1、2018 届福建省厦门外国语学校高三下学期第一次（开学）考试数学（理）试题一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1在复平面内，复数 对应的点位于（ ）-1+iA第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2已知集合 ， ，则 （ ）|1xylg|2BxABA. B. C. D. ,0,2,3已知向量 ， ，且 ，则 m（ ）(1,)am(3,2)b/abA B C D384若直线 与圆 有公共点，则实数 取值范围是（ ）10xy2xayaA. B. C. D. ,3,1,31,5甲、乙两人计划从 A、 B、 C三个景点中
2、各选择两个游玩，则两人所选景点不全相同的选法共有（ ）A 3 种 B 6 种 C 9 种 D12 种6一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图相同，其上部分是半圆，下部分是边长为 2 的正方形；俯视图是边长为 2 的正方形及其外接圆则该几何体的体积为（ ）A. B. 2433C. D. 8827如果执行如图的程序框图，那么输出的值是（ ）A2010B1 C D21(第 6 题图)(第 7 题图)8已知 ，则 （ ）3sin2cosA. B. C. D. -3129.已知函数 ，且 ，则 等于（ ）2,(n)f为 奇 数， 为 偶 数 (n)1)af1232014.aaA2013B2014
3、C2013D201410关于圆周率 ，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如注明的浦丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计 的值：先请 120 名同学每人随机写下一个都小于 1 的正实数对 ；再统计两数能与 1 构成钝角三角形三边的数对 的个数 ；最后再根据统计数 估,xy ,xymm计 的值，假如统计结果是 ，那么可以估计 的值约为（ ）34mA. B. C. D. 27415651711已知双曲线 的左,右焦点分别为 ,若双曲线上存在点 ,2(0,)xyab12FP使 ,则该双曲线的离心率 范围为（ ）12sinPFSINceA. （1, ） B. （1, ）
4、C. （1, D. （1, 32312已知函数 若关于 的方程 有且仅有一个实数解，120,log.xafx0fx则实数 的取值范围是（ ）aA B C D,00,0,10,1,二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13锐角 中角 的对边分别是 ，若 ，且 的面积为 ，ABC, ,abc4,3bABC3则 _c14设 是两条不同的直线, 是两个不同的平面,则下列四个命题中ab（1）若 ,则 ; （2）若 ,则 ;,/,aa（3）若 ,则 ; （4）若 ,则 .,a/a,b/b其中所有真命题的序号是.15学校艺术节对同一类的 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、
5、乙、丙、,ABCD丁四位同学对这四项参赛作品预测如下:甲说：“ 作品获得一等奖” ； 乙说：“ 作品获得一等奖”AC丙说：“ 两项作品未获得一等奖” 丁说：“是 或 作品获得一等奖”,BDAD若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是 _16已知平面图形 为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在的直线，其余各边均在此C直线的同侧） ，且 ，则四边形 面积的最大值为_2,4,5,3ADBC三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17.（本小题满分 12 分）等差数列 的前 n 项和为 ，已知 ， 为整数，且 .nanS10a24nS（
6、1）求 的通项公式；na（2）设 ，求数列 的前 n 项和 .1nbnbnT18 （本小题满分 12 分）如图（1）五边形 中， ,ABCDE,/,2,ABCDAB150EC将 沿 折到 的位置，得到四棱锥 ，如图（2） ，点 为线段 的中点，且EADPAPMP平面 .BMC（1）求证： 平面 ./D（2）若直线 与所成角的正切值为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.,PAB12BPD19 （本小题满分 12 分）某石化集团获得了某地深海油田区块的开采权，集团在该地区随机初步勘探了部分几口井，取得了地质资料.进入全面勘探时期后，集团按网络点来布置井位进行全面勘探，由于勘探一口井的费用很高，如果
