1、 数学（文）试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合 ， ，则 （ ）51xM5,320NMNIA B C D42x,32x2已知 为虚数单位，复数 在复平面内对应的点为（ ）i iz21A B C D5, 5,45,45,43.下列命题中正确的是（ ）A若 ，则 siniB命题：“ ”的否定是“ ” 1,2x1,2xC直线 与 垂直的充要条件为 0ya04yaaD “若 ，则 或 ”的逆否命题为“若 或 ，则 ” x 0xy0x4.算法统宗是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一
2、段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一” ，其意大致为：有一七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有 381 盏灯，则塔从上至下的第三层有（ ）盏灯.A14 B 12 C. 8 D105. （ ） 31sin25i3sin17A B C. D22236.曲线 在点 处的切线截圆 所得弦长为（ ）23xf1,f 4)1(yxA 4 B C. 2 D7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A B C. D38316383168.已知如下等式： 以此类推，则 2018;3028420;1420;42 会出现在第（ ）个等式中.A 33 B 30 C. 31 D3
3、29.已知长方体 的外接球 的体积为 ，其中 ，则三棱锥 的体积的1CADO3221BABCO最大值为（ ）A 1 B 3 C. 2 D410.函数 的图象大致为（ ）7sin641xxf11.已知矩形 中， ,若椭圆的焦点是 的中点，且点 在椭圆上，则该椭ABCDB2BCAD, DCBA,圆的离心率为（ ）A B C. D16716741541712.设函数 ，则使得 成立的 的取值范围是（ ）2)ln(xxf2xfxA B C. D1,3,1,3U31, 1(,),3U第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.若 ，且 ，则 = 1,2,abm
4、rr/abrm14.执行如图所示的程序框图，当输出 时，则 8,xx15.若变量 满足约束条件 ， ，则 的最小值为 yx,01236xyyxn3n16.已知数列 的前两项均为 1，前 项和为 ，若 为等差数列，则 = nanS2nanS三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ） 17. （本小题满分 12 分）在 中，角 所对的边分别为 ， .ABC, cb, CBAcossi（I）求角 ；C（II）若 ，求 的面积.3,2ba18. （本小题满分 12 分）如图，四棱锥 ，底面 侧面 ， 分别为 的BAEDCABC,FP,BD中点，且 ，
5、， ， ./AEBC2E（I）证明： 平面 ；EPBCD（II）设 ，求三棱锥 的体积.2F19. （本小题满分 12 分）随机抽取了 40 辆汽车在经过路段上某点是的车速（ ） ，现将其分成六段： ，/kmh60,5,7后得到如图所示的频率分布直方图.70,58,5,90（I）现有某汽车途经该点，则其速度低于 80 的概率约是多少？/kmh（II）根据频率分布直方图，抽取的 40 辆汽车经过该点的平均速度是多少？（III）在抽取的 40 辆汽车且速度在 （ ）内的汽车中任取 2 辆，求这 2 辆车车速都在60,7/（ ）内的概率.65,70/kmh20. （本小题满分 12 分）已知函数 .
