2018届福建省百所重点校高三上学期联合考试数学（理）试题（解析版）.doc

1、2018 届福建省百所重点校高三上学期联合考试数学（理）试题一、单选题1设集合 ，则 中整数元素的个数为（ 27,5217AxBxAB）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】B【解析】 27x则 0A521Bx7则 中整数有AB3456， ， ，故答案选2已知向量 ， ，则“ ”是“ 与 共线”的（ 1,am,2bm2ab）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当 时， ， 则 与 共线，21a， 2b， ab当 与 共线时， ， ，abm11m，“ ”是“ 与 共线”的充分不必要条件ab故选 A3中国古代数学名著九章算术

2、 中有这样一个问题:今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰:“我羊食半马.” 马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿 5 斗粟.羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还 升， 升， 升，1abc斗为 10 升，则下列判断正确的是( )A. ， ， 依次成公比为 2 的等比数列，且abc 507aB. ， ， 依次成公比为 2 的等比数列，且 cC. ， ， 依次成公比为 的等比数列，且abc12507aD. ，

3、 ， 依次成公比为 的等比数列，且【答案】D【解析】由条件知 ， ， 依次成公比为 的等比数列，三者之和为 52 升，根据abc12等比数列的前 N 项和，即 5024.7a故答案为 D。4若函数 在 上递减，则 的取值范围是（ ）21xfe,aA. B. C. D. 21,e,21,e21,e【答案】B【解析】 21xfeax函数 在 上递减，2xfe0,1a2ae故答案选 B5某几何体的三视图如图所示，其中每个视图中的四个小正方形的边长都相等，若该几何体的体积为 ，则该几何体的表面积为（ ）12A. 36 B. 42 C. 48 D. 64【答案】C【解析】有三视图知该几何体是正方体，挖去

4、了右上角和左下角两个八分之一的小正方体，剩下的体积为整个正方体的体积的四分之三，故得到正方体边长为 此时表面积是 312.2.4aa2.32648.故答案为 C。6定义在 上的奇函数 的一个零点所在区间为（ ）R4sinxfaxA. B. C. D. ,0a,3,3a【答案】C【解析】函数 为奇函数，24sinxfax ，fx即 ,24sinsixax整理得 在 上恒成立，120xR , ，4sinxf 1 120,24sin0,ff,3si8sif 函数 的零点在区间 内。选 C。fx1,7设变量 满足约束条件 则 的取值范围为（ ）,y0, 3,2xyzxyA. B. C. D. 2,6,

5、10,6【答案】D【解析】画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示，由 得 ，zxyz平移直线 ，结合图形可得，当直线经过可行域内的点 A 时，直线在 y 轴上的截距最小，此时 z 取得最大值。由 ，解得 ，所以点 A 的坐标为（3，-3 ） 。3 0xy3 xy 。max6z 的取值范围为 。选 D。y,8在正四棱锥 中，已知异面直线 与 所成的角为 ，给出下面三PABCPBA60个命题:若 ，则此四棱锥的侧面积为 ；1p2AB43：若 分别为 的中点，则 平面 ；2,EF,PCAD/EFPAB:若 都在球 的表面上，则球 的表面积是四边形 面积的3 OCD倍. 在下列命题中，为真命题的是（

6、 ）A. B. C. D. 23p12p13p23p【答案】A【解析】因为异面直线 与 所成的角为 ，AD 平行于 BC，故角 PBC= ，PBAD6060正四棱锥 中，PB=PC，故三角形 PBC 是等边三角形；当 AB=2，此四棱锥-C的侧面积为 ，故 是假命题；431p取 BC 的中点 G， 分别为 的中点故得 ，故平面,EF,C/,/ABFGPEEFG/平面 PAB，从而得到 EF/平面 PAB，故 是真命题；2p设 AB=a, AC 和 BD 的交点为 O，则 PO 垂直于地面ABCD，PA，AO ，PO O 为球心，球的半径为 ，表面积为 ,又正方形的面积为 ,故 为真。 2a2a

7、3p故 为真； 均为假。23p12p13p23p故答案为 A。9设 ，定义运算: ，则（ ）,0,ablog,abA. B. 2484824824C. D. 【答案】B【解析】 中， A24log， 28log33， ， ，故 错误；4l 32log332l4logA中， ， ， ， C48l32l8l34log， ，故 错误；24log28log3C中， ， ，故 错误；D3248log3D故答案选 B点睛：本题是一道新定义运算的题目，在解题过程中按照题目给的条件进行计算，然后再比较大小，本题难度不大，但是在计算过程中要注意结果10设 为数列 的前 项和， ，且 .记 nSna11232nn

