1、2017 届湖南省郴州市高三第二次教学质量监测数学（理）试题 理科数学第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知 ， 是虚数单位.若 与 互为共轭复数，则 （ ）,xyRixyi31xyA0 B1 C2 D32.已知 均为单位向量，且 ，则向量 的夹角为（ ）,ab()(2)ab,abA B C D6434563.已知 ， ，则 （ ）(0,)1sin()cos()A B C D 5122331234.我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆
2、盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；一尺等于十寸；台体的体积公式）.1()3VSSh下 下上 上 A 2 寸 B3 寸 C. 4 寸 D5 寸5.考拉兹猜想又名 猜想，是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘 3 再加 1；如果它是偶1n数，则对它除以 2.如此循环，最终都能得到 1.阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果（ ）iA4 B5 C.6 D76.已知某三棱锥的三视图如图所示，正视图和俯视图都是等腰直角三角形，则该三棱锥中最长的棱长为（ ）A B C. D223257.已知函
3、数 是奇函数，当 时， （ 且 ） ，且 ，则 的值为()fx0x()xfa0112(log4)3fa（ ）A B C. 3 D93238.设关于 的不等式组 表示的平面区域内存在点 ，满足 .则 的,xy210xym 0(,)Pxy02xym取值范围是（ ）A B C. D4(,)31(,)32(,)35(,)39.将边长为 的正方形 沿对角线 折成一个直二面角 .则四面体 的内切球2ACDBACABCD的半径为（ ）A1 B C. D3212310.已知 为双曲线 的左焦点，点 为双曲线虚轴的一个顶点，过 的直线与F21(0,)xyabA,FA双曲线的一条渐近线在 轴右侧的交点为 ，若 ，
4、则此双曲线的离心率是（ ）B(21)FBA B C. D23511.在 中， 分别是边 的中点， 分别是线段 的中点， 分别是C1,A,C2,A1,A,nAB线段 的中点， 设数列 满足：向量 ，*1,()nNn， ,nab *()nBaCbN有下列四个命题，其中假命题是：（ ）A数列 是单调递增数列，数列 是单调递减数列 nanbB数列 是等比数列 +bC.数列 有最小值，无最大值 nD若 中， ， ， ，则最小时，ABC90ACB|n12nab12.若方程 有四个不同的实数根 ，且 ，则2|1|xt1234,x134xx的取值范围是（ ）4132()()A B C. D8,6(8,45(6
5、,5)(62,5第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.若命题 “ ”是假命题，则实数 的取值范围是_.:p023xRa， a14.两所学校分别有 2 名、3 名学生获奖，这 5 名学生要排成一排合影，则同校学生排在一起的概率是_.15.过点 的直线 与圆 交于 两点， 为圆心，当 最小时，直线1(,)Ml2:(1)4CxyAB、 CAB的方程为_.l16.已知函数 ，给出下列四个命题：()2|cos|insfx函数 的图象关于直线 对称；函数 在区间 上单调递增；4x()fx,4函数 的最小正周期为 ；函数 的值域为 .()fxf2,其中真命题
6、的序号是_.（将你认为真命题的序号都填上）三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ） 17.（本小题满分 10 分）已知等差数列 满足: ，该数列的前三项分别加上 1,1,3 后成等比数列，且na*11(),naN.2lognab（1）求数列 , 的通项公式；n（2）求数列 的前 项和 .nT18. （本小题满分 12 分）在 中， ， ， 分别是角 ， ， 的对边，且 .ABCabcABC2cos(tan1)AC（1）求 的大小；（2）若 ， ，求 的面积 32c19. （本小题满分 12 分）如图，菱形 中， ， 与 相交于点 ， 平面 ，
7、ABCD60ACBDOAEBCD./23FEF， ，（1）求证： 平面 ；BDACFE（2）当直线 与平面 所成角的大小为 时，求 的长度.O45AE20. （本小题满分 12 分）某水泥厂销售工作人员根据以往该厂的销售情况，绘制了该厂日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.（1）求未来 3 天内，连续 2 天日销售量不低于 8 吨，另一天日销售量低于 8 吨的概率；（2）用 表示未来 3 天内日销售量不低于 8 吨的天数，求随机变量 的分布列及数学期望.X X21. （本小题满分 12 分）已知椭圆 的离心率为 ，且过点 .若点 在椭
