1、2018 届湖南省长郡中学高三月考试题（五）理科数学第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若 i为虚数单位，复数 z满足 (1)|ii，则 z的虚部为（ ）A 2 B 2 C 2 D 122已知集合 3|log(1)x， 2|3Bxyx，则 AB等于（ ）A 1(, B ,2 C 2(, D 1(,)3已知平面向量 ,ab满足 ()3bA，且 |a， |2b，则 |ab等于（ ）A B 5 C 7 D4中国古代数学著作九章算术中有这样一个问题：“某贾人擅营，月入益功疾（注：从第 2 月开始，每月比前一月多入相同量的
2、铜钱） ，3 月入 25 贯，全年（按 12 个月计）共入 510 贯” ，则该人 12 月营收贯数为（ ）A35 B65 C70 D605如图，网格纸上的小正方形边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为 （ ）A 843 B 83 C 823 D 6436为了得到函数 2sin()yx的图象，只需把函数 cos(2)yx的图象（ ）A向左平移 2个单位长度B向右平移 个单位长度C向左平移 4个单位长度D向右平移 4个单位长度7已知 1.2a， 0.63b， 12log3c则 ,abc的大小为（ ）A bc B a C D abc8设等比数列 n的前 项和为 nS，公比
3、为 q，且 3S， 9， 6成等差数列，则 38q等于（ ）A-4 B-2 C 2 D49执行如图所示的程序框图，则输出 的值为（ ）A 32 B 32 C0 D 1210设函数 ()14fxx的最大值为 M，最小值为 m，则 M等于（ ）A 3 B C 3 D211已知 1F， 2是椭圆和双曲线的公共焦点， p是它们的一个公共点，且 123FP，设椭圆和双曲线的离心率分别为 e， ，则 1e， 2的关系为（ ）A 123e B 2143 C 2134e D 2134e12锐角 C中， ,abc为角 ,AB所对的边，点 G为 ABC的重心，若 AGB，则 cosC的取值范围为（ ）A 4,)5
4、 B 46,)53 C 1,)2 D 16,)23第卷二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上13已知实数 ,xy满足1024yx，则 2zxy的最小值为 14已知 1(4)()nNx展开式中所有项的系数的和为 243，则该展开式中含 21x项的系数为 15已知 F是抛物线 24yx的焦点，点 ,AB在该抛物线上且位于 x轴的两侧， 4OAB（其中 O为坐标原点） ，则 ABO面积的最小值是 16正四棱锥的体积为 3，则该正四棱锥的内切球体积的最大值为 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17已知单调的等比数列 na的前
5、 项的和为 nS，若 39，且 4a是 65,的等差中项（）求数列 n的通项公式；（）若数列 nb满足 321lognna，且 nb前 项的和为 nT，求 1231nT 18在如图所示的多面体中， EF平面 AB， E， /ADEF， /BC， 24AD，3EF， AB， G是 C的中点（）求证： BDEG；（）求平面 与平面 F所成锐二面角的余弦值19根据国家环保部新修订的环境空气质量标准规定：居民区 PM2.5的年平均浓度不得超过 3S 微克/立方米， PM2.5的 24 小时平均浓度不得超过 75 微克/立方米某市环保局随机抽取了一居民区 2016 年20 天 的 24 小时平均浓度（单
6、位：微克/立方米）的监测数据，数据统计如图表：组别 .浓度（微克/立方米） 频数（天） 频率第一组 0, 3 0.15第二组 (2512 0.6第三组 ,73 0.15第四组 12 0.1（）将这 20 天的测量结果按表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图（）求图中 a的值；（）在频率分布直方图中估算样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从 PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境质量是否需要改善？并说明理由（）将频率视为概率，对于 2016 年的某 3 天，记这 3 天中该居民区 .的 24 小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为 X，求 的分布列和数学期望20已知中心在原点 O
7、，焦点在 x轴上，离心率为 2的椭圆过点 7(2,)3（）求椭圆的方程；（）设椭圆与 y轴的非负半轴交于点 B，过点 作互相垂直的两条直线，分别交椭圆于点 P， Q两点，连接 PQ，求 B的面积的最大值21已知函数 ()ln1fxax（ 为常数）与 x轴有唯一的公关点 A（）求函数 的单调区间；（）曲线 ()yfx在点 A处的切线斜率为 23a，若存在不相等的正实数 12x，满足 12|()|fxf，证明： 12请考生在(22)、(23)题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy中，以原点 为极点，以 x轴的正半轴为极轴，圆 C的极坐
