1、数据的集中趋势1平均数(1)平均数的概念：一般地，如果有 n 个数据 x1，x 2，x 3，x n，我们把 (x1x 2x n)叫做这组数据的1n平均数，简称平均数(2)平均数的表示：一组数据的平均数用“ ”表示x(3)平均数表示的意义：平均数表示一组数据的“平均水平” 求平均数，只需要把所有数据加起来求出总和，再除以这些数据的总个数即可；当一组数据较大，并且这些数据都在某一个常数 a 附近上下波动时，一般选用化简公式 a，其中 为一组新数据的平均数，a 为选定的接近这组数据的平均数的较“整”的一x x x个数；平均数的大小与一组数据里的每个数据都有关系，其中任一数据的变动都会引起平均数的变动
2、；平均数反映了一组数据的集中趋势，若要了解一组数据的平均水平，就可用这组数据的平均数来表示；平均数的缺点是受特殊值的影响较大，有时不能较为准确地反映这组数据的平均水平【例 1】某中学举行歌咏比赛，六位评委对某班的打分如下：评委 1 2 3 4 5 6打分 77 82 78 95 83 75去掉一个最高分和一个最低分后的平均分是_分析：注意去掉一个最高分和一个最低分后，总人数发生了变化，成为 4 人了只要代入平均数的计算公式 (x1x 2x n)即可x1n解：去掉一个最高分 95 分，去掉一个最低分 75 分，平均分为 (77827883)1480(分 )答案：80 分2加权平均数(1)加权平均
3、数的概念：一般地，如果在 n 个数据中，x 1 出现 f1 次，x 2 出现 f2 次，x k出现 fk次( 这里f1f 2f kn)，那么这 n 个数的平均数为 ，这个平均数叫做加xx1f1 x2f2 xkfkn权平均数，其中 f1，f 2，f k分别叫做 x1，x 2，x k的“权” (2)加权平均数的另一公式：若 n 个数 x1，x 2，x 3，x k的权分别是 w1，w 2，w 3，则 x叫做这 n 个数的加权平均数x1w1 x2w2 xkwkw1 w2 wk(3)权的意义：在实际问题中，一组数据里的多个数据的“重要程度”不一定相同，因而，在计算这组数据的平均数时，往往给每个数据一个“
4、权” 相同数据 xi的个数 wi叫做“权” ，w i越大，表示 xi的数据越多， “权”就越重； 加权平均数实际上是算术平均数的另一种表现形式，是平均数的一种简便运算【例 2】三名大学生 A，B，C 竞选系学生会主席，对他们的笔试成绩和口试成绩(单位：分)进行了统计，如下表：A B C笔试 85 95 90口试 90 80 85竞选的最后一个程序是由本系的 300 名学生进行投票，三位候选人的得票情况如图(没有弃权票，每名学生只能推荐一个)(1)请计算每人的得票数；(2)若每票计 1 分，系里将笔试、口试、得票三项测试得分按 433 的比例确定个人成绩，请计算三位候选人的最后成绩，并根据成绩判
5、断谁能当选解：(1)A 得票数为 30035%105(票)B 得票数为 30040%120(票)C 得票数为 30025%75(票 )(2)A 的最后成绩为 92.5( 分)854 903 10534 3 3B 的最后成绩为 98(分) 954 803 12034 3 3C 的最后成绩为 84(分)904 853 7534 3 3所以根据成绩判断 B 能当选3中位数中位数的概念：将一组数据按照由小到大(或由大到小) 的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数称为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数称为这组数据的中位数来源:学优高考网一组数据的中位数不一定出现
