1、1限时集训（十六）圆锥曲线中的最值、范围、证明问题基础过关1.已知椭圆 M 与椭圆 N: + =1 有相同的焦点,且椭圆 M 过点(0,2) .x29y25(1)求椭圆 M 的长轴长;(2)设直线 y=x+2 与椭圆 M 交于 A,B 两点( A 在 B 的右侧), O 为原点,求证: =- .OAOB432.已知点 M(1,2)在抛物线 C:y2=2px(p0)上,过点 N(5,-2)作不与坐标轴垂直的直线 l 交抛物线 C 于 A,B 两点 .(1)若 MN AB,求直线 l 的方程;(2)求证:点 M 在以 AB 为直径的圆上 .3.已知椭圆 C: + =1 的左焦点为 F,点 M(-4
2、,0),过 M 作斜率不为零的直线 l,与椭圆 C 交于x24y23A,B 两点,点 B 关于 x 轴的对称点为 B.(1)求证:动直线 AB恒过定点 F(椭圆的左焦点);(2) MAB的面积记为 S,求 S 的取值范围 .4.已知抛物线 E:x2=4y 的焦点为 F,P(a,0)为 x 轴上的点 .(1)过点 P 作直线 l 与 E 相切,求切线 l 的方程;2(2)如果存在过点 F 的直线 l与抛物线交于 A,B 两点,且直线 PA 与 PB 的倾斜角互补,求实数 a 的取值范围 .能力提升5.在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 C1:x2=4y,直线 l 与抛物线 C1交于 A,B 两
3、点 .(1)若直线 OA,OB 的斜率之积为 - ,证明:直线 l 过定点;14(2)若线段 AB 的中点 M 在曲线 C2:y=4- x2(-2 b0)的左、右焦点, F2恰好与抛物线 y2=4x 的焦点重合,过x2a2y2b2椭圆 E 的左焦点 F1且与 x 轴垂直的直线被椭圆 E 截得的线段长为 3.(1)求椭圆 E 的方程;(2)已知点 P ,直线 l:x=4,过 F2且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于 A,B 两点,与直线 l 交(1,32)于 M 点,若直线 PA,PB,PM 的斜率分别是 k1,k2,k3,求证:无论 k 取何值,总满足 k3是 k1和 k2的等差中项 .3限时
4、集训(十六)基础过关1.解:(1)由题意,设椭圆 M 的标准方程为 + =1(ab0),则 c2=9-5=4,又由椭圆 M 过点(0,2),得x2a2y2b2b=2,所以 a=2 ,所以椭圆 M 的长轴长为 4 .2 2(2)证明:椭圆 M 的方程为 + =1,由 得 3x2+8x=0,解得 x1=0,x2=- ,则 A(0,2),Bx28y24 y=x+2,x28+y24=1, 83,(-83,-23)所以 =(0,2) =- ,故得证 .OAOB (-83,-23) 432.解:(1)由题意得 kMN=-1,若 MN AB,则 kAB=1,所以直线 l 的方程为 y-(-2)=1(x-5)
5、,即 x-y-7=0.(2)证明:由点 M 在抛物线上,得抛物线的方程为 y2=4x.设点 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 l 的方程为 x=m(y+2)+5(m0) .将直线方程与抛物线方程联立,整理得 y2-4my-(8m+20)=0,所以 y1+y2=4m,y1y2=-8m-20.又 =(x1-1,y1-2), =(x2-1,y2-2),MA MB所以 =(x1-1)(x2-1)+(y1-2)(y2-2)=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2-2(y1+y2)+4= -m(y1+y2)-MAMB(y1y2)2164m-10+1+y1y2-2(y1+y2)+4= -m4m-4m
6、-10+1-(8m+20)-24m+4=0,所以 .(8m+20)216 MAMB所以点 M 在以 AB 为直径的圆上 .3.解:(1)证明:易知 F(-1,0).设直线 l 的方程为 x=my-4,与 + =1 联立,得(3 m2+4)y2-x24y2324my+36=0,由 0,得 |m|2,设 A(x1,y1),B(x2,y2),B(x2,-y2),则y1+y2= 24m3m2+4,y1y2= 363m2+4. 直线 AB的方程为 y-y1= (x-x1),令 y=0,y1+y2x1-x2得 x= =2m -4=2m -4=-1,x2y1+x1y2y1+y2 y1y2y1+y2 32m4
