1、长沙市雅礼中学、河南省实验中学 2018 届高三联合考试试题数学（理科）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数满足 ，则对应点所在的象限是（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D【解析】由题意设 ，由 ，得 ， ，所以 ，在第四象限，选 D。2. 设集合 ， ，则 的子集的个数是（ ）A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【答案】A【解析】由题意可知，集合 A 是圆上的点，集合 B 是指数 上的点，画图可知两图像有 2 个交点，所以 中有 2
2、个元素，子集个数为 4 个，选 A.3. 已知双曲线 （ ， ）的一个焦点为 ，一条渐近线的斜率为 ，则该双曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意得 c=2, ,且 ，所以 ，双曲线方程为 ，选 C.4. 在数列 中， ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意得 ，n 分别用取 1，2，3 （n-1）代，累加得，选 C5. 某几何体的三视图如图所示，其中正视图由矩形和等腰直角三角形组成，侧视图由半圆和等腰直角三角形组成，俯视图的实线部分为正方形，则该几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由三视图知几何体的上半部分是半
3、圆柱，圆柱底面半径为 1，高为 2，其表面积为： ，下半部分为正四棱锥，底面棱长为 2，斜高为 ，其表面积： ，所以该几何体的表面积为本题选择 A 选项.点睛：(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和6. 孙子算经是中国古代重要的数学著作，书中有一问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？”该著作中提出了一种解
4、决此问题的方法：“重置二位，左位减八，余加右位，至尽虚减一，即得 ”通过对该题的研究发现，若一束方物外周一匝的枚数 是 8 的整数倍时，均可采用此方法求解如图是解决这类问题的程序框图，若输入 ，则输出的结果为（ ）A. 23 B. 47 C. 24 D. 48【答案】B【解析】输入初始值 n=24,则 S=24第一次循环：n=16,S=40第二次循环：n=8,S=48第三次循环：n=0,S=48,即出循环 s=47,输出 47,选 B.7. 郑州绿博园花展期间，安排 6 位志愿者到 4 个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安
5、排方案共有（ ）A. 168 种 B. 156 种 C. 172 种 D. 180 种【答案】B【解析】分类：（1）小李和小王去甲、乙，共 种（2）小王，小李一人去甲、乙，共种， （3）小王，小李均没有去甲、乙，共 种，总共 N 种，选 B.【点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏.在本题中，小王与小李是特殊元素，甲、乙是特殊位置，用“优先法” ，先根据特殊元素，再根据特殊位置的限制条件来进行分类.8. 设 ， ， 是半径为 1 的圆 上的三点， ，则 的最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】以 OA,OB 所在直线分别为 轴， 轴，则 ,设
6、 ，且 ，所以，由于 ，所以 ，当时， 有最大值 ，选 A.点睛：本题主要考查了向量数量积在几何中的应用以及基本不等式的应用，属于中档题。向量数量积的坐标运算是解题的关键。9. 将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，则 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意得 = ，图象向右平移 个单位长度，得 ，而 ，所以， = ，所以 所以 ， ，选 D.10. 已知 ，其中 ，为自然对数的底数，则在 的展开式中 的系数是（ ）A. 240 B. 80 C. D. 【答案】B【解析】由积分可得 ，所以 展开式中通项可写为，当 r=2,t=0 时，N=-80 ,当 r=
7、3,t=1 时，N=160 ,所以 的系数为 80，选 B.11. 过抛物线 ： 的焦点 的直线与抛物线 交于 ， 两点，与抛物线准线交于 ，且 ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】设准线与 x 轴交于点 E,作 PA,QB 分别垂直准线于 A,B，设 FP=t,则 PM=2t,PA=t,EF=2,由相似比得，解得 ，选 C.【点睛】对于抛物线过焦点的直线抛物线交于两点 P,Q 与准线相交于点 M 的题目，我们常作 PA,QB 分别垂直准线于 A,B，由抛物线定义与多个直角三角形相似比，可建立多个等式关系而解题。12. 已知函数 的图象与直线 （ ）恰有三个公共点，这三个点的横
