1、页 1 第2018 年陕西省高三教学质量检测试题（一）数学（理）第卷（选择题 共 60 分）一、选择题（本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设集合 ， ，则 中元素的个数（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】D【解析】集合 ， ，则 故公共元素共 3 个。故答案为：D。2. 欧拉公式 （为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数理论里非常重要，被誉为“数学中的天桥” ，根据欧拉公式可知， 表示的复数在复平面中位于（ ）A. 第一象
2、限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】B【解析】 ， ， ， ， 表示的复数在复平面中位于第二象限，故选 B.3. 已知命题 对任意 ，总有 ； “ ”是“ ”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为命题 p 对任意 xR,总有 2x0，根据指数函数的性质判断是真命题；命题 q:“x1”不能推出“x2” ；但是“x 2”能推出 “x1”所以：“x1”是“x2”的必要不充分条件，故 q 是假命题；所以 pq 为真命题；本题选择 D 选项.页 2 第4. 已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， .若 ，则 （ ）A. 420 B
3、. 340 C. -420 D. -340【答案】D【解析】根据等差数列的性质得到 故得到 故答案为：D。5. 设 ，定义符号函数 ，则函数 的图像大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】函数 f（x）=|x|sgnx= =x，故函数 f（x）=|x|sgnx 的图象为 y=x 所在的直线，故答案为：C。6. 将 2 名教师、4 名学生分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成，不同的安排方案共有（ ）A. 12 种 B. 10 种 C. 9 种 D. 8 种【答案】A【解析】试题分析：第一步，为甲地选一名老师，有 种选法；第
4、二步，为甲地选两个学生，有种选法；第三步，为乙地选 名教师和 名学生，有 种选法，故不同的安排方案共有 种，故选 A考点：排列组合的应用页 3 第7. 若变量 满足约束条件 ，则 的最大值为（ ）A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【答案】B【解析】作出约束条件 ，所对应的可行域（如图阴影部分）变形目标函数可得 ，平移直线可知，当直线经过点 时，直线的截距最大，代值计算可得取最大值 ，故选 B.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对
5、应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.8. 已知 与 均为正三角形，且 .若平面 与平面 垂直，且异面直线 和 所成角为，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D页 4 第【解析】如图：设等边三角形的边长为 4等边三角形 ABC 和 BCD 所在平面互相垂直取 BC 中点 O，则 AOBCOD以 O 为原点，建立如图空间直角坐标系则 A（0，0， ），B（0，2，0），C（0，2，0），D（ ，0，0） =（0，2， ）， =（ ，2，0）故 异面直线 AB 和 CD 所成角的余弦值 故选 D。9. 运行如图所
6、示的程序框图，设输出数据构成的集合为 ，从集合 中任取一个元素，则函数 ，是增函数的概率为（ ）页 5 第A. B. C. D. 【答案】C【解析】由框图可知 A=3，0，1，8，15，其中基本事件的总数为 5，设集合中满足“函数 y=x，x0，+）是增函数”为事件 E，当函数 y=x，x0，+）是增函数时， 0事件 E 包含基本事件为 3，则概率为 故答案为：C。10. 已知 为 所在平面内一点， ， ，则 的面积等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】根据条件得知点 P 在三角形中位线的延长线上，三角形 ABC 是以 B 为直角的直角三角形，记 AC中点为 O 点，OBPC 按
7、这一顺序构成平行四边形的四个边，并且是菱形，边长为 2，故 BC 为 2 ，此时三角形面积为 故答案为：B。11. 过双曲线 的右焦点 作圆 的切线 （切点为 ） ，交 轴于点 .若 为线页 6 第段 的中点，则双曲线的离心率是 （ ）A. B. C. 2 D. 【答案】A【解析】试题分析： ，且 , ， , ，即 ,故选 A考点：双曲线的简单性质12. 若函数 存在极值，且这些极值的和不小于 ，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】f（x）=axx 2lnx，x（0，+），则 f（x）=a2x ，函数 f（x）存在极值， f（x）=0 在（0，+）上有根，即 2x2a
