1、2018 届宁德市普通高中毕业班第二次质量检查试卷理 科 数 学本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分 第 I 卷 1 至 2 页，第 II 卷 3 至 5 页，满分 150分考生注意：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上考生要认真核对答题卡上粘贴的“姓名、准考证号、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致2第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号第 II 卷用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答若在试题卷上作答，答案无效3考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并交回 第 I 卷一、选择题
2、：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1复数 的共轭复数 在复平面内对应的点位于 izzA第一象限 B第二象限 345C第三象限 D第四象限2已知集合 ，1x， ,2ByA则 IA B 1x2xC D023某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积 为 2，则图中 x 的值为A1 B 22侧 侧侧 2xxxC D364设 满足约束条件 则目标函数 的最大值为,xy1234xy， 2zxyA B C D7291155将函数 图象上各点的横坐标缩小为原来的 （纵坐标不变） ，得到函数1sin()4yx2的图象，则函数 的一个单调递增区间是 )f
3、()4yfxA B (,020,2C D)3()6在如图所示的正方形中随机投掷 10000 个点，则落入由曲线 C(曲线 为正态分布 的密度曲线 )与直线(2,1)N0,x1及 围成的封闭区域内点的个数的估计值为0y(附:若 ，则 ，X2(,)()0.682PX， )0.954P(33).974A2718 B1359 C430 D2157 已知 是抛物线 的焦点， 是 上的一点， 是 的准线上一F2:()CypxPQC点若 是边长为 的等边三角形，则该抛物线的方程为PQA B C D28yx26yx24yx2yx8已知锐角 满足 ， ，则 的值为,sincos1()7cosA B C D134
4、14534349已知 是坐标原点， 分别是双曲线 : （ , ）的左、右焦点，O12,F21xyab0ab过左焦点 作斜率为 的直线，与其中一条渐近线相交于点 若 ，则双1 A2|OFOy x1曲线 的离心率 等于CeA B C D 54533210世界著名的百鸡问题是由南北朝时期数学家张丘建撰写的张丘建算经中的一个问题：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一百钱买百鸡，问鸡翁母雏各几何？张丘建是数学史上解决不定方程解的第一人用现代方程思想，可设 分别为鸡翁、鸡母、鸡,xyz雏的数量，则不定方程为 如图是体现5310,.z张丘建求解该问题思想的框图，则方框中，应填入的是A ， B ，
5、3?t257yt3?t257ytC ， D ， tttt11底面边长为 6 的正三棱锥的内切球半径为 1，则其外接球的表面积为A B C D12设函数 ， 若 ，且 有极小值 ，则()ln)fxk(e1xg12()fxg12x1实数 的值是kA B12C D 0开 始 1t4xt10zxy,输 出t结 束是 否2018 届宁德市普通高中毕业班第二次质量检查试卷理 科 数 学第 II 卷 注意事项：用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答 在试题卷上作答，答案无效本卷包括必考题和选考题两部分第 1321 题为必考题，每个试题考生都必须做答第 22、23 题为选考题，考生根据要求做答二、填空题
6、：本大题共 4 小题，每小题 5 分13边长为 的正三角形 中， ，则 _ABC12DBAC14 的展开式中， 的系数是_ （用数字填写答案）2234(1)xx3x15 B 村庄在 A 村庄正西 10km ， C 村庄在 B 村庄正北 3km现在要修一条从 A 村庄到 C 村庄的公路，沿从 A 村庄到 B 村庄的方向线路报价是 800 万元 /km，沿其他线路报价是 1000 万元 /km，那么修建公路最省的费用是 _ 万元16在 中， 为边 上的点，且满足 ， 若ABDBC2DAC1sin3BAD，13DCS则 的余弦值为_三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分解答须写出文字说明、证
