1、2018 届甘肃省高台县第一中学高三上学期第五次模拟（12月）数学（理）试题一、单选题1已知集合 ， ，则集合 中元素的个2|540Mx,123NMN数为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】由题得，集合 ，所以2540|14xx.1,23MN集合 中元素的个数为 3.故选 C.2设 为虚数单位，复数 满足 ，则复数 的共轭复数等于（ ）iz21izA. B. C. D. 1ii【答案】A【解析】试题分析： 由题意可知, .1zii【考点】 复数运算.3已知向量 ， ，若 与 平行，则实数 的值是（ ）1,a2,bxabxA. B. C. D. 20【答案】D【解析】试
2、题分析：根据题意，由于向量 若 与 平1,2,xab42a行，则可知（3，1+x）/(6,4x-2),则根据坐标运算得到为 4(4x-20-6(x+1)=0,解得 x=2，故答案为 D.【考点】向量的共线点评：主要是考查了向量的共线的运用，属于基础题。视频4已知 ，则“ ”是“ ”成立的（ ）12xf120x12fxA. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】考查充分性： ，函数 是 R 上的单调递12120xxfx减函数，则： ，又 ，则： 12xff210，即 ，充分性成立；12x12fx以上过程可以逆向推倒，即必要性满足；
3、综上， “ ”是“ ”的充分必要条件.120x12fx本题选择 C 选项.5已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. B. C. D. 1341321【答案】D【解析】由三视图可知：该几何体由圆锥的 与一个三棱柱组成的。4该几何体的体积 .2211431V本题选择 D 选项.6若 ， 满足约束条件 则 的最大值为（ ）xy10,2 ,xyzxyA. B. C. D. 3213【答案】B【解析】可行域如图,所以直线 过点 A(0,1)时取最大值 1,选 B.zxy7甲、乙两人要在一排 8 个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都空座，则坐法种数为（ ）A. 10 B. 16
4、C. 20 D. 24【答案】C【解析】 （1）甲在前，乙在后：若甲在第 位，则有 种方法，若甲在第 位，则有种方法，若甲在第 位，则有 种方法，若甲在第 位，则有 种方法，共 种方法.（2 ）同理，乙在前，甲在后，也有 种方法.故一共有 种方法.【考点】排列与计数原理.8若 表示不超过 的最大整数，执行如图所示的程序框图，则输出 的值为（ xx S）A. 3 B. 5 C. 7 D. 10【答案】C【解析】模拟程序框图的运行过程，如下；S=0，n=0，执行循环体，S=0+ =0，不满足条件 n6，n=2，S=0+ =1，不满足条件02n6，n=4，S=1+ =3，不满足条件 n6，n=6，S
5、=3+ =5，不满足条件46n6，n=8，S=5+ =7，8满足条件 n6，退出循环，输出 S 的值为 7故选：C9将函数 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，23si4yx 13再向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，则下列说法正确的是（ ）8ygxA. 函数 的一条对称轴是 B. 函数 的一个对称中心是gx4x,02C. 函数 的一条对称轴是 D. 函数 的一个对称中心是gx2xgx,08【答案】C【解析】将函数 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，可得3sin4yx 13的图象，再向右平移 个单位长度，得到函数32sin4yx8的 图象，令3i2cos84gx，2,kxkZ
6、xZ令 ，则 ，所以函数 的一条对称轴的方程为 ，故选 C.12gx2x10 ， 是双曲线 ： （ ， ）的左、右焦点，过 的1FC21yab0ab1F直线与 的左、右两支分别交于点 ， ，若 为等边三角形，则双曲线 的AB2FC离心率为（ ）A. B. C. D. 4723【答案】B【解析】试题分析：由双曲线定义得 ， 12BFAa，由余弦定理得2124FaBF2 24cos07cae【考点】双曲线定义【思路点睛】(1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF 1|PF 2|F 1F2|，双曲线的定义中要求|PF 1|PF 2|F 1F2|，抛物线上的点
7、到焦点的距离与准线的距离相等的转化.(2)注意数形结合，画出合理草图.11已知函数 若函数 有三个不同的3log,0, |4xfhxfmx零点，则实数 的取值范围是（ ）mA. B. 1,21,2C. D. ,【答案】A【解析】作函数 图像,由图得实数 的取值范围是,2yfxmm，选 A.021,4301,点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等12设函数 在区间 上的导函数为 ， 在区间 上的yfx,a