7、新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口新井，以节约勘探费用，勘探初期数据资料见如表：（参考公式和计算结果：， ， ， ）12niixybaybx4219i42195ixy（1）16 号旧井位置线性分布，借助前 5 组数据求得回归直线方程为 ，求 的值，并估计6.yxa的预报值. y（2）现准备勘探新井 ，若通过 1，3，5，7 号并计算出的 ， 的值（ ， 精确到 0.01）相71,25 baba比于（1）中的 ， ，值之差不超过 10%，则使用位置最接近的已有旧井 ，否则在新位置打开，ba 61,y请判断可否使用旧井？（3）设出油量与勘探深度的比值 不低于 20
8、的勘探井称为优质井，那么在原有 6 口井中任意勘探 4k口井，求勘探优质井数 的分布列与数学期望.X20 （本小题满分 12 分）已知抛物线 的焦点在抛物线 上，点 是抛物线21:Cxpy22:1CyxP上的动点1C（1）求抛物线 的方程及其准线方程；1（2）过点 作抛物线 的两条切线， 、 分别为两个切点，求 面积的最小值P2CABPAB21 （本小题满分 12 分）已知函数 ，其中 .21xfxaeaR（1）求函数 的零点个数；fx（2）证明： 是函数 存在最小值的充分而不必要条件.0afx22选修 44：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分）在平面直角坐标系 中，圆 的参数方程为 ，
9、（t 为参数） ，在以原点 O 为极点，xoyC52cos3inxy轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线 的极坐标方程为 ， 两点的极x l s()24,AB坐标分别为 (2,),AB（1）求圆 的普通方程和直线 的直角坐标方程； Cl（2）点 是圆 上任一点，求 面积的最小值PPA23选修 4-5：不等式选讲（本小题满分 10 分)已知函数 ，23fxax13gx（1）解不等式： ；g（2）若对任意的 ，都有 ，使得 成立，求实数 的取值范围.1xR2x12fxga厦门外国语学校 2017-2018 学年第二学期高三第一次考试数学（理科）试题参考答案 一.选择题1-11ACACB CDC
10、DB AC二.填空题13 14 （1） （4） 15C 16. .3230【选择填空解析】1A2C解：由题意可知： ， ，1Ax|2Bx由交集的定义可得： ，表示为区间即 .|1,23A4C解：由题意得圆心为 ，半径为 。圆心到直线的距离为 ，,0a212ad由直线与圆有公共点可得 ，即 ，解得 。11a3实数 a 取值范围是 。3,5B6C解：由题意可知：该几何体上半部分为半球，下半部分为正方体，且正方体的面内切于半球的截面，且正方体的棱长为 2，33 3442,28VRVa球 正 方 体该几何体的体积为： .4正 方 体 球7D解：当 时， , 时， ,当 时， ,所以是一个周期问题， ,
11、当0k1SK12SK2S3T时，被 3 整除余 2，所以 的值是当 时的值，所以 ，当 时，输出 .29K 201K2S8C解: = ,cos3 2221coscoscos33329.D解:当 为奇数时,n22()1)()(1);nafnn当 为偶数时， 所以 1232014(35)(79)(13)-+aa （ 4079） 0410. B解: 如图，点 在以 为邻边的正方形内部，正方形面积为 1， 能构成钝角三角形的三,xy,OAB,xy边，则 ，如图弓形内部，面积为 ，由题意 ，解得21xy1423420472511A解:由题意，点 不是双曲线的顶点，否则 无意义，在 中，由正弦定P1221
12、acsinPFsin12PF理得 ，又 ，即 ， 在双曲线的1221FsinsinF11222,acsinsia12ca右支上，由双曲线的定义，得 ，即 ，由双曲线的几何性122,PPFa2PFc质，知 ，即 ， ，解得 ，又22,aPFcc220c210e1e，所以双曲线离心率的范围是 ，故选 A.1e1,11. C解：由函数 可知，在 部分.当 时 .当 时 .当12,0log.xaf0x0a2x0a2x时 恒成立.因为关于 的方程 有且仅有一个实数解，所以只能是 只有一0a2x xf()1f个解.当 时有一个解 .所以要使在 上没解，有前面可得 成立.当 时要使200a0a才能成立01a
13、13 3解：由题意得 ，又锐角 ，所以 ，由余弦定理得13siniC22abABC322co5,1.cabCc14 （1） （4） 解：选项（1）中，由面面垂直的判定定理知（1）正确；选项（2）中，由线面垂直的判定定理知，（2）错；选项（3）中，依条件还可得 ，故（3）错；选项（4）中，由线面垂直的性质知 ， 故a /ab（4）正确.考点：线面垂直、面面垂直的判断与性质15C解:若 是一等奖，则甲丙丁都对，不合题意；若 是一等奖，则甲乙丁都错，不合题意；若 是一ABC等奖，则乙丙正确，甲丁错，符合题意；若 是一等奖，则甲乙丙错，不合题意，故一等奖是 D16. .230解：设 ，在 中，由余弦定