7、明过程和演算步骤17 （12 分）已知数列 的前 项和为 ， ， nanS12a132nSa（1）求数列 的通项公式； na（2）设 ，若 ，求证： 2logb4(1)nncb123ncc18 （12 分）为响应绿色出行，某市在推出“共享单车”后，又推出“ 新能源分时租赁汽车 ”其中一款新能源分时租赁汽车，每次租车收费的标准由两部分组成： 根据行驶里程数按1 元/公里计费；行驶时间不超过 分时，按 元/ 分计费；超过 分时，超出40.1240部分按 元/分计费已知张先生家离上班地点 15 公里，每天租用该款汽车上、下0.2班各一次由于堵车、红绿灯等因素，每次路上开车花费的时间 (分)是一个随机
8、变t量现统计了 50 次路上开车花费时间，在各时间段内的频数分布情况如下表所示：时间 （分）t20,30,440,550,6频数 2 18 20 10将各时间段发生的频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为分20,6（1）写出张先生一次租车费用 （元）与用车时间 （分）的函数关系式；yt（2）若张先生 一次开车时间不超过 40 分为 “路段畅通 ”， 设 表示 3 次租用新能源分时租赁汽车中“ 路段畅通 ”的次数，求 的分布列和期望；（3）若公司每月给 1000 元的车补，请估计张先生每月（按 22 天计算）的车补是否足够上、下班租用新能源分时租赁汽车？并说明理由（同一时段，用
9、该区间的中点值作代表）19 （12 分）如图，四棱锥 中，底面 为梯形，PABCDABC， /ABD12 OHEDCBA P是 的中点， 底面 在平面 上的正投影为点 ，延长OABPOABCDOPAH交 于点 PHDE（1）求证: 为 中点；（2）若 ， ，在棱 上确定一点 ，使得 /平面 ，并90C2GPAB求出 与面 所成角的正弦值OGP20 （12 分）已知椭圆 的左、右顶点分别为 ，上、下顶点分别2:1(0)xyMab,AB为 ,CD若四边形 的面积为 ，且恰与圆 相切AB424:5Oxy（1）求椭圆 的方程；（2） 已知直线 与圆 相切，交椭圆 于点 ，且点 在直线 的两侧设l M,
10、PQ,ABl的面积为 ， 的面积为 ，求 的取值范围APQ1SBPQ2S1221 （12 分）已知函数 ，曲线 在 处的切线与直线22()ln()fxxaR()yfx垂直210xy（1）求 的值，并求 的单调区间；a()fx（2） 若 是整数，当 时，总有 ，求 的最大0221()3)ln4fxx值请考生在第 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分做答时请写清题号22选修 44：坐标系与参数方程 （10 分）在直角坐标系 中，以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲xOyOx线 的极坐标方程为 ，曲线 的参数方程为1C2(4cos)4r2C（ 为参数） 43c
11、os,inxry（1）求曲线 的直角坐标方程和曲线 的极坐标方程；1C2C（2）当 变化时，设 的交点 的轨迹为 若过原点 ，倾斜角为 的直线r1,2M3O3与曲线 交于点 ，求 的值l3,ABOB23选修 45：不等式选讲 （10 分）已知实数 x, y 满足 1（1）解关于 x 的不等式 ；25xy（2）若 ，证明：,0y2192018 年宁德市普通高中毕业班质量检查数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细则二、对计算题，当考生的解答在某
12、一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题 5 分，满分 60 分1D 2C 3A 4D 5C 6B7D 8C 9B 10B 11A 12D二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题 5 分，满分 20 分13 14 15 16 3803三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17本小题主要考
13、查数列及数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想等，满分 12 分解:（1）由题设 ，132nSa当 时， ，两式相减得2n132nSa，即 . 2 分14n又 =2， ，可得 ， 1123a28 . 3 分24数列 构成首项为 2，公比为 4 的等比数列， na . 5 分1n（没有验证 扣一分）214（2） ，6 分lognnb（ ） ， 7 分2(1)(2)(1)ncn*N 时， ， 9 分11()ncnn 10 分12312()23n 11 分. 12 分解法二：（1）同解法一；（2） ，6 分21lognnb（ ） ， 7 分42()()(1)ncn*