8、标方程为42cos()（）将圆 C的极坐标方程化为直角坐标方程；（）过点 (,0)P作斜率为 1 的直线 l，直线 l与圆 C交于 ,AB两点，试求 1|PAB的值23选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ()|24|fxx（）解不等式 9；（）若不等式 ()2fxa的解集为 2,|30ABx，且满足 BA，求实数 a的取值范围试卷答案一、选择题1-5: DBACA 6-10: CDAAA 11、12：CB二、填空题135 14 20 15 42 16 24三、解答题17解析：（） 465a2603qq或 2（舍） ；3131()93aqS，n（） 213lognnb；5()T，11(2)2nn
9、123nTT 11()()()324351()2n123n ()21n18解析：（） EF平面 AB， E平面 AB， E平面 AB， EFA， 又 ， B， ， 两两垂直以点 为坐标原点， ， ， 分别为 ,xyz轴，建立空间直角坐标系，由已知得， (0,2)A， (,0)B， (2,40)C， (,3)F， (0,2)D， ,0G（ ） ， ,EG， ,D 20BA， EG（）由已知得 (,)是平面 F的法向量，设平面 DEG的法向量为 ,nxyz， (0,2)ED， (2,0)G， nA，即 yzx，令 1x，得 (,1)n，设平面 E与平面 F所成锐二面角的大小为 ，则 cos|(,)
10、|nB|23EA平面 DEG与平面 F所成锐二面角的余弦值为 19解析：（） （） a的值为 0.004（）2016 年该居民区 2.5PM年平均浓度为12.5037.60187.42.5（微克/立方米） 因为 4，所以 2016 年该居民区 年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进（）由题意， 2.5P的 24 小时平均浓度符合环境空气质量标准的概率为 0.9， X的可能取值为0，1，2，3 03()(.1).PXCA；23.9.07；2()(.)1.43A；30.9.7PXC 的分布列为0 1 2 3P0.001 0.027 0.243 0.729()0.1.27EX.4
11、30.729.或 ()30.97EX20解析：（）由题意可设椭圆方程为21()xyab，则 2719cab，故 3a，所以，椭圆方程为219xy（）由题意可知，直线 BP的斜率存在且不为 o故可设直线 的方程为 ykx，由对称性，不妨设 0k，由 2190ykx，消去 y得 2(19)80kx，则 28|1kBP，将式子中的 换成 1k，得：218|9kBQ|2BPQS221899kA221819k21kk2169()k26()18()kk，设 1t，则 故 2694BPQSt1627894t，取等条件为 649t即 83t，即 183k，解得 73k时， BPQS取得最大值 221解析：（）
12、因为函数 ()ln1fxax的定义域为 (0,)，且 (1)0f，故由题意可知曲线 ()f与 轴存在公共点 (,0)A，又 xaf，则有当 0a时， 0x，函数 ()fx在定义域上递增，满足条件；当 时，函数 ()f在 ,a上递减，在 (,)a上递增，若 01a时，则 (1)0f，取10,xe，则 01lnxa， 00()ln1fxax故由零点存在定理可知，函数 在 (,)上还有一个零点，因此不符合题意；若 1a，则函数 ()fx的极小值为 10f，符合题意；若 ，则由函数 的单调性，有 ()af，取 201xa，有 20()ln(1)fxa下面研究函数g， ，因为2(1)0ga恒成立，故函数
13、 ()ga在 1,)上递增，故()1ln20a，故 0()fx成立，函数 ()fx在区间 2,上存在零点不符合题意综上所述：当 1a时，函数 ()fx的递增区间为 (1,)，递减区间为 (0,1)；当 0时，函数 的递增区间为 0,，无递减区间（）容易知道函数 ()fx在 1,)A处的切线斜率为 2(1)3fa，得 2a，由（）可知 2a，且函数 (f在区间 (0,上递增不妨设 12x，因为 12|)|fx，则 12)()fxf，则有 12(lnln，整理得 212lnx，由基本不等式得 1xx，故 1ln()x，整理得 1212ln()0x，即12()(fxf由函数 在 0,)上单调递增，所
14、以 12x，即 12x22解析：（）由 42cos()得： 4cosin， 24cosin，即： 20xy， C的直角坐标方程为： 2()()8xy（）设 ,AB两点对应的参数分别为 12,t，直线 2ty和圆的方程联立得：240tt，所以， 12t， 1240t所以， 121|PABt12|6t23解析：（） ()9fx可化为 |4|1|9x，即 239x，或 5，或 3，解得 4，或 12x，或 1x；不等式的解集为 ,（）易知 (0,3)B；所以 A，又 |24|1|2xxa在 (0,3)恒成立；|24|1xa在 (0,3)x恒成立；在 (,)恒成立；3(0,)5ax在 恒 成 立在 恒 成 立 05a