8、bfxfx,ab导函数为 ，若在区间 上 恒成立，则称函数 在区间 0f上为“凸函数” 已知 ，若对任意的实数 满足,ab432126fxmxm时，函数 在区间 上为“凸函数” ，则 的最大值为（ ）2mf,abbaA. B. C. D. 432【答案】C【解析】试题分析：由于 ，所以 ，因321fxmx 23fxm为 在区间 上为“凸函数”，所以 在区间 上恒fx,ab3f0,ab成立， 对 时恒成立，即 对230 220 3恒成立，所以 ，解得 ，其对应的2,m22 30ab1,1ab可行域如下图所示，则 的最大值是 ，故选 C.za2【考点】1、导数在函数研究中的应用； 2、线性规划.【
9、方法点晴】本题是一个关于导数在函数研究中的应用以及线性规划方面的综合性问题，属于中档题.解决本题的基本思路及切入点是：根据题目条件首先对函数 进fx行两次求导，列出关于 的不等式组，并且将上述不等式组转换成关于未知数 ,abmm上的不等式，进而得到关于 的不等式，再结合线性规划即可求得 的2, ba最大值.二、填空题13已知随机变量 服从正态分布 ，且 ，则X2,N02.3PX_(4)P【答案】0.2【解析】 ,所以202.3XP40.54.P14已知等差数列 的前 项和为 ， 、 、 三点共线，且nanSPAB，则 _32016OAB2018【答案】1009【解析】因为 三点共线，且 ，所以
10、 ，即,P32016OPaAB32016a1208a所以 2018S12089a故答案为 1009.15在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ， ABCBCabc2a， ，则 _cos43sin2ic【答案】4【解析】由正弦定理得 .由余弦定理得,3ab，解得 .222491cos34abccCc16已知三棱锥 外接球的直径 ，且 ，则三棱锥SABC6S3ABC的体积为_S【答案】 92【解析】由题意得高为 2236所以三棱锥 的体积为 SABC31942点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面
11、图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解(2)若球面上四点 构成的三条线段 两两互相垂直，且,PABC,PABC，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用,PAabc求解224R三、解答题17已知函数 ，数列 中 ，满足 （ ） ，且3fxna01nnaf*N2587a（1）求数列 的通项；n（2）若数列 的前 项和为 ，且 ，求 bnSnbanS【答案】 （1） （2）3na1293n【解析】试题分析：（1）由已知得 ，数列 是等比数列且公比为 ，1nnana23再由 求得 ，可得通项公式；（2） ，是一个等比数列与一个等2587a1ab差数列相应项相加得到
12、的，其 前期几应采取分组求和的方法，分成一个等比数列的和与一个等差数列的和试题解析：（1）由已知 ，即 ，所以数列 是公比为123nnafa123nna的等比数列23q又 即 即 ，得2587a5321a21a又 ，得 ，故0n1321213nnnq（2 ）由（1 ）知， 2nnba1021233nnnSb 02+3n 1 12219323nn 【考点】等比数列的通项公式，分组求和，等比数列与等差数列的前 项和n18在 中， ， ， 分别是角 ， ， 的对边，且满足ABCabcABC2cosab（1）求角 的大小；（2）设函数 ，求函数 在区间232sincosinsfxxCxfx上的值域0,
13、【答案】 （1） （2）3C,1【解析】试题分析：（1）先根据正弦定理将边角关系化为角的关系，再根据三角形内角以及两角和正弦公式化简得 ，解得角 的大小；（2）先根据二倍角公式cosC以及配角公式将函数 化为基本三角函数形式，再根据自变量范围以及正弦函数fx单调性确定函数值域试题解析：（1） ， ，2csoabB2cosabB ，2sincosiinACC sA 是 的内角， ， ，Bi02cos1 3（2）由（1）可知 ，3C 2sin21sinfxx13sicos2xin3由 ， ， ，0,33i1函数 的值域为 fx,1219甲、乙、丙三人参加微信群抢红包游戏，规则如下：每轮游戏发 50
14、 个红包，每个红包金额为 元， 已知在每轮游戏中所产生的 50 个红包金额的频率分布,5直方图如图所示（1）求 的值，并根据频率分布直方图，估计红包金额的众数；a（2）以频率分布直方图中的频率作为概率，若甲、乙、丙三人从中各抢到一个红包，其中金额在 的红包个数为 ，求 的分布列和期望,2X【答案】 （1） ,众数为 2.5（2）见解析0.3【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图，求出 的值，再根据众数的定义即可求出；（2）由题意可得到 满足二项式分布，可根据要求分别求出 取各个值时的概率，即可得到 的分布列，根据分布列即可求出 的期望试题解析：（1）由题可得： ， ，众数为 （2 ）由频率
