1、2017届湖南省五市十校教研教改共同体高三 12月联考数学（理）试题 数学（理）第 I 卷（选择题，共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合 ，则 （ ）1|2,|04xAxBABA B C D,4,2.已知复数 满足 ，则 （ ）z1izA1 B C2 D 23.已知数列 的前 项和 ，则“ “是“数列 是等比数列”的（ na0nSAqBABna）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D 既不充分也不必要条件4.在矩形中 中， ，在 上任取一点 ， 的最大边是 的概率是（ ）2ACDPABABA B
2、 C D2321315.如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A B C D272732736.若变量 满足约束条件 ，则 的最小值是（ ）,xy40yxzxyA4 B6 C8 D127. 已知 是双曲线 的左、右焦点，过点 且与 轴垂直的直线与双曲线左支交于点12F、 2:1xyEab1Fx，已知 是等腰直角三角形，则双曲线的离心率是（ ）,MN2A B2 C D1228. 是边长为 2 的等边三角形，向量 满足 ，则向量 的夹角为（ C,ab,ABaCb,a）A30 B60 C120 D1509.执行如图所示程序框图，若输出的 值为-20，则条件框内应填写（ ）SA B
3、 C D3?i4?i4?i5?i10.函数 在 的图象大致为（ ）2ln1xy,2A BC D11.等差数列 的前 项和为 ，且 ，若存在自然数 ，使得 ，则当 时，nanS10a3mmaSn与 的大小关系是（ ）nSA B C D大小不能确定nnn12.已知函数 的部分图象如图，则 （ ）si0,2fx2016nfA-1 B0 C D12第卷（非选择题 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上13.已知直线 与圆 相交，弦长为 2，则 _:30lmxy21xym14.在 的展开式中含 项的系数是_（用数字作答）521315.有共同底边的等边
4、三角形 和 所在平面互相垂直，则异面直线 和 所成角的余弦值为ABCDABCD_16.有一支队伍长 米，以一定的速度匀速前进，排尾的传令兵因传达命令赶赴排头，到达排头后立即返L回，且往返速度不变，如果传令兵回到排尾后，整个队伍正好前进了 米，则传令兵所走的路程为L_三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分 12 分）已知 分别为 三个内角 的对边，且 ,abcABC,cos3in0aCbc（1）求 ；A（2）若 为 边上的中线， ，求 的面积DBC129cos,7BADABC18.（本小题满分 12 分）为响应国家“精准扶贫，产
5、业扶贫“的战略，进一步优化能源消费结构，某市决定在一地处山区的 县推A进光伏发电项目，在该县山区居民中随机抽取 50 户，统计其年用电量得到以下统计表，以样本的频率作为概率用电量（度） 0,220,40,60,80,1户数 5 15 10 15 5（1）在该县山区居民中随机抽取 10 户，记其中年用电量不超过 600 度的户数为 ，求 的数学期望；X（2）已知该县某山区自然村有居民 300 户，若计划在该村安装总装机容量为 300 千瓦的光伏发电机组，该机组所发电量除保证该村正常用电外，剩余电量国家电网以元/度进行收购经测算以每千瓦装机容量平均发电 1000 度，试估计该机组每年所发电量除保证
6、正常用电外还能为该村创造直接收益多少元？19.（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥中 平面 ，且 ，,PABCD,AD/BC,2ADC42,BC（1）求证： ；ABPC（2）在线段 上，是否存在一点 ，使得二面角 的大小为 45，如果存在，求 与平DMACDBM面 所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由M20.（本小题满分 12 分）如图，设点 的坐标分别为 ，直线 相交于点 ，且它们的斜率之积为 ,AB3,0,APB23（1）求点 的轨迹方程；P（2）设点 的轨迹为 ，点 是轨迹为 上不同于 的两点，且满足 ，求CMN、 C, /,/APOMBN证： 的面积为定值ON21.（本小题满分 1
7、2 分）函数 31,fxaxR（1）若函数 在 上为增函数，求 的取值范围；f a（2）若函数 在 上不单调时；x记 在 上的最大值、最小值分别为 ，求 ；f1,Mma、 a设 ，若 ，对 恒成立，求 的取值范围bR23fxb1,xab请考生在 22、23 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，设倾斜角为 的直线 的参数方程为 （ 为参数）与曲线xOyl3cosinxtyt（ 为参数）相交于不同的两点 1:costanCy ,AB（1）若 ，求线段 的中点的直角坐标；3AB（2）若直线 的斜率为 2，且
8、过已知点 ，求 的值l 3,0PAPB:23. （本小题满分 10 分）（选修 45：不等式选讲）已知函数 fxax（1）若不等式 的解集为 ，求 的值；4f19|2x或 a（2）若对 ， ，求实数 的取值范围xR3f参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 D A B D B B C C D B C B二、填空题13. 14. -10 15. 16. 3142L三、解答题17.解：（1） ，由正弦定理得：cos3in0aCbc，即sinisABC（2）在 中， ，得 7 分ABC1cos743sinB则 35sini218 分由正弦定理得 9 分sin