6、在这组数据中；一组数据的中位数是一个唯一的数；中位数仅仅与数据的排列位置有关，当一组数据中的个别数据较大或较小时，可用中位数来描述这组数据的集中趋势【例 3】某班 50 名学生右眼视力的检查结果如下：视力 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6人数 1 1 3 4 3 4视力 0.7 0.8 1.0 1.2 1.5人数 4 6 8 10 6(1)该班学生右眼视力的中位数是多少？(2)小东的右眼视力为 0.9，他的右眼视力如何？解：(1)将这组视力数据按由小到大的顺序排列，由于有 50 名学生，故中位数取按由小到大排列第 25,26 位数的平均值，故该组数据的中位数为 0.8，0.8 0
7、.82即这 50 名同学的右眼视力的中位数为 0.8.(2)小东的右眼视力为 0.9，根据(1)中得到的数据的结论，推测他的右眼视力情况良好4众数一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数众数是对各数据出现频数的考查，其大小只与这组数据中部分数据有关，当一组数据中个别数据多次重复出现时，以至于其他数据的作用显得相对较小，众数可以在某种意义上代表这组数据的整体情况一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能不止一个；众数是一组数据中出现次数最多的数据，而不是数据出现的次数；一组数据也可能没有众数，因为每个数据出现的频数相等【例 4】已知一家服装厂经市场调查可知，在一段时间内，A，B
8、，C，D，E，F 六种品牌服装的销售量如下表：来源:学优高考网服装品牌 A B C D E F来源 :学优高考网 销售量(千件) 6 3.5 10 8 10 10你认为该服装厂应多生产哪种品牌的服装？解：由表格可以看出 C，E， F 三种品牌的销售量最多，均为 10 千件，所以这组数据的众数为 C，E，F 三个品牌服装的销售量，因此一般认为该服装厂应多生产这三种品牌的服装5平均数与加权平均数的联系与区别联系：若各个数据的权数相同，则加权平均数就是平均数，因而可以看出算术平均数实质上是加权平均数的一种特例区别：平均数是指一组数据的和除以数据个数，加权平均数是指在实际问题中，一组数据的“重要程度”
9、未必相同，即各个数据的权数未必相同，因而在计算上与平均数有所区别【例 5】计算下列一组数据的平均数：2,2,4,7,4,8,10,8,4,10,3,2,2,2,10,2.分析：题目中所给数据较多，并且一些数据多次重复出现，适宜用加权平均数计算求解解：这组数据中，2 出现 6 次，3 出现 1 次，4 出现 3 次，7 出现 1 次，8 出现 2 次，10出现 3 次所以 5.x26 31 43 71 82 1036 1 3 1 2 36众数、中位数与平均数的联系与区别(1)联系：众数、中位数和平均数都反映了一组数据的集中趋势，其中以平均数最为重要(2)区别：平均数的大小与这组数据里每个数据均有
10、关系，任一数据变动都会引起平均数的变动；众数主要研究各数据出现的频数，其大小只与这组数据中的某些数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，我们往往关注众数；中位数仅与数据的排列(大小顺序 )位置有关，某些数据的变动对它的中位数没有影响，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数来描述其集中趋势【例 6】公园里有甲、乙两群游客正在做团体游戏甲群游客的年龄分别是12,12,12,13,14,15,16,16,27；乙群游客的年龄分别是 3,4,4,5,5,6,6,6,55,60.(1)分别求出两群游客年龄的平均数、众数和中位数；(2)甲、乙两群游客年龄的平均数能代表他们各自的年龄特征吗？如
11、果不能代表，那么哪个统计量能代表？来源:学优高考网解：(1)甲群游客：平均数 (121212131415161627) 15(岁)，众数是 12 岁，中位数是 14 岁；x19乙群游客：平均数 (344556665560) 15(岁)，x110众数是 6 岁，中位数是 5.5 岁(2)甲群游客的年龄的平均数能代表他们的年龄特征，乙群游客的年龄的平均数不能代表他们的年龄特征因为只说“两群平均年龄约 15 岁的游客在公园里游戏” ，别人会认为两群中学生在公园里游戏因此乙群游客的年龄的中位数能代表这群游客的年龄特征7综合运用平均数、中位数和众数的特征解决实际问题平均数、中位数和众数都是数据统计中最为