8、坐标从小到大分别为 ， ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意得直线过定点 ，且斜率 k0,由对称性可知，直线与三角函数图像切于另外两个点，所以 ， ，则切线方程过点 ，所以，而 = 。选 B.【点睛】直线与曲线相切一般要应用三点，一是曲线在切点处的导数是切线的斜率，二是切点即在曲线上也在切线上，三是没有切点要设切点。本就用到了上面三点，然后再配求所求式子的结构。第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知实数 ， 满足 则 的最小值为 _【答案】4【解析】由约束条件画出可行域如下图，目标函数可化简为 = ，设 ,所以
9、即可行域上的点 P 与定点 D(0,-2)斜率的范围为 ,过点 A(1,0)时取最小值，所以目标函数的最小值为 4，填 4.【点睛】线性规划中常见目标函数的转化公式：（1）截距型： ，与直线的截距相关联，若 ，当 的最值情况和 z 的一致；若 ，当 的最值情况和的相反；（2）斜率型： 与 的斜率，常见的变形： ， .（3）点点距离型： 表示 到 两点距离的平方；14. 已知点 在函数 （其中 ，为自然对数的底数）的图象上，且 ， ，则 的最大值为_【答案】e【解析】由题意得 ，因数 ， ，所以 且 ，令 t= ,所以，等号在 时成立。所以 ，填 e。【点睛】基本不等式的变形式：， (当且仅当
10、时取“ ”号)； (当且仅当 时取“ ”号).利用基本不等式求最值满足条件：一正、二定、三相等.15. 现为一球状巧克力设计圆锥体的包装盒，若该巧克力球的半径为 3，则其包装盒的体积的最小值为_【答案】【解析】轴截面如图，设 则 ，当 时， 。填 。【点睛】本题考查了球内接于圆锥体，求圆锥的体积最值，在解答过程中，运用三角函数表示相关量，按照体积的计算公式表示体积，然后利用函数性质求出最值，选取何种方式建立函数表达式是本题关键。16. 在平面四边形 中， ， ， ， ， 的面积为 ，则_【答案】【解析】不妨设 ，解得，设 ，即解得则点睛：本题考查了三角函数的综合问题，运用余弦定理求出边长，利用
11、三角形面积求出边与角之间的关系，由边长之间的关系结合两角的余弦公式建立等式，从而求出答案，转化的过程有点难度三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 若数列 的前 项和 满足 （ ， ） （1）证明：数列 为等比数列，并求 ；（2）若 ， （ ） ，求数列 的前 项和 【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析】试题分析：（1）由公式 可求得数列 的通项公式。由于数列 的奇偶分类数列，所以求和，需要分奇偶因为项数的数目不同，同时分类求和。试题解析;（1）由题意可知 ，即 ；当 时， ，即 ；所以数列 是首项为，公比为 2 的等比数列，所
12、以 （2）由（1）可知当 时 ，从而为偶数时， ；为奇数时， ，综上，【点睛】当数列的递推关系是关于 形式时，我们常采用公式 ，统一成或统一成 做。对于奇偶分类数列求和时，我们常先求项数为偶数时数列的和，因为这个时候奇数项与偶数的项数各是 ，再求项数为奇数的数列求和，因为这时 n-1 是偶数，所以 ，可以就用前面所求 的结论。18. 如图 1，菱形 的边长为 12， ， 与 交于 点，将菱形 沿对角线 折起，得到三棱锥 ，点 是棱 的中点， （1）求证：平面 平面 ；（2）求二面角 的余弦值【答案】(1)见解析;(2) .【解析】试题分析：（）利用菱形的性质与勾股定理推出 平面 ，从而利用面面
13、垂直的判定求证即可；（）以 为原点建立空间直角坐标系，然后求得相关点的坐标与向量，从而求得平面 与 的法向量，进而利用空间夹角公式求解即可（）证明： 是菱形，, 中， , 又 是 中点，面 面 又 平面平面 平面（）由题意， , 又由（）知 建立如图所示空间直角坐标系，由条件易知故 设平面 的法向量 ，则即 令 ，则所以，由条件易证 平面 ，故取其法向量为所以，由图知二面角 为锐二面角，故其余弦值为 点睛：高考对二面角的考法主要是以棱柱和棱锥为载体进行考查，通常可采用两种方法求解，一是传统法，即通过作出二面角的平面，然后计算，其过程体现“作、证、求” ；二是利用几何体的垂直关系建立空间直角坐标
14、系，通过两个平面的法向量所成角来求解19. 某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜过去 50 周的资料显示，该地周光照量 （小时）都在 30 小时以上，其中不足 50 小时的周数有 5 周，不低于 50 小时且不超过 70 小时的周数有 35 周，超过 70 小时的周数有 10 周根据统计，该基地的西红柿增加量 （百斤）与使用某种液体肥料 （千克）之间对应数据为如图所示的折线图（1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合 与 的关系？请计算相关系数并加以说明（精确到0.01） ；（若 ，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基
15、地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量 限制，并有如表关系：若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为 3000 元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损 1000 元以过去 50 周的周光照量的频率作为周光照量发生的概率，商家欲使周总利润的均值达到最大，应安装光照控制仪多少台？附：相关系数公式 ，参考数据 ， 【答案】(1)见解析;(2)为使商家周利润的均值达到最大应该安装 2 台光照控制仪【解析】试题分析：(1)由折线图，可得 ，依次算得 ， ， ，可求得 r, 所以可用线性回归模型拟合 与 的关系.(2)分别计算安装 1 台，2 台时所获周利润值（