8、x+1=0 在（0，+）上有根，=a 280，显然当=0 时， F（x）无极值，不合题意；方程必有两个不等正根，记方程 2x2ax+1=0 的两根为 x1，x2，x1+x2= ，x1x2= ，f（x1），f（x2）是函数 F（x）的两个极值，由题意得，f（x 1）+f（x2）=a（x1+x2）（x12+x22）（lnx1+lnx2）= +1ln 4ln ，化简解得，a 2 12，满足0，又 x1+x2= 0，即 a0，a 的取值范围是 ，+），故答案为：C。页 7 第第卷（非选择题 共 90 分）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题，每小题 5 分，共 20 分）13. 若直线 是抛物线 的
9、一条切线，则 _【答案】-4【解析】联立直线和抛物线得到 故答案为：-4.14. 若函数 ， 的图像关于原点对称，则函数 ， 的值域为_【答案】【解析】函数 f（x）=ax+b，xa4，a的图象关于原点对称，f（x）是奇函数可得：a4+a=0，且 f（x）=f（x） ，即ax+b=ax b，a=2，b=0那么 g（x）= 根据反比例的性质可得：x4， 1上，g（x）是递减函数g（1）g（x）g（4） ，即2g（x） ，故答案为： 2， 15. 在九章算术中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（bie nao）.已知在鳖臑 中，平面 ， ，则该鳖臑的外接球的表面积为_【答案】【解析】MAB
10、C 四个面都为直角三角形，MA 平面 ABC，MA=AB=BC=2，三角形的 AC=2 ，从而可得 MC=2 ，页 8 第那么 ABC 内接球的半径 r：可得（ r）2=r2+（2 ）2解得：r=2-ABC 时等腰直角三角形，外接圆的半径为 AC=外接球的球心到平面 ABC 的距离为 =1可得外接球的半径 R= 故得：外接球表面积为 .故答案为：12 .点睛：本题考查了球与几何体的问题，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相
11、等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线，这样两条直线的交点，就是其外接球的球心 .16. 已知 的内角 的对边分别是 ，且 ，若 ，则的取值范围为_【答案】【解析】ABC 中， （a 2+b2c2）（acosB+bcosA）=abc，由余弦定理可得：2abcosC（acosB+bcosA）=abc，2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，2cosCsin（A+B）=sinC，2cosCsinC=sinC，sinC0，cosC= ，又 C（0，），C= ，B= A；由正弦定理 ，又 a+b=2，A（0， ），A+ （ ， ） ，可得：sin（A+ ）（ ，1
12、， 页 9 第故答案为： .点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答三、解答题（本大题分必考题和选择题两部分，满分 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）（一）必考题（共 5 小题，每小题 12 分，共 60 分）17. 已知在递增等差数列 中
13、， ， 是 和 的等比中项.（1）求数列 的通项公式；（2）若 ， 为数列 的前 项和，求 的值.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）根据等差数列的性质得到 ，由等比数列的性质得到，从而求出通项；（ 2）由第一问得到 ，求和即可。解析：（）由 为等差数列，设公差为 ，则 . 是 和 的等比中项， ，即 ，解之， 得 （舍） ，或 . .（） .18. 如图，四棱柱 的底面 是菱形， ， 底面 ， ， .页 10 第（）证明：平面 平面 ；（）若 ，求二面角 的余弦值.【答案】(1)见解析(2) 解析：（）证明： 平面 ， 平面 ， . 是菱形， . ， 平面 . 平面 ，平面 平面
14、 .（） 平面 ， ，以 为原点， ， ， 方向为 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系. ， ， ， ， ， .则 ， ， ， ， ， .页 11 第设平面 的法向量为 ， ， ， .令 ，得 .同理可求得平面 的法向量为 . .19. 随着资本市场的强势进入，互联网共享单车“忽如一夜春风来” ，遍布了一二线城市的大街小巷.为了解共享单车在 市的使用情况 ，某调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中随机抽取了200 人进行抽样分析，得到下表（单位：人）：（）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过 0.15 的前提下认为 市使用共享单车情况与年龄有关？（） 现从所抽取的 30 岁以上