15、分布直方图可得，红包金额在 的概率为 ，则 的取值为 ， ， ， 的分布列为X 0 1 2 3P （或 ） 【考点】1离散型的随机变量及概率分布列； 2数学期望的求解20如甲图所示，在矩形 中， ， ， 是 的中点，将ABCD4ADEC沿 折起到 位置，使平面 平面 ，得到乙图所示的四ADE1E1EB棱锥 1（1）求证： 平面 ；BE1DA（2）求二面角 的余弦值C【答案】 （1）见解析（2） 3【解析】试题分析：（）取 中点 ，连 ，证得 ，又 平面AEF1D1FAE平面 ，证得 平面 ，证明 再利用线面的判定1DAEBC1BC定理，即可证得 平面（）由题意，取 中点 ，以 为坐标原点，分别
16、以 ， 为 轴正方GEEGCxy，向建立空间直角坐标系 ，由（）知： 是平面 的法向量，xyz2,0B1AD设平面 的法向量为 ，利用空间向量的夹角公式，即可求解结论.1CED,m试题解析：（）如下图，取 中点 ，连 ，在 中， ， AF1D1AE12E，又 平面 平面 ， 平面 ， 1F1EBCDFABC平面 ， ，即 在 中，易得BEC11， ， ，A2E2B4A，又 ，1DFE平面（）由题意，取 中点 ，以 为坐标原点，分别以 ， 为 轴正方ABGEEGCxy，向建立间直角坐标系 如图所示，则xyz，由（）知： 是平面10,20,2,0ECD2,0B的法向量，设平面 的法向量为 ，则1A
17、DE,mxyz，令 ，则 ， ，1,1220mxyzyEx 12x0y，设二面角 的平面角为 ，2,01ADC则 ，,cosBm2,0,23由图可知，二面角 的平面角为钝角，1ADEC，即：二面角 的余弦值为3cos1321设函数 ， 2lnfxaxaR（1）讨论函数 的单调性；（2）若函数 有两个极值点 ， ，且 ，求证： fx1x2x12221fxe【答案】 （1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）先求函数导数，再根据导函数是否变号分类讨论：当时，导函数恒非负；当 时，再讨论与-1 大小，确定单调区间（2）先将 a2a12a用 表示，再研究函数 单调性，即得其最大值，因此有 ，最x
18、2fx 21fxe后根据 范围得结果2试题解析：（1）函数 的定义域为 ，fx1,，令 ，则 221aafx2gxxa48a当 时， ， ，从而 ，故函数 在 上000ffx1,单调递增；当 时， ， 的两个根为 ， 12agx12a，2x当 时， ，此时，当 函数 单调递减；0a12x12,axfx当 函数 单调递增,axf当 时， ，此时函数 在区间 ， 10212xfx12,a单调递增；当 函数 单调,a 12,aafx递减综上：当 时，函数 在 上单调递增；12fx1,当 时，函数 在区间 ， 单调0af 2,a12,a递增；在区间 函数 单调递减；121,a fx当 时， 函数 单调
19、递减；当0a12,axfx函数 单调递增12,axfx（2）当函数 有两个极值点时， ， ，fx102a12ax,0且 ，即 ，22ga， ，2222 2ln1ln1fxxxx21,0， ，222lf2,0令 ， ，1lnhxx1,，令 ， ，函数单调递增；2l0h,12xe令 ， ，函数单调递减；0hx1,e所以 ，max2 ，21fe ，2,0x 221fxe22选修 4-4：坐标系与参数方程已知平面直角坐标系 ，以 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系， Oyx点的极坐标为 ，曲线 的参数方程为 （ 为参数）.P34， C2cos4（1）写出点 的直角坐标及曲线 的直角坐标方程；（2
20、）若 为曲线 上的动点，求 的中点 到直线 ： QPQMl的距离的最小值.cos4in2【答案】 （1）点 ； （2）P32，21xy01【解析】试题分析:(1)由 的极坐标为 ,利用 可得 点的直34 xcosinP角坐标,曲线 的参数方程展开可得: ,利用C2csi以及 可得出直角坐标方程;(2)直线 的直角坐标方程 xcosyin22xyl为 ,设 ,则 ,24cos,inQcosin2,2M利用点到直线的距离公式与三角函数的单调性值域即可得出.试题解析:（1）点 的直角坐标为 ；P32,由 得 2cos42cosin将 ， ， 代入，xycsxiy可得曲线 的直角坐标方程为 C221（
21、2）直线 的直角坐标方程为 ，:l2cos4in420xy设点 的直角坐标为 ，则 ，Q2s,icosin,M那么 到直线 的距离：Ml2cossin242d 52cosin，5sin（当且仅当 时取等号） ，2105dsin1所以 到直线 的距离的最小值为 M:cos4i2l01223选修 4-5：不等式选讲已知函数 2fxax（1）当 时，求不等式 的解集；37f（2）若 的解集包含 ，求 的取值范围4fx0,a【答案】 （1） （2）,3,【解析】试题分析：（1）先根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解集，最后求并集（2）先在 时化简不等式 ，即得 ，最后0,x2xa,2a根据集合包含关系确定 的取值范围a试题解析：（1）当 时， 31,3,5 2,fxx当 时，由 ，得 ，解得 ；3x7fx174当 时， 无解；2当 时，由 ，得 ，解得xfx2x3x所以 的解集为 7f ,43,（2） 等价于 ，x2xax当 时， 等价于 ，0,ax由条件得 且 ，即 ，a20故满足条件的 的取值范围为 ,点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向