14、理得， .ACxB224cos2016cosxB在 中，由余弦定理可得， ，即有 ，D235cos3x D587B又四边形 面积 ，即有 ，又114sininSD8in5siS，两式两边平方可得 .化简可得，15sin8i7B26240sc49Bs，由于 ，即有 ，当 即2240co()40DS1cos1230So1BD时， ，解得 .230S故 的最大值为 .S230三.解答题17. 解：（1）由 ， 为整数知，等差数列 的公差 为整数10a2 nad又 ，故 2 分4nS45,于是 ，解得 ，4 分103,0d1532d因此 ，故数列 的通项公式为 6 分na1na（2） ，8 分1303
15、03nb于是 121113704703nnTb n 12 分300118.（ 1）证明：取 的中点 ，连接 ，则 ，PDN,AM1/,2NCD又 ，所以 ，2 分/,2ABC/,B则四边形 为平行四边形，所以 ，3 分M/又因为 面PDANC面所以 平面 5 分/B（2）又 平面 ， 平面 ， .ANP,APD由 即 及 为 的中点，可得 为等边三角形，EDNPA ，又 ， ， ，06015EDC09CD 平面 平面 ，C,PAB平面 平面 .6 分， 为直线 与 所成的角，/ABCDPCAB由（1）可得 ， ， ，091tan2PDCPD设 ，则 ，2,取 的中点 ，连接 ，过 作 的平行线
16、，ADOPAB可建立如图所示的空间直角坐标系 ，Oxyz则 ，113,0,20,2 2BC ，9 分3,4M来源:Z.X.X.K所以 ，1331,0,024DBPBM设 为平面 的法向量，则 ，即 ，,nxyzD0nDP0132xyz取 ，则 为平面 的一个法向量，3,3B ，27cos, 31nBM则直线 与平面 所成角的正弦值为 .12 分PD719.（1）因为 ， .5x0y回归直线必过样本中心点 ，则 .2 分,x506.175aybx故回归直线方程为 ，当 时， ，即 的预报值为6.517.y1.24y24.4 分（2）因为 ， ， ， ，4x6.25y4219ix42195iixy
17、所以 ，6 分2142iiib 2683，即 ， ， ， .6.58341. 9ayx.b1.9a6.5b17a， ，均不超过 10%，%ba因此使用位置最接近的已有旧井 .8 分61,24（3）由题意，1，3，5，6 这 4 口井是优质井，2，4 这两口井是非优质井，所以勘察优质井数 的可能取值为 2， 3，4，X， ，2465CP14685CP.40261XX 2 3 4P 58151512 分28134553EX20.试题解析：（） 的方程为 其准线方程为 4 分1C24xy1y（）设 ， ， ， 2Pt（ ， ） 1,Axy2,Bxy则切线 的方程： ，即 ，又 ，1211xy21x所
18、以 ，6 分112yxy同理切线 的方程为 ，PB22xy又 和 都过 点，所以 ，A12240 tt所以直线 的方程为 . 8 分Btxyt联立 得 ，所以 。24 1ytxt2410xt124 xt所以 221664ABtt点 到直线 的距离 P2228+16ttdt所以 的面积 10 分AB3221312SABtt所以当 时， 取最小值为 。即 面积的最小值为 2.12 分0tPAB21解（1）由 ，21xfxae得 2 分12xfxe xa12xxe令 ，得 ，或 .0fa所以当 时，函数 有且只有一个零点： ；当 时，函数 有两个相异的零点：2afx 2xafx， .5 分2x（2）
19、当 时， 恒成立，此时函数 在 上单调递减，0fxfx,所以，函数 无极值.6 分f当 时， ， 的变化情况如下表：2axf所以， 时， 的极小值为 .0afx10afe又 时， ，2x224aa所以，当 时， 恒成立.1xfxe所以， 为 的最小值.1afe故 是函数 存在最小值的充分条件.10 分0afx当 时， ， 的变化情况如下表：5f因为当 时， ，5x2150xfxe又 ，120fe所以，当 时，函数 也存在最小值.5afx所以， 不是函数 存在最小值的必要条件.0综上， 是函数 存在最小值的充分而不必要条件.12 分afx22解： （1）由 消去参数 t，得 ， 52cos3in
20、ty 22(5)(3)xy所以圆 C 的普通方程为 2 分22()(3)xy由 ，得 ，换成直角坐标系为 ，cos()4cossin220xy所以直线 l 的直角坐标方程为 5 分20xy（2） 化为直角坐标为 在直线 l 上，(,)2,AB(,)2,)AB并且 ，设 P 点的坐标为 ，5cos,3intt则 P 点到直线 l 的距离为 ，8 分62cos(22i 4tttd ，所经 面积的最小值是 10 分min2dPAB14S23.解：试题解析：（）由 得2gx31317xx.5 分7168x（） 的值域为 ，对任意的 ，都有 ，使得 成立g3,1xR2x12fxg，7 分mininfx 2323fxaxxaa3a06所以实数 的取值范围是 .10 分|06
