1、第页 1福 建 省 龙 岩 市 2018 届 高 三 下 学 期 教 学 质 量 检 查 (4 月 )数 学 （ 理 ） 试 题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知 i是虚数单位，复数 iz2，则 )21(iz的共轭复数为（ ）A 2 B 34 C 34 D i342已知集合 0,|2ax， ,B，若 BA有 3 个真子集，则 a的取值范围是（ ）A ,1( B ),1 C 2,( D 2,1()03 九章算术是我国古代的数学名著，书中把三角形的田称为“圭田” ，把直角梯形的田称为“邪田”
2、，称底是“广” ，称高是“正从” ， “步”是丈量土地的单位.现有一邪田，广分别为十步和二十步，正从为十步，其内有一块广为八步，正从为五步的圭田.若在邪田内随机种植一株茶树，求该株茶树恰好种在圭田内的概率为（ ）A 152 B 52 C 154 D 514已知实数 yx,满足 4063y，则 23yxz的最大值为（ ）A 30 B2 C4 D 45执行如图所示的程序框图，若输入 cba,的值分别为 6，5，1，则输出的结果为（ ）第页 2A 2,3 B 3 C 21,3 D方程没有实数根6某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A. 83 B. 82 C. 24 D. 2437 3
3、log,3,log211log12cba，则 cba,的大小关系是（ ）A c B ba C D abc8已知二项式 4)(x，则展开式的常数项为（ ）A 1 B 1 C 7 D 499已知以圆 )(:2yC的圆心为焦点的抛物线 1与圆 在第一象限交于 A点， B点是抛物线2： yx8上任意一点， M与直线 2y垂直，垂足为 M，则 |B的最大值为（ ）A1 B2 C 1 D8第页 310已知 )2|,0)(sin)( xf 满足 )(1(xff，且 )(2(xff，对于定义域内满足 231ff的任意 Rx1,， 21x，当 |21取最小值时， 21f的值为（ ）A 426或 B 46或 6
4、C 3 D 2311设函数 Rtxexf ,5)3(.若存在唯一的整数 0x，使得 0)(xf，则实数 t的取值范围为（ ）A 2,3(e B )2,3(e C 2,3(e D )2,3(e12如图所示，正方形 ACD的边长为 2，切去阴影部分围成一个正四棱锥，则当正四棱锥体积最大时，该正四棱锥外接球的表面积为（ ）A 32 B 25 C 25169 D 2538二、填空题（每题 4 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13已知向量 a与 b的夹角为 06，且 3|,1|ba，则 |b .14已知点 )2,1(P在直线 2kxy上，则圆锥曲线 C： 12ykx的离心率为 . 15在 ABC
5、中，若 ,3abc，则 AB的外接圆的面积的最小值为 .16已知 )(xf是函数 )(xf的导函数，在定义域 ),0(内满足 0)( xefxf，且 ef2)1(，若 eaf12，则实数 a的取值范围是 . 三、解答题 （本大题共 6 题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 第页 417已知数列 na的前 项和是 nS，且 ),2(1NnSan.（1）若 1，求 n的通项公式；（2）在（1）的条件下，求数列 1nS的前 项和 nT.18支付宝自助付款可以实现人像识别身份认证和自动支付业务，于是出现了无人超市.无人超市的出现大大方便了顾客，也为商家节约了人工成本.某超市对随机
6、进入无人超市的100名顾客的付款时间与购物金额进行了统计，统计数据如图所示：（时间单位：秒，付款金额RMB：元）（1）用统计中的频率代表一位顾客随机进店消费付款时间的概率，试求该顾客进店购物结算时所用时间的期望；（2）若一位顾客在结算时，前面恰有3个人正在排队，求该顾客等候时间不少于2分钟的概率.19已知四棱锥 ABCDP中， 平面 ABCD， 0632BADC，AB， EF32.（1）求证： DE平面 PAF；（2）若 B21，求二面角 ACD的余弦值.20椭圆 )0(bayx的左、右焦点分别为 )0,1(,(21F，过 2的直线 l与椭圆交于A,两点，若 l的倾斜角为 2时， BF1是等边
7、三角形.（1）求椭圆的方程； （2）若 1|,|22BF，求 1A中 边上中线长的取值范围.第页 521已知函数 2)()2()xaexf .（1）求函数 fg3的极值点；（2）当 0x时，恒有 024)(ax成立，求 a的取值范围.请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.22选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy中，以原点 为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C的极坐标方程为01cos2.（1）求圆 C的直角坐标方程；（2）设 ),(P，直线 l的参数方程是 sinco1tyx（ t为参数） ，已知 l与圆 C交于 BA,两点，且|43|B
8、A，求 l的普通方程.23选修 4-5：不等式选讲已知函数 |2|1|)(xmxf .（1） 2时，求不等式 5)(f的解集；（2）若函数 )(xf的图象恒在直线 xy的图象的上方（无公共点） ，求实数 m的取值范围.龙岩市 2018 年高中毕业班教学质量检查数学（理科）参考答案第页 6一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12选项 C B A D C D D B A B A D二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分134 14 72 15 9