9、75aAcC设 ，在 中，由余弦定理得：7,xBD，则22cosAD:，解得 ，19115495742xx1x即 11 分7,ac故 12 分sin1032ABCS18解：（1）记在该县山区居民中随机抽取 1 户，其年用电量不超过 600 度为事件 A由抽样可知， 3 分5P由已知可得从该县山区居民中随机抽取 10 户，记其中年用电量不超过 600 度的户数 ，服从二项分布，X即 ，故 6 分10,XB:10EX（2）设该县山区居民户年均用电量为 ，由抽样可得Y（度）10 分5101510357905EY则该自然村年均用电约 150000 度又该村所装发电机组年预计发电量为 300000 度，
10、故该机组每年所发电量除保证正常用电外还能剩余电量约 150000 度，能为该村创造直接收益 120000元12 分19.解：（1）证明：如图，由已知得四边形 是直角梯形，ABCD由已知 ，2,42可得 是等腰直角三角形，即 ，A又 平面 ，则 ，所以 平面 ，所PAPBPC以 4 分BC（2）存在 法一：（猜证法）观察图形特点，点 可能是线段 的中点，MD下面证明当 是线段 的中点时，二面角 的大小为PMACD455 分过点 作 于 ，则 ，则 平面 NA/NPB过点 作 于 ，连接 ，GCG则 是二面角 的平面角，MD因为 是线段 的中点，则 ，在四边形 求得 ，P1,2MAACD1NG则
11、8 分045N在三棱锥 中，可得 ，设点 到平面 的距离是 ，ABC3MABCABVSN:Mh，13BMCVSh:则 ，解得 10 分AMACN2在 中，可得 ，Rt 7B设 与平面 所成的角为 ，则 12 分BMAC26sin9hBM法二：（作图法）过点 作 于 ，则 ，则 平面 ，ND/NPAACD过点 作 于 ，连接 ，则 是二面角 的平面角GAG若 ，则 ，又 ，易求得 ，045M2N1即 是线段 的中点8 分P（以下同解法一）法三：（向量计算法）建立如图所示空间直角坐标系，则0,2,0,2,0,2,0,2ACDPBPD设 ，则 的坐标1PMttM为 6 分,设 是平面 的一个法向量，
12、则nxyzAC，得 ，则可0ACM:20xyttz取 8 分1,nt又 是平面 的一个法向量，0,mACD所以 ，021cos, cos45tmnt:此时平面 的一个法向量可取 ，AMC1,2,31nBM与平面 所成的角为 ，则 12 分B6sico,9n20.解：（1）由已知设点 的坐标为 ，由题意知P,xy，233APBykx:化简得 的轨迹方程为 5 分213yx（2）证明：由题意 是椭圆 上非顶点的两点，且 ，MN、 C/,/ONAPMB则直线 斜率必存在且不为 0，又由已知 ,APB23PBk:因为 ，所以 6 分/OOMNk设直线 的方程为 ，代入椭圆方程 ，得Nxmyt23xy，
13、7 分223460yt设 的坐标分别为 ，,M12,xy则 8 分1212246,33mtty又 ，9 分21212263OMNyytkxttm:所以 ，得 2633tmtm10 分又 ，2124873MONtSty所以 ，即 的面积为定值 12264MONtSMON62分21.解：由已知得 ，1 分331,1,xafxa令 ，则 ，所以 在 上为增函数；2 31gxa210gxgx,a分令 ，则 ，3h2h令 ，得 ，所以 在 和 上是增函数，0x1x,1,在 上为减函数 3 分1,（1）因为 在 上是增函数，所以 在 为增函数，所fxRhx,a以 4 分a（2）因为函数 在 上不单调，所以
14、 ，f 1当 时， 在 上是增函数，在 上是减函数，在 上是增函数，1x,a,a所以 53 24,ma1,mx,3amhMhg分当 ，即 时， ，423a1343a；6 分4Mma当 ，即 时， ，2M；7 分312a当 时， 在 上是减函数，fx,所以 ，故 ，21133mhaha43am综上得 83114,32,13aaMama分 对 恒成立，即 在 上的值域是 的子集，2233bfxb1,xfx1,2,3b当 时， ，即 ，所以 ，1a423ab32a3ab令 ，易得 在 上是增函数，1,3则 ，所1823ab以 10 分,当 时， ，即 ，所以 ，13a32b32a32ab令 ，易得
15、在 上是增函数，32a1,3则 ，所以 11 分1ab2,b当 时， ，即 ，即 ，23abab所以 ，所以 ，综上得 12 分2b2,2,3a选做题：22.解：（1）由曲线 （ 为参数），可得 的普通方程1:costanxCyC是 2 分2xy当 时，直线 的参数方程为 （ 为参数），3l132xty代入曲线 的普通方程，得 ，3 分C2610t得 ，则线段 的中点对应的 ，126tAB2t故线段 的中点的直角坐标为 5 分9,2（2）将直线 的参数方程代入曲线 的普通方程，化简得lC，7 分2cosin6cos80tt则 ，212221taninPABt :9 分故已知得 ，故 10 分t
16、an403PAB:23.解：（1） ，2法一：由已知得 ， 2 分,3,xaf当 ，即 ，得 ； 3 分xa34x12x当 ，即 ，4 分372a由已知 的解集为 或，则显然 5fx19|2x或 2a分法二：由已知易得 的图象关于直线 对称，3fxax32x3 分又 的解集为 ，则 ，即 5 分4fx19|2x或 132a2（2）法一：不等式 恒成立，即 恒成3f1x立6 分当 时，即 恒成立，得 ，解得 ；xa350xa50a52a 7 分当 ，即 恒成立，得 ，解得 ；8 分3当 ，即 恒成立，得 ，解得 9 分3x70a970a2a综上得 10 分2法二：不等式 恒成立，即 恒成立，31fx31xx由图象可知 在 处取得最小值 ，8 分a3a而 在 处取得最大值，故 ，得 10 分31x1a2