14、N 时， ，21 ， 9 分()()()n 10 分123112()3+nccn 11 分. 12 分3解法三：（1）同解法一；（2） ，6 分21lognnb（ ） ， 7 分42()()(1)ncn*N 时， ， 8 分1()2nc n 1231234512()6nccn 10 分13154511 分. 6920n12 分18本小题主要考查频率分布表、平均数、随机变量的分布列及数学期望等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查分类与整合思想、必然与或然思想、化归与转化思想满分 12 分解法一：（1）当 时， 1 分204t0.125yt当 时， . 6t.4.(0)15.2
15、8tt2 分得： 3 分0.125,0,.846tty（2）张先生租用一次新能源分时租赁汽车，为“ 路段畅通 ”的概率 4 分50P可取 ， ， ， . 123，03327()515PC 21354()PC， 236() 038()5125的分布列为013P27155423612581257 分8 分43680.2E或依题意 ， 8 分(,)5B:21.5E（3）张先生租用一次新能源分时租赁汽车上下班，平均用车时间（分钟），10 分2182053442.60t每次上下班租车的费用约为 （元）. 11 分.1.803一个月上下班租车费用约为 ，20394估计张先生每月的车补够上下班租用新能源分时
16、租赁汽车用 12 分解法二：（1） （2）同解法一；（3）张先生租用一次新能源分时租赁汽车上下班，平均租车价格为 182010(50.)(150.23)(.45)(1.825)2.55（元）10 分一个月上下班租车费用约为 11 分.902.8估计张先生每月的车补够上下班租用新能源分时租赁汽车用 12 分19本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等满分 12 分解法一：（1）连结 .OE是 的中点， ，2,AB1CD OHEDCBA P，OBCD， 四边形 是平行四边形，/ABCDO.1
17、 分1平面 ， 平面 ，PA，2 分在平面 的正投影为 ，H平面 ，OH.3 分D又 ，P平面 ，AE，4 分又 ，1O是 的中点. 5 分D（2） ， ，90BC/BC，A平面 ，P以 为原点， 分别为 轴的正方向建立空O,OP,xyz间直角坐标系 ，6 分xyz， ， ， ，(0,)(,01)(,)C(1,0)D， ， 2PAAB2PAO，OD 是 的的外心，H，2是 的的重心，AP.8 分O3E1(,)3设 ， ， ，BGC,0BO14(,)3GHO又 是平面 的一个法向量，且 平面 ，(1,0)DPA/PAB，HO，解得 ， ，9 分331(,0)3G设 是平面 的法向量，(,)nxy
18、zPCz yxOHEDCBA P， ，(1,0)PD(0,1)C即,n,xzy取 则 ， .11 分1,x,0z(1,)n， cos,|PGn53029直线 与平面 所成角的正弦值为 .12 分OCD1解法二：（1）同解法一；（2）过 作 ，交 于点 ，HMEOM过点 作 ，分别交 于 ，则 平面 ，6/GAB,B,QG/HPAB分证明如下：平面 平面 ，/,PPA平面MAB平面 ， 平面 ， ，POCDEOBCDOE在平面 中， ，/MH平面 平面 ，,PA平面/HAB， 平面 平面G/GB平面 ， 平面 .7 分，2,3OMPE8 分1,BQ在 上取一点 ，使 ，DN23O，9 分103C
19、G作 于 ，连结 .TPCT ，,DPT NQPA BCDEHOM G平面 ，CDPO，NT, 平面 ,NTPCD就是 与平面 所成的角. 10 分G, ，11 分P132, 即直线 与平面 所成角的正弦值为 .5sin103NTOCOGPCD51012 分解法三：（1）同解法一.（2）过 作 ，交 于点 ，E/QABQ连结 ，过 作 交 于点 ，PH/MEP过点 作 ，交 于 ，连结 ，/GCGH则 平面 ，6 分/AB证明如下：平面 平面 ，,MP,PAB平面/同理 平面:H， 平面 平面 G/MHG平面 ， 平面 ，7 分，2BPQE是 的中点， 是 的中点，ADQBC，8 分13BGC
20、取 的中点 ，连结 ，再连结 并延长交 的延长线于点 ，连结 ，PNOGDCTN， 是 中点，OP，D，B,，平面P，ON， ，/BCD TN GMQOHED CBA P， 平面 ，PDCONPCD就是 与平面 所成的角.OTNG， ，B2T.21011 分1,ONDP， 即直线 与平面 所成角的正弦值为 .25sin10TOGPCD51012 分20本题主要考查直线、椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力，满分 12 分解法一：（1）根据题意，可得：即 24,25ab， 2,5ab，2 分解得
21、 4 分,1.ab椭圆 的方程为 5 分M214xy（2）设 ， ，直线 与圆 相切，得:lmn(,)lO，即 ，6 分251n2215从而 .0,4又 ， ，112()2Sny12()Sny .7 分()将直线 的方程与椭圆方程联立得l，22(4)40mynxOPQCDABy显然 .0设 ， ，得 ， 8 分1(,)Pxy2(,)Qxy1224mny214ny .222121112()()=2222 2212 644 81655(4)mmn mSn，422487+1689=5+165当 时， ；10 分20m12S当 时，(,4)，11 分122 228989+1+65568Smm且 .12
