1、1限时集训（十七）圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题基础过关1.已知直线 l 与抛物线 y2=2x 交于 A,B(异于坐标原点 O)两点 .(1)若直线 l 的方程为 y=x-2,求证: OA OB.(2)若 OA OB,则直线 l 是否恒过定点?若恒过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由 .2.已知圆 O:x2+y2=4,点 F(1,0),P 为平面内一动点,以线段 FP 为直径的圆内切于圆 O,设动点 P 的轨迹为曲线 C.(1)求曲线 C 的轨迹方程 .(2)M,N 是曲线 C 上的动点,且直线 MN 经过定点 0, ,问在 y 轴上是否存在定点 Q,使得 MQO= NQO?若存在
2、,请12求出定点 Q;若不存在,请说明理由 .3.如图 X17-1 所示,已知椭圆 : + =1 的右焦点为 F,过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆 交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两x24y23点(点 A 在 x 轴上方),点 A 关于坐标原点的对称点为 P,直线 PA,PB 分别交直线 l:x=4 于 M,N 两点,记 M,N 两点的纵坐标分别为 yM,yN.(1)求直线 PB 的斜率(用 k 表示) .(2)求点 M,N 的纵坐标 yM,yN(用 x1,y1表示),并判断 yMyN是否为定值 .若是,请求出该定值;若不是,请说明理由 .图 X17-124.如图 X17-2 所示
3、,点 P(1,1)为抛物线 y2=x 上一定点,斜率为 - 的直线与抛物线交于 A,B 两点 .12(1)求弦 AB 的中点 M 的纵坐标;(2)点 Q 是线段 PB 上任意一点(异于端点),过 Q 作 PA 的平行线交抛物线于 E,F 两点,求证: |QE|QF|-|QP|QB|为定值 .图 X17-2能力提升5.已知抛物线 E 的顶点为坐标原点 O,焦点为圆 F:x2+y2-4x+3=0 的圆心 .过点 F 的直线 l 交抛物线 E 于 A,D 两点,交圆 F 于 B,C 两点, A,B 在第一象限, C,D 在第四象限 .(1)求抛物线 E 的方程 .(2)是否存在直线 l 使得 2|B
4、C|是 |AB|与 |CD|的等差中项?若存在,求直线 l 的方程;若不存在,请说明理由 .6.已知椭圆 C: + =1(ab0)的左、右焦点分别为 F1,F2,且离心率为 ,点 M 为椭圆上一动点, F1MF2面积的最大x2a2y2b2 12值为 .3(1)求椭圆 C 的标准方程 .3(2)设 A,B 分别为椭圆的左、右顶点,过点 B 作 x 轴的垂线 l1,D 为 l1上异于点 B 的一点,以 BD 为直径作圆 E.若过点 F2的直线 l2(异于 x 轴)与圆 E 相切于点 H,且 l2与直线 AD 相交于点 P,试判断 |PF1|+|PH|是否为定值,并说明理由 .4限时集训(十七)基础
5、过关1.解:(1)证明:由 得 x2-6x+4=0,解得 x=3 ,不妨取 A(3- ,1- ),B(3+ ,1+ ),y=x-2,y2=2x, 5 5 5 5 5 =0,OA OB.OAOB(2)显然直线 l 的斜率不为 0,设直线 l 的方程为 x=ty+m(m0), A(x1,y1),B(x2,y2),由 消去 x 得 y2-2ty-2m=0,x=ty+m,y2=2x, y 1y2=-2m,x1x2= =m2,y212 y222由 OA OB,得 =x1x2+y1y2=m2-2m=0,m= 2,OAOB直线 l 的方程为 x=ty+2, 直线 l 恒过定点,且定点坐标为(2,0) .2.