8、圆 上，则点2:1(0)xyCab123(,)20(,)MxyC称为点 的一个“椭点”.0(,)xyNabM（1）求椭圆 的标准方程；C（2）若直线 与椭圆 相交于 两点，且 两点的“椭点”分别为 ，以 为直:lykxmC,AB, ,PQ径的圆经过坐标原点，试求 的面积.O22.（本小题满分 12 分）已知函数 ， .()lnfx2()3gxa（1）求函数 在 上的最小值；,0tt（2）对一切 ， 恒成立，求实数 的取值范围；(0)x2()fxa（3）探讨函数 是否存在零点？若存在，求出函数 的零点；若不存在，请说明1lnxFe ()Fx理由.试卷答案一、选择题1-5: DABBD 6-10:
9、ABCDA 11、12：CB二、填空题13. 14. 15. 16.1,2152430xy三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.解：（1）设 为等差数列 的公差，且 ，dnad由 ，（1 分）123,12ada（2）由（1）知 ，所以 ，（6 分）21nnab231512n nT+，（7 分）23415nT+ ，得，（8 分）2311122n n-，（9 分）211112322nn nnnT-所以 .（10 分）32nn18.解：（）由 ，costan1AC得 ，（1 分）icos1A，（3 分）2incso，(4 分)1cos2C， （5 分）B又 .（6 分）0,3（）
10、由 ，得 ，（8 分）22cosbaB22cosaBb又 ，（10 分）5,34c.（12 分）1sin2216ABCSa19.解：（1）证明： 四边形 是菱形，ABCD.（1 分）D平面 ， 平面 ，（2 分）AEB，（3 分）BDAE又 平面 ， 平面 ， ，（4 分）CFACFEA平面 .（5 分）（2）以 为原点，以 所在直线分别为 轴， 轴，以过点 且平行于 的直线为 轴建立空间直O,AOBxyOCFz角坐标系.（6 分）则 .设 ，则 ，0,3,3,01,3BDFAEa1,0a，（7 分）1,2,OFBB设平面 的法向量为 ，则 （8 分）E,nxyz0,nDE即 令 ，得 ，（9
11、 分）230yxaz1,1a，（10 分）23cos, 0nOF直线 与平面 所成角的大小为 ，BED45，（11 分）2310a解得 或 （舍） ， .（12 分）12AE20.解（）由频率分布直方图可知，日销售量不低于 吨的频率为：8，(1 分)20.15.70.4记未来 天内，第 天日销售量不低于 吨为事件 ，则 ，（2 分）3i81,23Ai10.4PA未来 天内，连续 天日销售不低于 吨，另一天日销量低于 吨包含两个互斥事件 和 ，2 8123A123（3 分）则： （4 分）123123123123PAPAA.（6 分）0.40.4.04.9（） 的可能取值为 ，且 X,123X3
12、,0.4B，（7 分）301.40.6P，（8 分）23.43C，（9 分）20.41.08X，（10 分）3.6P所以 的分布列为X0123P.260.43.80.64（11 分）.（12 分）3.1EX21.解：（）由 ，得 ，（1 分）2eac又 ，（2 分）22,3abc椭圆 ，2:+14xyC因点 在 上， ，得 ，（3 分）31,2943c1c，（4 分）2,ab所以椭圆 的方程为： ；（5 分）C213xy（）设 ，则 ，12,AxyB12,3xyxyPQ由以 为直径的圆经过坐标原点，得 ，PQ0O即 （1）（6 分）12043xy由 ，消除 整理得： ，2kmxyy223484
13、30kxm由 ，得 ，226413430kmk240km而 （2）（7 分）212128,mxxkk（3）22 212121134kyxxm将（2） （3）代入（1）得： ，224340mkk即 ，（8 分）24mk又 ，（9 分）222 2114834kmABxx原点 到直线 的距离 ，（10 分）O:lykm2dk，（11 分）22 2483112 1AOB mSdkk 把 代入上式得 ，即 的面积是为 .（12 分）43mkAOBSAOBS322.解：（） ，ln1fx由 得， ，由 得 ，0fxe0fx1e函数 在 上单调递减，在 上单调递增.（1 分）,当 时， ；10temin11
14、2,tfxfee当 时， 在 上单调递增， ，（2 分）tfx,t minlfxftt（3 分）min1,0,l,.teft（）原问题可化为 ，（4 分）2lnax设 ，32ln0hxx，当 时， 在 上单调递减；（5 分） 211x0,hx,1当 时， 在 上单调递增；（6 分）x0,hx,，故 的取值范围为 .（7 分）min14hxa,4（）令 ，得 ，即 ，（8 分）0F12ln0xe2ln0xe当（）知当且仅当 时， 的最小值是 ，（9 分）F1e设 ，则 ，易知 在 上单调递增，在 上单调递减，20xe1xex0, 1,当且仅当 时， 取最大值，且 ，（10 分）1x1e对 都有 ，即 恒成立，0,x2lnxe2ln0xFx故函数 无零点 .（12 分）F