16、期望值） ，数值大的为所选择。试题解析：（1）由已知数据可得 ， ，因为 ，所以相关系数 ，因为 ，所以可用线性回归模型拟合 与 的关系（2）记商家周总利润为 元，由条件可知至少需要安装 1 台，最多安装 3 台光照控制仪安装 1 台光照控制仪可获得周总利润 3000 元；安装 2 台光照控制仪的情形：当 时，只有 1 台光照控制仪运行，此时周总利润 元，当 时，2 台光照控制仪都运行，此时周总利润 元，故 的分布列为：2000 60000.2 0.8所以 元综上可知，为使商家周利润的均值达到最大应该安装 2 台光照控制仪【点睛】本题考查了折线图识图，虽然简单，但在学习过程容易忽略。第（1）主
17、要考查数据的运算能力，较简单。第（2）是考查学生利用统计知识解决实际问题，体现了数学知识的应用性，需要注意的是可以选择安装一台，也可以安装两台，而两台时是一个期望值。20. 设点 为圆 ： 上的动点，点 在 轴上的投影为 ，动点 满足 ，动点 的轨迹为 （1）求 的方程；（2）设 与 轴正半轴的交点为 ，过点 的直线的斜率为 （ ） ，与 交于另一点为 ，若以点 为圆心，以线段 长为半径的圆与 有 4 个公共点，求 的取值范围【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）利用相关点法求出 的方程；（2）由 得 ，设 ， ，则点 的轨迹方程为 ，由 ，得 ，( )(*)依题意得，(*)式关
18、于 的方程在 有两个不同的实数解，利用二次函数有关知识即可求出 的取值范围.试题解析：(1)设点 ， ，则 ，因为 ，所以 ，所以 ，解得 ，由于点 在圆 上，所以 ，所以点 的轨迹 的方程为 .(2)由(1)知， 的方程为 ，因为直线 .由 得 ，设 ， ，因此 ， ，则点 的轨迹方程为 ，由 ，得 ，( )(*)依题意得，(*)式关于 的方程在 有两个不同的实数解，设 ，因为函数 的对称轴为 ，要使函数 的图象在 与 轴有两个不同的交点，则 ，整理得： ，即 ，所以 .解得 ，所以 的取值范围为21. 已知函数 （ ， ，为自然对数的底数） ，若 对于 恒成立（1）求实数的值；（2）证明：
19、 存在唯一极值点 ，且 【答案】(1) ;(2)见解析.【解析】试题分析：（1）对函数 f(x)提取公因式，可知只需 ，而 ，所以 是的一个极小值点，可解得 。 （2）由（1）知 ， ， 令，则 ，由单调性及 ， ，知在 上存在 ，满足,可知 在 上只有一个极小值点 0， 存在唯一的极大值点 ，且 再由隐零点回代可证得不等式成立。试题解析：（1）由 ，可得 ，因为 ，所以 ，从而 是 的一个极小值点，由于 ，所以 ，即 当 时， ， ， 时， ， 在 上单调递减，时， ， 在 上单调递增； ，故 （2）当 时， ， 令 ，则 ， 时， ， 在 上为减函数；时， ， 在 上为增函数，由于 ， ，
20、所以在 上存在 满足 ， 在 上为减函数， 时， ，即 ， 在 上为增函数，时， ，即 ， 在 上为减函数，时， ，即 ， 在 上为减函数，时， ，即 ， 在 上为增函数，因此 在 上只有一个极小值点 0，综上可知， 存在唯一的极大值点 ，且 ， ，所以 ， ， 时， ， ； ， ；综上知： 【点睛】利用导数求函数在闭区间上的最值问题，先对函数求导，再求导函数的零点，一般先看能不能因式分解，如果不能就要分三个方面考虑，一是导函数恒正或恒负，二是可观察出函数的零点，再通过二阶导证明导函数单调，导函数只有唯一零点，三是导函数的零点不可求，我们一般称为隐零点，通过图像和根的存在性定理，先判定和设零点
21、，后面一般需要回代消去隐零点或参数。请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中，倾斜角为 的直线过点 ，以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 （1）写出直线的参数方程（ 为常数）和曲线 的直角坐标方程；（2）若直线与 交于 、 两点，且 ，求倾斜角 的值【答案】(1)见解析;(2) .【解析】试题分析：（1）由已知可得直线的参数方程为： （为参数） ，曲线 的极坐标方程为 可得 ，即可得出普通方程；（2）将直线的参数方程代入曲线 的普通方程得到 ，则有 ，利用参数的意义即
22、可得出 .试题解析：(1)直线的参数方程为 (为参数)，曲线 的直角坐标方程： .(2)把直线的参数方程代入 ，得 ， ， ，根据直线参数的几何意义， ，得 或 .又因为，所以 .23. 选修 4-5：不等式选讲已知函数 （1）当 时，求不等式 的解集；（2）若二次函数 与函数 的图象恒有公共点，求实数 的取值范围【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）当 时， 把要的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求；（2）由二次函数 在 取得最小值 在 处取得最大值 ，故有 ，由此求得实数 的范围.试题解析：（1）当 时，由 的不等式的解集为（2）由二次函数 该函数在 处取得最小值 2，因为 在 处取得最大值 ,所以要使二次函数 与函数 的图像恒有公共点，只需