6、解:(1)设 PF 的中点为 S,切点为 T,连接 OS,ST,则 |OS|+|SF|=|OT|=2,取 F 关于 y 轴的对称点 F,连接 FP,故|FP|+|FP|=2(|OS|+|SF|)=4|FF|=2.所以点 P 的轨迹是以 F,F 为焦点,长轴长为 4 的椭圆,设其方程为 + =1(ab0),x2a2y2b2则 a=2,c=1,b= ,所以曲线 C 的方程为 + =1.3x24y23(2)假设存在满足题意的定点 Q,设 Q(0,m).当直线 MN 的斜率存在且不为 0 时,设直线 MN 的方程为 y=kx+ (k0),12M(x1,y1),N(x2,y2).由 消去 y,得(3 +
7、4k2)x2+4kx-11=0,x24+y23=1,y=kx+12,则 x1+x2= ,x1x2= .-4k3+4k2 -113+4k2由 MQO= NQO,得直线 MQ 与 NQ 的斜率之和为 0,即 + = + = =0,y1-mx1 y2-mx2 kx1+12-mx1 kx2+12-mx2 2kx1x2+(12-m)(x1+x2)x1x2即 2kx1x2+ (x1+x2)=2k + = =0,得 m=6,(12-m) -113+4k2(12-m) -4k3+4k24k(m-6)3+4k2所以存在定点 Q(0,6)满足题意 .当 MN 的斜率不存在或斜率为 0 时定点 Q(0,6)也符合题
8、意 .5综上,存在定点 Q(0,6)满足题意 .3.解:(1)由题,设直线 AB 的方程为 y=k(x-1)(k0),由 消去 y,得(4 k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0,则y=k(x-1),x24+y23=1, x1+x2= 8k24k2+3,x1x2=4k2-124k2+3,又 P(-x1,-y1),所以 kPB= = =- .y1+y2x1+x2k(x1-1)+k(x2-1)x1+x2 34k(2)直线 PA 的方程为 y= x,所以 yM= .y1x1 4y1x1由题意可知, k= ,所以直线 PB 的方程为 y+y1=- (x+x1),y1x1-1 3(x1-1)4y1则
9、 yN=- -y1.3(x1-1)(4+x1)4y1因为 + =1,所以 yMyN=- - =- =-9,x214y213 3(x1-1)(4+x1)x1 4y21x1 3x21+4y21+9x1-12x1所以, yMyN为定值 -9.4.解:(1)设 A(xA,yA),B(xB,yB),则 =xA, =xB,两式相减得( yA-yB)(yA+yB)=xA-xB,所以 kAB= = =- ,y2A y2ByA-yBxA-xB 1yA+yB 12所以 yA+yB=-2,所以弦 AB 的中点 M 的纵坐标 yM= =-1.yA+yB2(2)证明:设 Q(x0,y0),直线 EF:x-x0=t1(y
10、-y0),由 得 y2-t1y+t1y0-x0=0,x-x0=t1(y-y0),y2=x, 所以 yE+yF=t1,yEyF=t1y0-x0,|QE|QF|= |yE-y0| |yF-y0|=(1+ )| -x0|.1+t21 1+t21 t21 y20同理设直线 PB:x-x0=t2(y-y0),则 |QP|QB|=(1+ )| -x0|.t22 y20因为 t1= = =yA+yP,t2= =yB+yP,1kEF1kPA 1kPB所以 t1+t2=(yA+yB)+2yP=-2+2=0,即 t1=-t2,即 = ,t21t22所以 |QE|QF|=|QP|QB|,即 |QE|QF|-|QP|
11、QB|=0,为定值 .能力提升65.解:(1) 圆 F 的方程为( x-2)2+y2=1, 圆心 F 的坐标为(2,0),半径 r=1.根据题意设抛物线 E 的方程为 y2=2px(p0),由 =2,得 p=4, 抛物线 E 的方程为 y2=8x.p2(2)假设存在直线 l 满足题意,若 2|BC|是 |AB|与 |CD|的等差中项,则 |AB|+|CD|=4|BC|=42r=8,则 |AD|=|AB|+|BC|+|CD|=10.若直线 l 垂直于 x 轴,则 l 的方程为 x=2,代入 y2=8x,解得 y=4.此时 |AD|=8,不满足题意 .若 l 不垂直于 x 轴,则设 l 的斜率为
12、k(k0),此时 l 的方程为 y=k(x-2),由 得 k2x2-(4k2+8)x+4k2=0.y=k(x-2),y2=8x, 设 A(x1,y1),D(x2,y2),则 x1+x2= .4k2+8k2 拋物线 E 的准线方程为 x=-2,|AD|=|AF|+|DF|= (x1+2)+(x2+2)=x1+x2+4=10,即 +4=10,解得 k=2.4k2+8k2当 k=2 时, k2x2-(4k2+8)x+4k2=0 化为 x2-6x+4=0, (-6)2-4140,x 2-6x+4=0 有两个不相等实数根,k= 2 满足题意 .综上,存在满足要求的直线 l:2x-y-4=0 或直线 l:
13、2x+y-4=0.6.解:(1)由题意可知 解得a2=b2+c2,ca=12,bc= 3, a=2,b= 3,所以椭圆 C 的方程为 + =1.x24y23(2)由(1)可知 A(-2,0),B(2,0),F2(1,0).因为过 F2与圆 E 相切的直线分别切于 B,H 两点,所以 |F2H|=|F2B|=1,所以 |PF1|+|PH|=|PF1|+|PF2|-|F2H|=|PF1|+|PF2|-1.设点 E(2,t)(t0),则 D(2,2t),圆 E 的半径为 |t|,则直线 AD 的方程为 y= (x+2).t27设 l2的方程为 x=ky+1,则 =|t|,|2-kt-1|1+k2化简得 k= .1-t22t由 得y=t2(x+2),x=1-t22ty+1, y= 6t3+t2,x=6-2t23+t2,所以点 P .(6-2t23+t2,6t3+t2)因为 + = =1,(6-2t23+t2)24 (6t3+t2)23 t4+6t2+9(3+t2)2所以点 P 在椭圆 C 上,所以 |PF1|+|PF2|=4,即 |PF1|+|PH|=4-1=3,为定值 .
