1、- 1 -湖南省 2017 届高三十三校联考 第一次考试理科数学试卷第卷一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ，则 （ ）2|13,|30AxZBxABA B C D2,1,4,1,2.记复数 的共轭复数为 ，若 （ 为虚数单位） ，则复数 的模 （ ）zz2iizA B1 C D223.在等差数列 中， ，则数列 的前 11 项和 （ ）na9123ana1SA 24 B48 C66 D 1324.已知 表示不超过实数 的最大整数， 为取整函数， 是函数 的零点，则xxgx0x2lnfx等于（ ）0
2、gA 1 B 2 C. 3 D45.甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次击中目标得 2 分，未击中目标得 0 分.若甲、乙两人射击的命中率分别为 和 ，且甲、乙两人各射击一次得分之和为 2 的概率为 .假设甲、乙5P 9两人射击互不影响，则 值为 （ ）A B C. D35434146.如下图，是一个算法流程图，当输入的 时，那么运行算法流程图输出的结果是（ ）5xA 10 B20 C. 25 D357.二项式 展开式中， 项的系数为（ ）912x3xA B C. D5522- 2 -8. 设 为抛物线 的焦点，过 且倾斜角为 60的直线交曲线 于 两点（ 点在第一F2:
3、CypxFC,AB象限， 点在第四象限） ， 为坐标原点，过 作 的准线的垂线，垂足为 ，则 与 的比为AOACMO（ ）A B2 C. 3 D439.已知函数 的定义域为 ，且 ，又函数 的导函数 的图象如图所示，若两fxR2ffxyfx个正数 满足 ，则 的取值范围是（ ）ab、 abaA B C. D2,32,32,2,310.已知正 内接于半径为 2 的圆 ，点 是圆 上的一个动点，则 的取值范围是（ ）COPPAB:A B C. D0,6,60,2,11.三棱锥 及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥 的外接球的表面积为 S SC（ ）A B C. D32123283643
4、12.设函数 是定义在 上的可导函数，其导函数为 ，且有 ，则不fx,0fx23fxfx等式 的解集为（ ）380142fA B C. D,2618,262018,2018二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上13.函数 是奇函数，则 等于 3cossin3fxxxtan- 3 -14.已知边长为 2 的正方形 的四个顶点在球 的球面上，球 的体积为 ，则 与ABCDO16053V球 OA平面 所成的角的余弦值为 ABCD15.双曲线 的左、右焦点分别为 是 左支上一点，且 ，2:10,xyEab12,FP、 E12PF直线 与圆 相切，则 的离心率
5、为 2PF2E16.已知函数 ，数列 中， ，则数列 的前 100 项cosxfxna*1nffnNna之和 10S三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.设 的内角 的对边分别为 ，且满足ABC、 、 abc、 、sincossinBC:， （1）试判断 的形状，并说明理由；（2）若 ，试求 面积的最大值.12cABC18.为了解某校今年高三毕业班报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前三组的频率之比为 1：2：3，其中第 2 组的频数为 12.（1）求该校报考飞行员的总人数；（2）以这所学校的样本数据来估计全省的总
6、体数据，若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选三人，设 表示体重超过 60 公斤的学生人数，求 的分布列和数学期望.XX19.如图，三棱柱 中， ， ，平面 平1ABC12,2ABC016A1ABC面 ， 与 相交于点 .11D- 4 -（1）求证： 平面 ；1BC1A（2）求二面角 的余弦值.20.已知椭圆 上的点到右焦点 的最小距离是 ， 到上顶点的距离为 ，210xyabF21F2点 是线段 上的一个动点.,0CmOF（1）求椭圆的方程；（2）是否存在过点 且与 轴不垂直的直线 与椭圆交于 两点，使得 ？并说明理xlAB、 CAB由.21. 已知函数 .2ln0fa（1）当 时，试求
7、函数图像过点 的切线方程；a1,f（2）当 时，若关于 的方程 有唯一实数解，试求实数 的取值范围；xxbb（3）若函数 有两个极值点 ，且不等式 恒成立，试求实数 的取值范f122、 12fxm:m围.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程已知平面直角坐标系 中，过点 的直线 的参数方程为 （ 为参数） ，以xOy1,2Pl01cos452inxtyt原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，Cta20:直线 与曲线 相交于不同的两点 .lC,MN（1）求曲线 的直角坐标方程和直线 的普通方程