9、8 16 1(,2e 三、解答题：本大题共6小题，满分70分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17 （本小题满分 12 分）解：（）当 2n时，21nSa，即21nnS，整理得 11nnS-=，所以 1n 所以 n是一个公差为 2 的等差数列，又 1aS，所以 1n，所以 12nS， 此时 0,2n符合题意所以 1nnaS 31n (2)23n()当 时，上式不成立，所以,2,2(1)3nan（）由（）可知， 12nSn （ ） （ ） 1()21n， 所以 ()35T 2 18 （本小题满分 12 分）解：（）设一位顾客进店购物结算时间为 T，根据统计图表可知，的可能值为 10，20，4
10、0，60， 所以 (10).4,(20).,(40).3,(60).1,PTPTPT第页 7所以该顾客进店购物结算时所用时间的期望为 10.42.0.36.12（秒） （）依题意可知，每个顾客各自的付款时间是相互独立的，若 3 位顾客付款时间总计不少于 2 分钟，则3 人的付款时间可能有如下情况：3 个 60 秒；2 个 60 秒和另一个可以是 10 秒，20 秒，40 秒中任意一个；一个 60 秒，另外两个付款时间可以是 20 秒，40 秒或 40 秒，40 秒；三 40 秒 所以对应的概率为 32 11 3320.1.(0.42.)0.(.03.)0.Pcc18答：该顾客等候时间不少于 2
11、 分钟的概率为 8 19 （本小题满分 12 分）解：（）证明：过点 D在平面 ABC内作 /DN，交 AB于点 N，因为 2ABC， ，所以四边形 N为一个底角是 60的等腰梯形， 所以 ，所以 为 中点，由题知 90，在 RtA中， 2NA，又 6ABCD，所以 32N，而 FE，所以 ,为 BC的三等分点，连接 N，所以 /AFD，又在 D中， 2， 60BC，所以 30E，所以 E，所以 EAF，又 PA平面 B，所以 P，因为 F，所以 平面 （）以 A为坐标原点，分别以 ,ABDP所在直线为 ,xyz轴建立空间直角坐标系，所以平面第页 8ACD的一个法向量为 (0,1)m， 又由（
12、）知 6,90BANDB，所以在 中， 3，所以 (0,3)， 150C， 3(,)2， (,1)P，所以 1,)2PD，设平面 的法向量为 (,nxyz，所以 0CnDA即1302xy令 3x，所以 (3,1)， 设二面角 PCA的平面角为 ，且 为锐角，所以 2cos=7|nm 20 （本小题满分 12 分）解：（）由已知得： 1c， 2ab，23bca所以 23ab， 230，解得 ,椭圆的方程 1xy （）当直线的斜率为 0 时，显然不成立设直线 :lxmy， 12(,)(,)AxyB， 联立236得 2340m则 12124,yy 1ABF中 边上的中线长为 22111()()2FA
13、Bxy22()4()2myy 24433m第页 92222234(3)8(3)()(3)mm令 2t则 t得 1FAB2 2288143()ttt 由 22，得 1122,yy，2112()143m， 4(10,32t 34,tt， 12FAB5,41ABF中 边上中线长的取值范围是 1, 21 （本小题满分 12 分）解：（）由题意， 2()()xgea，得 ()22x xgxea（i）当 0a时，在 (,)上， ()0g，在 (2,)上， ()0gx （ii）当 时，令 x，解得 x或 lna若 21e， ln()2， ()恒成立；若 a， a，在 (,l)上， ()0gx；在 2， ln
14、,， () 若 1ae， ()2a，在 ln,2)a上， ()0gx；在（ (,l,与 ,上， (0gx综上，当 0时， ()gx极小值点为 ，无极大值点；当 21ae时， ()gx极小值点为 2，极大值点为 ln2)a；当 21e时， ()gx极小值点为 ln，极大值点为 ；当 1ae时， (x无极值点 第页 10（）设 22()()4xhxeaa,因为 48 ，得 2(8xhe(0),且函数 ()x在 0,)上单调递增 （i）当 8a时，有 (0hx，此时函数 ()x在 ,)上单调递增，则 ()2hx，若 0即 14时，有函数 ()hx在 0,)上单调递增，则 ()x，符合题意； 若 28
15、a即 0a时，存在 0x满足 ()x ， 0(,)xh，此时函数 ()hx在0,)x（上单调递减， ()hx不符合题意； （ii）当 时，有 8，存在 1x满足 ()hx11(,)x1h()，此时 ()x在 10,（ 上单调递减， ()0820a，此时函数 x在 10,（ 上单调递减，不符合题意综上，实数 a的取值范围是 4a 22 （本小题满分 12 分）解：（）将 22cos,in,xyxy代入圆 C的极坐标方程 21cs0，得 210y，化为圆的标准方程为 2(6)5xy. （）将直线 l的参数方程 1cos,int（ t为参数）代入圆 C的直角坐标方程 2(6)5xy中，化简得 214
16、cos20t，设 ,AB两点所对应的参数分别为 1,t，由韦达定理知 1224cos4t 12,t同号 又 3|PAB， 123t由可知 12=4t或 124t第页 11 14cos72或 解得 2cos， tan1k， l的普通方程为 (1)yx. 23 （本小题满分 12 分）解：（） ()5f，即 |2|5x， 当 2x时， 14x，解得 83， 83 当 x时， 25x，解得 0， 1 当 1时， 4，解得 23x， . 综上所述，不等式 ()5fx的解集为 8|03xx或 . （）由题意知 |1|2|m恒成立， 当 2x时， xx，变形得 5恒成立， m 当 2x时， 可以取任意实数；当 1时， 2xmx，变形得 5恒成立， 213m 当 x时， 2xm，变形得 12x， 123 综上所述，实数 的取值范围为 1(,)3. 第页 12