12、基本的量，它们都能描述一组数据的集中趋势，其中以平均数最为重要，应用最为广泛平均数的大小与这组数据中的每个数据都有关系，其中任何数据的变动都会引起平均数的变动，因此平均数很容易受到极端值的影响中位数仅与数据排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，当一组数据中个别数据变动较大时，可用它描述其集中趋势众数考查的是各数据出现的频数，其大小只与这组数据中的部分数据相关，一组数据中某些数据多次重复出现时，众数往往是人们尤为关心的一个量但各个数据的重复次数大致相等时，众数往往没有特别意义另外实际问题中，三个量都应带上单位平均数、中位数和众数都是描述一组数据集中趋势的量，一组数据的平均数和中位数只有一
13、个，而众数可能有几个，它们各有自己的特点，能够从不同角度提供信息，在实际应用中，需要分析具体情况，选择合适的量来描述【例 7】在一次科技知识竞赛中，两组学生的成绩统计如下表：分数/分 50 60 70 80 90 100人数甲组 4 3 10 13 14 6乙组 4 4 16 2 12 12(1)试计算两组学生成绩的平均分，看能否从平均分的角度判断这两个组在这次竞赛中哪一组成绩好些，哪一组稍差？(2)请根据所学的统计知识，判断这两个组在这次竞赛中的成绩哪一组较好，哪一组差些，并说明理由解：(1)甲组学生成绩的平均分： (504 6037010801390141006)79.6(分)，x150乙
14、组学生成绩的平均分： (5046047016 802901210012)x15080(分 )，从平均分角度看，乙组平均分大于甲组平均分，所以乙组成绩稍好(2)甲组成绩的众数是 90 分，而乙组成绩的众数是 70 分，从成绩的众数比较，甲组成绩好些甲、乙两组成绩的中位数都是 80 分，甲组成绩在中位数以上的有 33 人，而乙组成绩在中位数以上的有 26 人，从这一角度看甲组成绩总体较好从成绩统计看，甲组成绩 90 分及 90 分以上的有 20 人，乙组成绩 90 分及 90 分以上的有 24 人，乙组成绩集中在高分数的人数较多，同时乙组满分人数比甲组满分人数多 6 人，从这一角度看乙组成绩较好8
15、正确选择平均数、中位数和众数解决决策型问题在实际问题中，有时平均数、中位数和众数中的某个(些)量不一定有意义，不一定有较好的参考价值，我们要根据实际问题的具体内容和调查目标正确选用平均数或中位数或众数来作出判断、决策，或制定方案，提出建议对于一组数据来说，都有平均数和中位数，有时有众数，但对于一组数据表示的实际问题的数据来说，这三个数不一定都有意义，应该关心哪个数，取决于调查的目标从平均数、中位数、众数我们可以发现：当一组数据中的各个数据都比较接近时，它们的平均数、中位数、众数都可以作为反映它们特征的数据代表.来源:学优高考网 gkstk【例 8】某公司销售部有营销人员 15 人，销售部为了制
16、定某种商品的月销售定额，统计了 15 人某月的销售量如下表：每人销售件数 1 800 510 250 210 150 120人数 1 1 3 5 3 2(1)求这 15 位营销人员该月销售量的平均数、中位数和众数；(2)假设销售部负责人把每位营销人员的月销售额定为 320 件，你认为是否合理，为什么？如果不合理，请你制订一个较为合理的销售定额，并说明理由解：(1)平均数为 320 件，中位数为 210 件，众数为 210 件；(2)不合理，因为 15 人中有 13 人的销售额达不到 320 件(320 虽是所给该组数据的平均数，但它却不能反映营销人员的一般水平)销售额定为 210 件合适一些，因为 210 件既是中位数，又是众数，是大部分人能达到的定额