8、a123anT为数列 的前 项和，若 ，则 的最小值为（ ）1n*,nNTmA. B. C. D. 1323【答案】A【解析】由 2anan1=32n1（n2） ，得， 1132424nnnaa由 2anan1=32n1（n2） ，且 3a1=2a2，可得 2a2a1=6，即 2a1=6，得 a1=3数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，n4则 121121 224nnnn a （2+22+23+2n） 22n21n11.2nnS 12nn 1123nnnnaS2.3nnnT对 nN，Tnm，m 的最小值为 1故答案为 A。点睛：这个题目考查的是数列求通项的常用方法：配凑法，构造新数列。也

9、考查了等比数列求和公式的应用，数列和的最值。关于数列之和的最值，可以直接观察，比如这个题目，一般情况下需要研究和的表达式的单调性：构造函数研究单调性，做差和0 比研究单调性，直接研究表达式的单调性。11当 时， 恒成立，则 的取值范围为（ ）0xln1xeaaA. B. C. D. ,1,e,0【答案】A【解析】 1xealn令 xFl021xeax只需 ，0F即 210xeaxa2xex当 时， 01a则 的取值范围为 ,故选 A二、填空题12设向量 满足 ， ，则 _,ab225abab【答案】 12【解析】 ， ，22 24abab又 ，5 ，21 。ab答案： 213函数 的值域为_4

10、xf【答案】 0,2【解析】由 可得： xy40x4x故函数 的值域为4xf,214若函数 的图象相邻的两个对称中心为sin0,f ，将 的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 ，得到51,0,6fx 12的图象，则 _gxg【答案】 sin26x【解析】由题意得 ，所以 。15T2T ，2 ，sinfx又点 在函数图象上，1,06所以 ，sin()0f又 ，2 ， 。6sin6fx将 的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 ，所得图象对应的解析式为fx 12，即 。sin(2)6ysin(2)6gx答案： 15如图，在四棱锥 中， 底面 ， ，底面EABCDEABCD/EFC为矩形， 为线段 的

11、中点， ， ， ， ABCDGG2与底面 所成角为 ，则四棱锥 与三棱锥 的公共部E45G分的体积为_【答案】 29【解析】设 DE 交 FG 于 N 点，连接 NM，则几何体 CGDMN 为两个棱锥的公共部分，因为 G 为 AB 的中点， ,2,1,2,CGDBCGM 为 FC 的中点，取 CD 的中点 P，DG 的中点 H，则/,FDECPM/FD，PH/CG, 121.36DFEDFEDFNPHVHSAA因为 BE 和平面 ABCD 所成角为 ，故 连接 EF，易得045045.,CB121239DFNMDFNNGASFEA2.CDMCGVV故答案为： 。9三、解答题16在 中，角 ,

12、, 的对边分别为 ， ， ，已知 ， ABabc2cosaA.5sin1（1 ）求 ；C（2 ）求 .bc【答案】 （1） ；（ 2）sin453bc【解析】试题分析：（1）先根据正弦定理得到 ，故得到sin2icosAC，已知正弦 A，可求 C 的正弦。 （2） ，根据三角形三个角ta2siAC154的关系得到 ，代入已知三角函数值可求得insincosinB，利用正弦定理得到 。si ibB解：（1） ， ， .2cosaA2sCAta2si0C， ， ，从而 .5iniinc1tn1n4（2 ） ， 为锐角， ，1sinsin45CAC15cos4， 253iicosin05B .sin

13、253bcC17设 为数列 的前 项和， ，数列 满足 .nSna2nSnb231,2nab（1 ）求 及 ；b（2 ）记 表示 的个位数字，如 ，求数列 的前 20 项和.n6174nab【答案】 （1） ， ； （2 ）2nanb09【解析】试题分析：（1）根据 ，可求数列的通项；（2）根据 的前 51naSnb项可知数列 是有周期性的，故可以求出前 5 项的和，再乘以 5 即可.nab解：（1）当 时， ，212nnS由于 也满足 ，则 .1Sa， ， ，是首项为 3，公差为 2 的等差数列， 235ba1nb1b.n（2 ） ， 的前 5 项依次为 1，3,5,7,9.na， 的前 5

14、 项依次为 3,5,7,9，1.1nbb易知，数列 与 的周期均为 5，n的前 20 项和为nab1114379 .1 8204 423579 18已知向量 ，函数 .sin,12cos,16axbx ,fxabR（1 ）若 ，求 ；2,0（2 ）求 在 上的值域；fx0,2（3 ）将 的图象向左平移 个单位得到 的图象，设f6gx，判断 的图象是否关于直线 对称，请说明理由.21hxgxh1x【答案】 （1） 或 ； （2） ；（3 ） 的图象关于直线 对51,h1x称.【解析】试题分析：（1）由 可得 ，所以 或 。asin2x6x5（2）化简得 ，由 得 ，所以2sin6fxx07，可得