7、 动直线 AB恒过定点 F(-1,0).(2)S= |MF|y1+y2|= = ,|m|2.12 32 |24m3m2+4| 363|m|+4|m|令 f(t)=3t+ ,t2,则 f(t)=3- 0 在(2, + )上恒成立,4t 4t2f (t)在(2, + )上单调递增, f (t)(8, + ),S ,即 S 的取值范围为 .(0,92) (0,92)4.解:(1)易知切线 l 的斜率存在,设切点为 Q x0, ,由 x2=4y 得 y = ,x204 x=x0x02 切线 l 的方程为 y- = (x-x0).x204x02 切线 l 过点 P,- = (a-x0),解得 x0=2a
8、 或 x0=0.x204x02当 a=0 时,切线 l 的方程为 y=0;当 a0 时,切线 l 的方程为 y=0 或 ax-y-a2=0.(2)由题,直线 l的斜率存在,设直线 l的方程为 y=kx+1,代入 x2=4y 得 x2-4kx-4=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=4k,x1x2=-4.由已知得 kPA+kPB= + =0,y2x2-a y1x1-a即 + =0, 2kx1x2+(1-ka)(x1+x2)-2a=0,kx2+1x2-akx1+1x1-a整理得 2ak2+2k+a=0.当 a=0 时,上式有解,符合题意;当 a0 时,由 = 4-8a20,
9、得 - a 且 a0 .22 22综上, a 的取值范围为 - a .22 22能力提升5.解:(1)证明:由题意可知直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y=kx+m,由 得 x2-4kx-4m=0,x2=4y,y=kx+m,= 16(k2+m)0,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=4k,x1x2=-4m.k OAkOB= = = =- =- ,m= 1,y1y2x1x214x2114x22x1x2x1x216 m4 14 直线 l 的方程为 y=kx+1, 直线 l 过定点(0,1) .5(2)设 M(x0,y0),则 x0= =2k,y0=kx0+m=2k2+
10、m,将( x0,y0)代入 y=4- x2,得 2k2+m=4- (2k)x1+x22 14 142,m= 4-3k2.- 2 0,得 - k ,2 2k 的取值范围是( - , ).2 2|AB|= = =4 1+k2 (x1+x2)2-4x1x2 1+k2 16(k2+m) 2 (k2+1)(2-k2)4 =6 ,2(k2+1)+(2-k2)2 2当且仅当 k2+1=2-k2,即 k= 时取等号,22|AB| 的最大值为 6 .26.解:(1)由题意知 F2(1,0),把 代入 + =1,得 + =1,又 a2-b2=1,(-1,32) x2a2y2b2 1a294b2所以 a2=4,b2
11、=3,因此椭圆 E 的方程为 + =1.x24y23(2)证明:直线 AB 的方程为 y=k(x-1),代入椭圆 E 的方程,并整理得(4 k2+3)x2-8k2x+4(k2-3)=0,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则有 x1+x2= ,x1x2= .8k24k2+3 4(k2-3)4k2+3把 x=4 代入直线 AB 的方程,得 M(4,3k),从而 k1= ,k2= ,k3= =k- .y1-32x1-1 y2-32x2-1 3k-324-1 12又因为 A,F2,B 三点共线,所以 = =k,y1x1-1 y2x2-1所以 k1+k2= + = + - =2k- =2k- y1-32x1-1y2-32x2-1 y1x1-1 y2x2-132( 1x1-1+ 1x2-1) 32 x1+x2-2x1x2-(x1+x2)+1 32=2k-1,又 k3=k- ,所以 k1+k2=2k3,即无论 k 取何值,8k24k2+3-24(k2-3)4k2+3- 8k24k2+3+1 12总满足 k3是 k1和 k2的等差中项 .