8、；l（2）若 ，求实数 的值.PMNa23.选修 4-5：不等式选讲设函数 .31fxx- 5 -（1）若 ，解不等式 ；a4fx（2）若 有最小值，求实数 的取值范围.fxa试卷答案一、选择题1-5: DACBC 6-10: DCCAB 11、12：BA二、填空题- 6 -13. 14. 15. 16. 1020031053三、解答题17.【解析 1】 （1） ，sincossinABBC由正、余弦定理，得，222bcabac:化简整理得： ，22a ，所以 ，0ababc故 为直角三角形，且 ；ABC09C（2） ，221,cc ，1 2ababab当且仅当 时，上式等号成立， .故 ，2
9、1124ABCSab即 面积的最大值为 .【解析 2】（1）由已知： ，sincossinABBC又 ，iiBCA，snscsi ，io0A而 ， ，0BC、 、 sin0AB ，cos故 ， 为直角三角形.09（2）由（1） ， .0sin,cosacAb- 7 - ， ，12abc12sincocA ，22i sincosiABCS A :令 ， ， ，sincot01t .213232144ABCSttt :而 在 上单调递增，341ftt, .max2ABCSf18.【解析】 （1）设该校报考飞行员的人数为 ，前三小组的频率分别为 ，n123,p则由条件可得： ，213120.7.5p
10、p解得， ，130.5,.,又因为 ，故 .2n48所以该校报考飞行员的人数为 48 人.（2）由（1）可得，估计抽到一个报考学生的体重超过 60 公斤的概率为 ；1250.768P依题有 ，故 .53,8XB:335,01,238kkPXkC随机变量 的分布列为：0 1 2 3P275351则 ，或 .251128EX5138EXnp19.【解析】 （1）证明：设 的中点为 ，连 .ACM1BC、 ，01,6AC四边形 为菱形，且 为正三角形， .111A- 8 - ， .2ABCBMAC而 ，1 平面 ， .1四边形 为菱形，则有 ，1ACCDA又平面 平面 ，平面 平面 ，B11B11C
11、A 平面 ，D ，1C又 ， 平面 .A1BC1A（2）如图， ， ，1ACM1C以 为原点，以 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，1 B、 、 xyz ，012,6,2A .1BC从而，有 ， .,30,0,AMB1,01,30C .32设面 的法向量为 ，BC,1nxy则 ，0,332nAMy:又面 的法向量为 ，11,0设二面角 的大小为 ，由图知 为锐角，CAB- 9 -则 .117cos,nAC:20.【解析】 （1）由题意可知 ，且 ，解得 ，2ac2cb2,1abc椭圆的方程为 .21xy（2）由（1）得 ，所以 .,0Fm假设存在满足题意的直线 ，设 的方程为
12、，l1ykx代入 ，得 ，21xy2240kx设 ，则 ，12,AB22121,kkx ，12122ykx .212 24, ,1kkCmyxym ，且 的方向向量为 ，ABA, ，2 224011kkk 当 时， ，即存在这样的直线 ；0mml当 时， 不存在，即不存在这样的直线 .12kl21.【解析】 （1）当 时，有 .2a2nfxx ， ，1fxxf过点 的切线方程为： ，1,f 2yx即 .230xy（2）当 时，有 ，其定义域为： ，a2lnfxx|0x从而方程 可化为： ，fb3- 10 -令 ，则 ，23lngxx213123xgx由 或 ； .010 在 和 上单调递增，在
13、 上单调递减，gx,2,1,2且 ，15ln,124g又当 时， ；当 时， .0xxxgx关于 的方程 有唯一实数解，23lnb实数 的取值范围是： 或 .5ln24b（3） 的定义域为： .fx2|0,axaxfx令 .20f a又函数 有两个极值点 ，x122x、 有两个不等实数根 ，2 12x、 ，且 ，02a121,xa从而 .1x由不等式 恒成立 恒成立，12fm:2111lnfxax ，2211111lnlxxf x令 ，l02httt ，当 时恒成立，21lnttt1t函数 在 上单调递减， ，ht0,3ln2ht- 11 -故实数 的取值范围是： .m3ln222.【解析】 （1） （ 为参数） ，01cos45ixtyt直线 的普通方程为 .l ， ，sinta22sincosa由 得曲线 的直角坐标方程为 .coixyC2yx（2） ， ，2a0x设直线 上的点 对应的参数分别是 ，l,MN122,0,tt则 ，12Ptt ， ， ，P21t将 ，代入 ，得 ，0cos452inxty2yax240tat ，124ta:又 ， .1t23.【解析】 （1） 时， ，即 ，a314fxx31x，3xx解得 ，所以解集为 .020,2（2）因为 ，13,34,axfx所以 有最小值的充要条件为 ，fx03a即 3a