6、21lnfxx（I）求函数 在 上的最值；,e（II）已知函数 ，求证： ， 恒成立.3gx1,x0fxg21. （本小题满分 12 分）已知抛物线 的方程 为抛物线 上一点， 为抛物线的焦点.C1,22MpyCF（I）求 ；MF（II）设直线 与抛物线 有唯一公共点 ，且与直线 相交于点 ，试问，在坐标mkxyl:2 P:1ylQ平面内是否存在点 ，使得以 为直径的圆恒过点 ？若存在，求出点 的坐标，若不存在，说明理NPQNN由.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知点 ，圆3
7、,2.cos2（I）在极坐标系中，以极点为原点，极轴为 轴正半轴建立平面直角坐标系，取相同的长度单位，求圆x的直角坐标方程；cos2（II）求点 到圆 圆心的距离.3,cos223. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 .xxf12（I）求证： 恒成立；（II）若存在实数 ，使得 ，求实数 的取值范围.xaxf2试卷答案一、选择题1-5: 6-10: 11、12：CBACDA二、填空题13. 14.16 15.5 16.12 154三、解答题17.（I） .cosincosinBAC，BCsincoisi 即 ，i得 3 分.snsi18.（I）证明：由题意知 为等腰直角
8、三角形，而 为 的中点，所以 ，2ABCFBCAFBC分又因为平面 平面 ，且 ，所以 平面 ，3 分DE90Do而 平面 ，所以 ，所以 平面 ，AFFA连结 ，则 ， ，而 ， ，.5 分P/C12P/EC1/2D所以 ， ， 是平行四边形，所以 ， 平面 .6 分/EPAFEBC（II）因为 平面 ，即 平面 ， 是三棱锥 的高，8 分BDBF所以 ，10 分1422AF于是三棱锥 的体积为 12 分EBDF11122332343BDFBDCSEPSEP19.（I）速度低于 80 的概率为： ；3 分/kmh50060.5（II）这 40 辆小型车辆的平均车速为：；6 分26.547.8
9、2.17.82.47.5(/)40kmh（III）车速在 内的有 2 辆，记为 ，车速在 内的有 4 辆，记为 ，0, ,AB6,0,abcd从中抽 2 辆，抽法为 共 15 种，, ,ABabcdabcdabcd其中车速都在 内的有 6 种，故所求概率为 .12 分65,7215P20.（I） 的定义域为 ，1 分fx0,恒成立对 ，2 分211lnffx,xe在 上递增， ， .4 分x,e2max1femin12ff（II）证明：令 ；5 分3lnhfgx在 上恒成立，7 分2322110xhx1,在区间 上递减，8 分,，10 分12036hx在区间 上， 恒成立12 分,fxg21.
10、（I）由题可知 ，即 ，由抛物线的定义可知 4 分42212pMF（II）法 1：由 关于 轴对称可知，若存在点 ，使得以 为直径的圆恒过点 ，则点 必在 轴CyNPQNy上，设 ，又设点 ，由直线 与曲线 有唯一公共点 知，直线 与 相mN,04,20xPmkxyl:1CP1lC切由 得 .241xy， 直线 的方程为 ，0xk1l 2004xyx令 得 ， 点坐标为 ， ， 01y20xQ02(,1)x20(,)4xNPnur02(,1)xNQnur点 在以 为直径的圆上，QNP20xNQP要使方程恒成立，必须有 ，解得 .012n1n在坐标平面内存在点 ，使得以 为直径的圆恒过点 ，其坐
11、标为 12 分P1,0法 2：设点 ，由 与曲线 有唯一公共点 知，直线 与 相切，0,Pxymkxl:1CPlC由 得 . 直线 的方程为 ，41y21l 2004xy令 得 ， 点坐标为 ，00yxQ01(,)x以 为直径的圆的方程为： PQ00021yyx分别令 和 ，由点 在曲线 上得 ，02x0PC01y将 的值分别代入 得： ,y12yx1x联立得 或 .0y1在坐标平面内若存在点 ，使得以 为直径的圆恒过点 ，则点 必为 或 ，将NPQN0,1,的坐标代入式得，0,1左边= =右边，000 00212 21yyxy将 的坐标代入式得，左边= 不恒等于 0，,1 000xy在坐标平面内若存在点 ，使得以 为直径的圆恒过点 ，则点 的坐标为 .12 分NPQN,122.解：（I）由 得 .2 分cos2cos2即 ，即 .5 分xyx21y（II）在直角坐标系中，点 的坐标即 ，.7 分3,23,所以所求距离为 10 分70312223.解：（I）当 时， ，2 分x11xxf当 时， ，4 分0212f当 时， ，故 ，0x1xf0,123,xxf综合图象可知 的最小值为 ，故 恒成立.6 分xfy2f（II）由 可得： ，.8 分af2 211axax由绝对值的几何意义，只需 10 分32