22、综上， 12 分8,5S解法二：（1）同解法一；（2）当直线 的斜率不存在时，由对称性，不妨设 ，l 2:5lx此时直线 与椭圆的交点为 ，l2(,)5.12 48()()5S直线 的斜率存在时，设 ，由直线 与圆 相切，得l :lykxblO，即 .251bk24(1)5b又点 在直线 的两侧，,ABl ， ，(2)0kb240bk ，解得 或 .241512点 分别到直线 的距离为,ABl， .12kbd21kbd将直线 的方程与椭圆方程联立得l，22(4)840kxb显然 .0设 ， ，得 ，1(,)Py2(,)Qy12284kbx7 分224bxk .22222121141()4=kb
23、Pxkxx8 分 1212SdAB 222224111kbkbk224kbb2241kbb2224(1)4(1)55kk 228()16)4k，2487651k242289911686kk且 .12S综上，12 分128,521本小题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等满分 12 分解法一: （1）函数 的定义域是 ，()fx(0,)，1()ln2fxa1 分依题意可得， ，()f， 2a14a.2 分=()ln()fxx(ln1)x令 ，即 ， ，3()0f(1)
24、l0,ex分 x(,)ee1(,)()f- 0 + 极大值 的单调递增区间是 ，单调递减区间为 .5()fx1(,)e1(0,)e分（2）由（）可知， ，221()ln4fxx，61()3)lfx3分设 ， 只要 ，7 分ln()1xhmin()hx2l3)(l3x，8 分2ln(1)x令 ， ()luxx1()0ux在 上为单调递增函数， ()ux0,)， 1(2ln0u存在 ，使 ，9 分0(,)x当 时， ，即 ， 当 时， ，即 ，,x()hx 0(,)x()0ux()0hx在 时取最小值，且 ，10 分()h00minl31又 ， ，ux00l2x，11 分0min 0(2)3()1
25、h00(,)(2,)xx又 ， minh. 12 分axZ解法二：（1）同解法一.（2 ）由（1 ）可知， 2211()ln4fxx.6 分2()3)ln4fxl30设 ， 只要 ，7 分lngxmin()gx则 ()1l3xln2令 ，则 ， .8 分0glxxe当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调2(,)xe()0g()2(,)xe()0gx()递增，.9 分2min()()g22()3ee2设 ，则 在 R 上单调递减，10 分hh，11 分(1)0,(2)10e，使 ， 02,. 12 分max2Z22选修 ；坐标系与参数方程4本小题考查直线和圆的极坐标方程、参数方程等基础知识，
26、考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等 满分 10 分解法一：（1）由 ： ，1C2(4cos)4r得 ，224cosr即 ， 2 分0xy曲线 化为一般方程为： ，即 ， 4 分2C22(4)3xyr228163xyr化为极坐标方程为： 5 分28cos160（2）由 及 ，消去 ，得曲线 的极坐标24cosr22s3r2r3C方程为 7 分2s0()R将 代入曲线 的极坐标方程，可得 ，8 分3C20故 ， ，9 分12120故 10 分OAB（或由 得 得 ，9 分200)1(21,21故 10 分）1解法二：（1）同解法一；（2）由 及 ，消去 ，得曲线 的直角坐标方程2
27、24xyr228163xyr23C为 7 分2设直线 的参数方程为 （ 为参数） ，8 分l1,23xty与 联立得 ，2xy2134tt即 ，9 分0t故 ， ，1212t 10 分OAB（或由 得， 得 ，20t ,0)1(2t 1,21t 10 分）123选修 ：不等式选讲45本小题考查绝对值不等式、基本不等式的解法与性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等 满分 10 分解法一：（1） 1,xy，1 分|2|5当 时，原不等式化为 ，解得 ，215x3x ；2 分3x当 时，原不等式化为 ，1 ；3 分2当 时，原不等式化为 ，解得 ，215x2x ；4 分x综上，不等式的解集为 .5 分3（2） 且 ，1,xy0,xy7 分2222()()()xyxy22()()xy8 分5xy. 29x当且仅当 时，取“=”. 10 分12xy解法二：（1）同解法一；（2） 且 ，,0,6 分22211()xyxy2()7 分2(1)xxy8 分1xy219()y当且仅当 时，取“=”. 10 分
