1、北师大版九年级上第四章图形的相似相似三角形判定定理的证明教案【教学目标】1.知识与技能了解相似三角形判定定理会证明相似三角形判定定理 2.过程与方法掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力3.情感态度和价值观经历自主探究、合作交流等学习方式的学习及激励评价，让学生在学习中锻炼能力. 【教学重点】相似三角形判定定理【教学难点】掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力 【教学方法】合作、探究【课前准备】多媒体课件【教学过程】一、复习导入问题：相似三角形的判定方法有哪些？ 两角对应相等，两三角形相似. 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似. 三边对应成比例,两三角形相似.在上一节中，我们探索了三角形相似的
2、条件，本节课我们将对它们进行证明。二、探究新知（1）判定定理 1：两角分别相等的两个三角形相似用数学符号表示： A=A， B=B ABC ABC证明相似三角形的判定定理 1已知：如图，在 ABC 和ABC 中，A = A， B =B. 求证：ABC ABC分析：根据证明两三角形相似的定义，需要三个角对应相等，三边对应成比例的两三角形相似.证明：在 ABC 的边 AB（或它的延长线）上截取 AD =AB，过点 D 作 BC 的平行线，交 AC 于点 E，则1=B ，2 =C，ACBD=过点 D 作 AC 的平行线,交 BC 于点 F,FCBAE= DEBC, DF AC, 四边形 DFCE 是平
3、行四边形 DE = CF.CBDEA而 1 = B ， DAE = BAC ， 2= C ， ADE ABC. A = A ， ADE = B = B ，AD = AB， ADE A B C ABC ABC. 例 1.已知:如图，ABC 中，ACB=90，F 为 AB 的中点，EFAB求证：CDF ECF证明F 是 RtABC 斜边的中点CF= =BFAB21B=BCFACB=90ACF+BCF=90 EFABB+E=90DCF=E又DFC=CFECDFECF（两角对应相等,两三角形相似）练习：如图，在ABC 中，ABAC，BD CD，CE AB 于点 E.求证：ABD CBE.证明：在ABC
4、 中，AB AC ，BD CD，ADBC.又CEAB，ADBCEB90.又BB，ABDCBE （2）判定定理 2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似用数学符号表示：A=A , CAB= ABC ABC证明相似三角形的判定定理 2如图，在ABC 与AB C中，已知A= A , ,求证：CAB=ABC ABC.证明：在ABC的边 AB上截取点 D,使 AD=AB过点 D 作DEBC ,交 AC于点 E.DEBC,ADEABC.ED=AD=AB， A.CEBAE=AC. 又A=A.ADEABC， ABCABC.例 2.如图，B=90，AB=BE=EF=FC=1。求证：AEFCEA 证明：AB=
5、BE=EF=FC=1，B=90，在直角三角形 ABE 中，由勾股定理得 AE= 2 ，2=EFAC 且AEF=CEAAEFCEA如图，ABBD，CDBD，AB=6cm，CD=4cm，BD=14cm，点 P 在 BD 上由点 B 向点 D 方向移动，当点 P 移到离点 B 多远时，APB 和CPD 相似？解：ABBD，CDBD， B=D=90，时，DPCAD=或当APB 和CPD 相似BBP-1083-103或解得：.46或或=B所以当 APB 和CPD 相似.，或或 130P（3）判定定理 3：三边对应成比例的两个三角形相似用数学符号表示： CBA= 证明相似三角形的判定定理 3如图，在ABC
6、 与AB C中，已知 ，求证 CBA=.ABC 证明：在ABC的边 AB上截取点 D,使 AD=AB过点 D 作DEBC ,交 AC于点 E.DEBC,ADEABC. .BDE= CE,A又AD=ABADEABC， ABCABC.例 3：如图，在ABC 和ADE 中， 点 B,D,E 在一条直线上，ED=能否得到ABDACE 呢？解：能；理由是： ACBABCADE，BAC=DAEBAD=CAE ED=ACBABDACE 练习：如图，在等边三角形 ABC 中，D,E,F 分别是三边上的点，AE=BF=CD,那么ABC 与DEF 相似吗？请证明你的结论？提示：由 AE=BF=CD,得 BE=CF
7、=AD,可证ADE BEFCFD,从而 DE=EF=FD,所以DEF 是等边三角形，因此ABCDEF.解：ABC 是等边三角形A= B=C=60 ，AB=BC=CAAE=BF=CDBE=CF=ADADE BEFCFDDE=EF=FDDEF 是等边三角形ABCDEF三、拓展提高1.如图，在正方形 ABCD 中，E 是 CD 的中点，EFAE求证:AE2=ADAF证明：ADE=FCE=90,又 AEEF,AED+FEC=180-AEF=90,又EFC+FEC=90,EFC=AED,ADEECF；EDACF=EDFA=D=AEF=90ADEAEFFAE 2=ADAF2.已知:如图，CE 是 RtAB
8、C 的斜边 AB 上的高，BGAP 求证:CE 2=EDEP 证明：CE 是 RtABC 的斜边 AB 上的高，ACECBE， ，CEBA=即 CE2=AEBECE 是 RtABC 的斜边 AB 上的高，BGAP，P+PAE=90，DBE+PAE=90，P=DBE，又AEP=DEB=90，AEPDEB； ， EBPDA=即 AEBE=EDEP，又CE 2=AEBE，CE 2=EDEP3.如图，在ABC 中，AB=8cm,BC=16cm,动点 P 从点 A 开始沿 AB 边运动，速度为 2cm/s;动点 Q 从点 B 开始沿 BC 边运动，速度为 4cm/s.如果 P,Q 两动点同时运动，那么何
9、时QBP 与ABC 相似？提示：设同时运动 ts 时这两个三角形相似，此时 BQ=4tcm,BP=（8-2t）cm.QBP 相似于ABC,需进行分类讨论，对应边不同相应的对应比也就不一样.解：设同时运动 ts 时这两个三角形相似，此时 BQ=4tcm,BP=（8-2t）cm.1.若QBPABC,则 ;8.0,162-4,=tttBCPAQ解 得 即2.若PBQABC,则.2,1648-,=t tBCQAP解 得 即综上所述，经过 0.8s 或 2s 时，QBP 与ABC 相似.四、课堂总结（1）相似三角形判定定理的证明1.两角对应相等，两三角形相似.2.三边对应成比例,两三角形相似.3.两边对
10、应成比例且夹角相等,两三角形相似.（2）相似三角形判定定理的应用五、作业布置习题 4.9：知识技能第 1，2 两题【板书设计】【教学反思】“相似三角形判定定理的证明”是“探索三角形相似的条件”之后的一个学习内容，学生已经学习了相似三角形的有关知识，对相似三角形已有一定的认识，并且在前一节课的学习中，以充分经历了猜想，动手操作，得出结论的过程。本节主要进行相似三角形判定定理的证明，证明过程中需添加辅助线，对学生来说具有挑战性，需要通过已有的知识储备，相似三角形的定义以及构造三角形全等的方法完成证明过程。4.5 相似三角形判定定理的证明相似三角形判定 1 的证明相似三角形判定 2 的证明相似三角形判定 3的证明例题