15、的网民中，按“经常使用”与“偶尔或不用”这两种类型进行分层抽样抽取 10 人，然后，再从这 10 人中随机选出 3 人赠送优惠券，求选出的 3 人中至少有 2 人经常使用共享单车的概率.将频率视为概率，从 市所有参与调查的网民中随机抽取 10 人赠送礼品，记其中经常使用共享单车的人数为 ，求 的数学期望和方差 .参考公式： ，其中 .参考数据：【答案】(1) 能在犯错误的概率不超过 0.15 的前提下认为 市使用共享单车情况与年龄有关(2) 页 12 第【解析】试题分析：（1）根据公式得到 ，从而得到结果；（ 2）由条件得到 ，根据二项分布的公式得到期望值。解析：（）由列联表可知，. ，能在犯
16、错误的概率不超过 0.15 的前提下认为 市使用共享单车情况与年龄有关.（） 依题意，可知所抽取的 10 名 30 岁以上网民中，经常使用共享单车的有 （人） ，偶尔或不用共享单车的有 （人）.则选出的 3 人中至少 2 人经常使用共享单车的概率为 .由 列联表，可知抽到经常使用共享单位的频率为 ，将频率视为概率，即从 市市民中任意抽取 1 人，恰好抽到经常使用共享单车的市民的概率为 .由题意得 ， ； .20. 已知椭圆 的左右焦点分别为 和 ，由 4 个点 ， ， 和 组成了一个高为 ，面积为 的等腰梯形.（）求椭圆的方程；（）过点 的直线和椭圆交于两点 ，求 面积的最大值 .【答案】(1
17、) (2) 的最大值为 3.【解析】试题分析：（1）根据椭圆的几何意义得到椭圆方程；（2）联立直线和椭圆，得到二次方程，根据 ，由韦达定理和弦长公式求解即可。解析：（）由条件，得 ，且 ，.页 13 第又 ，解得 ， .椭圆的方程 .（）显然，直线的斜率不能为 0，设直线方程为 ，直线与椭圆交于 ， ，联立方程 ，消去 得， .直线过椭圆内的点，无论 为何值，直线和椭圆总相交. ， . .令 ，设 ，易知 时，函数 单调递减 ， 函数单调递增，当 ，设 时， ， 的最大值为 3.点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直
18、线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用21. 设函数 ， .（）若曲线 在点 处的切线与直线 垂直，求 的单调递减区间和极小值（其中为自然对数的底数）；（）若对任何 ， 恒成立， 求 的取值范围.【答案】(1) 的单调递减区间 ，极小值为 2 (2) 【解析】试题分析：（1）因为切线的斜率为 0，页 14 第所以由导数几何意义得 ，求导列式 ，得 ，从而导函数零点为 ，列表分析区间符号得 在 上单调递减，在 上单调递增，再由极值定义
19、知当 时， 取得极小值 （2）分类变量得 ，因此构造函数 则 在上单调递减，也即 在 上恒成立，再分类变量得 得最大值，因此试题解析：（1）由条件得 ，曲线 在点 处的切线与直线 垂直，此切线的斜率为 0，即 ，有 ，得 ， ，由 得 ，由 得 在 上单调递减，在 上单调递增，当 时， 取得极小值 故 的单调递减区间为 ，极小值为 2（2）条件等价于对任意 恒成立，设 则 在 上单调递减，则 在 上恒成立，得 恒成立， （对 仅在 时成立） ，故 的取值范围是考点：导数几何意义，利用导数研究不等式恒成立问题【方法点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法页 15 第（1）分离参数法：
20、将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f（x）a 恒成立，只需 f（x）mina 即可；f（x）a 恒成立，只需 f（x）maxa 即可.（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值（最值） ，然后构建不等式求解.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中，已知曲线 的参数方程为 ，（ 为参数）.以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系 ，直线的极坐标方程为 .（）当 时，
21、求曲线 上的点到直线的距离的最大值；（）若曲线 上的所有点都在直线的下方 ，求实数的取值范围.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：(1)由题意结合点到直线距离公式可得距离的解析式为 ，结合三角函数的性质可得曲线 上的点到直线的距离的最大值为 .(2)原问题等价于对 ，有 恒成立，结合恒成立的条件可得实数的取值范围是 .试题解析：（1）直线的直角坐标方程为 .曲线 上的点到直线的距离，当 时， ，即曲线 上的点到直线的距离的最大值为 .（2）曲线 上的所有点均在直线的下方，对 ，有 恒成立，页 16 第即 （其中 ）恒成立， .又 ，解得 ，实数的取值范围为 .23. 选修 4-5：不等式
22、选讲已知函数 .（）解不等式 .（）记函数 的值域为 ，若 ，证明 .【答案】(1) (2)见解析【解析】试题分析：（1）先根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解集，最后求并集（2 ）利用绝对值三角不等式求 最小值得 3，所以作差得 ，根据因子符号证明不等式试题解析：（1）依题意，得于是得 或 或解得 .即不等式 的解集为 .（2 ） ，当且仅当 时，取等号， .原不等式等价于 . ， ， . .页 17 第 .点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向
