特征，例如包涵的特殊三角形的性质.【归纳总结 】1本章知识结构和重点内容；2观察猜想关联；3辅助线的添加以及转化的数学思想在解决圆的问题时的相关应用.【板书设计】 回顾与思考1- 2-【教学反思】 本课是在完成北师大九年级下圆的一整章教学后的一节复习课，但本课并没OA BCD有过多地进行知识的归纳和直接的梳理，而是以习题讲练的形式进行，以点带面，将本单元中各种典型的图形展现，特别是突出辅助线添加和转化思想等难点问题，内容充实.学生通过自己的练习发现每个题目均有多种不同的方法，并发现其之间的联系，实现了巩固知识，突破难点的目的.为了更高效的复习，可以选用学案的形式，先以图表的形式展示了圆知识结构，并通过填空的形式重温了重要的定理.之后由学生随堂动笔解决问题，并由学生自己提出解答方案，将课堂还给学生，一题多解，探索效果较好.但实际教学中的时间有限，对于转化思想的几个难题较作更深入的探究，老师也会急于提示相关的方法.实际上学生可能有更多的解答方法，甚至可以提出更多的新的问题，这需要在教学中为学生创设更宽广的空间.