15、函数的值域为 。 （3）根据题意可得1sin161,2，从而 ，然后验证 ，2cogxcoshxx2hx可得 的图象是否关于直线 对称。h1试题解析：（1 ） ，24sinax 2si,x解得 .又 ，0 或 .6x5（2 ） 314sinco14sincosin62fxxx.23ii3i i26 0x ，7266 .1sin1x 2i26 函数 在 上的值域为 .fx0,21,2（3 ）由题意得 ，sincos26gfxxx .2cos21hx ，2cos21xxhx 函数 的图象关于直线 对称. x点睛：（1）解决函数 的有关问题时，常用的方法是将sinfxAx看做一个整体去处理。（2 ）

16、注意函数图象对称性的等价条件，即直线 是函数 图象的对称轴afx。faxf22faxff19如图,在三棱锥 中, , 底面 ， ， PACD3BPACDBA， ，且 .10AC52cos10（1 ）若 为 上一点，且 ，证明：平面 平面 .EEFBE（2 ）求二面角 的余弦值 .P【答案】 （1）证明见解析；（ 2） 1【解析】试题分析：（1）正面面垂直，一般是找线面垂直 平面 平面ACPBE，故得到面面垂直；（ 2）由向量的方法得到两个面的法向量，从而求得法向量PAC的夹角，得到面面角。.（1 ）证明：由 底面 ，得 .BACDPB又 ， ，故 平面 .EE平面 ，平面 平面 .E（2 ）解

17、： ，22 2cos15130PACP，则13A21035 2ABCB，以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ，BBxyz则 ， ， ， ，0-3,A（ ， ） 1,0C,2P0,1D， ， .2P3， ， C， ，设 是平面 的法向量，则 ，即1(,)nxyz 0mP120 3xzy令 ，得16,23设 是平面 的法向量，则2,mxyzPCD，即， 0PCD20 xzy令 ，得 .2x,1cos,372mn由图可知，二面角 为钝角，故二面角 的余弦值为 .APCDAPCD1220已知函数 的图象与 轴相切，且切点在 轴的正半轴上.3fxaxx（1 ）求曲线 与 轴 ，直线 及 轴围成

18、图形的面积 ；yy1S（2 ）若函数 在 上的极小值不大于 ，求 的取值范围.gxfmx3, 1m【答案】 （1） ；（2）34S59,4【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义可得到 得 ， 0fx 1，解得 .（2）先求导 ，研究导函数的正负，20faa23gm当 时， 无极值；当 ，即 时，分析导数的正负使得极值30mgx30m3，解出不等式即可。321g解：（1） ， 得 ，2fx 0fx 由题意可得 ，解得 .10a2a故 ， .32fx14210033()| 24Sfxdx（2 ） ， 33fxmgm当 时， 无极值；0mg当 ，即 时，令 得 ；330x 33x令 得 或. 0

19、gx m在 处取得极小值，3当 ，即 ， 在（-3,2）上无极小值，2m9gx故当 时， 在（-3,2）上有极小值93且极小值为 ，3321mg m即 .23m， ， .32154m又 ，故 .9m9,点睛:这个题目考查的是利用导数研究函数的极值；求导后出现二次函数形式，一般的讨论方法有：先看二次项系数是否为 0，然后看能否因式分解，能分解的话，直接比较两根的大小，不能分解就由判别式和图像结合判断导函数的正负。21已知函数 ， .lnfx1Fxffx（1 ）当 时，比较 与 的大小；*nN132niF31n（2 ）设 ，若函数 在 上的最小值2axfxgeegx0,为 ，求 的值.21ae【答

20、案】 （1） ；（2）132niF31nae【解析】试题分析：（1）先计算出 的值，然后构造新函数1iF，求导，利用单调性证明（2）由题可得31lnhxx，求导后取其最小值计算结果lage解：（1） 12462niFFn，3571l ln2构造函数 ， ，3lhxx32xhx当 时， ， 在 上单调递减，30h, ，1ln39hx故当 时， ，*21N31l20n即 ，即 .33lnn1iF312n（2 ）由题可得 ，则1lnaxge，111axax axgee 由 得到 ，设 ， ，10axlnlnp2lnxp当 时， ；当 时， .2epx20xe0x从而 在 上递减，在 上递增. .2, ,2min1e当 时， ，即 （或 ，设21ae1lnxa10axe11axaxee，证明亦可得到1axp）.10axe在 上， ， 递减；,10ax0,gx在 上， ， 递增.1,x ，22min11lngxaeae ，解得 .1l点睛：本题考查了导数的应用，要比较大小，则需要构造新函数，转化为函数问题，利用导数求得其单调性，然后再证明不等关系。注意化归转化的思想在处理题目过程中的运用。