1、2016-2017 学年江苏省南通市如皋中学高三（上）第一次月考数学试卷一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置1已知集合 A=1，cos，B= ，1，若 A=B，则锐角 = 2已知幂函数 y=f（x）的图象过点（ ， ） ，则 f（4 ）的值为 3若函数 是偶函数，则实数 a 的值为 4若函数 f（x）= （e 为自然对数的底数）是奇函数，则实数 m 的值为 5函数 y= 的定义域为 A，值域为 B，则 AB= 6已知 x，y 满足 且 z=2x+y 的最大值是最小值的 4 倍，则 a 的值是 7已知点 P 在直线 y=2x+1 上，点
2、Q 在曲线 y=x+lnx 上，则 P、Q 两点间距离的最小值为 8若函数 f（x）=Asin （ x+） （A0， 0，| ）的图象关于坐标原点中心对称，且在 y 轴右侧的第一个极值点为 x= ，则函数 f（x）的最小正周期为 9函数 f（x）的定义域为 R，f（0）=2 ，对任意 xR，f（x）+f（x）1，则不等式exf（x）e x+1 的解集为 10已知 tan（+ ）=1 ，tan（ ）=2，则 的值为 11在锐角三角形 ABC 中，若 tanA，tanB，tanC 依次成等差数列，则 tanAtanC 的值为 12已知函数交于 M、N 两点，则|MN|的最大值是 13已知函数 f（
3、x）=2 x1+a，g（x）=bf（1x） ，其中 a，b R，若关于 x 的不等式 f（x）g（x）的解的最小值为 2，则 a 的取值范围是 14若实数 x，y 满足 x24xy+4y2+4x2y2=4，则当 x+2y 取得最大值时， 的值为 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15已知 （0， ） ，（ ，） ，cos = ，sin（+）= （1）求 tan 的值；（2）求 sin 的值16在ABC 中，三个内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c，已知 = = （1）求 C；（2）如图，设半径为 R 的圆
4、O 过 A，B ，C 三点，点 P 位于劣弧 上，PAB=，求四边形 APCB 面积 S（）的解析式及最大值17如图是某设计师设计的 Y 型饰品的平面图，其中支架 OA，OB，OC 两两成 120，OC=1，AB=OB +OC，且 OAOB，现设计师在支架 OB 上装点普通珠宝，普通珠宝的价值为 M，且 M 与 OB 长成正比，比例系数为 k（k 为正常数）：在AOC 区域（阴影区域）内镶嵌名贵珠宝，名贵珠宝的价值为 N，且 N 与AOC 的面积成正比，比例系数为4 k，设 OA=x，OB=y（1）求 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围；（2）求 NM 的最大值及相应的 x 的
5、值18对于定义域为 D 的函数 y=f（x） ，若同时满足下列条件：f（x）在 D 内单调递增或单调递减；存在区间a ，b D，使 f（x）在a ，b上的值域为a，b；那么把 y=f（x） （xD）叫闭函数（1）求闭函数 y=x3 符合条件的区间a，b；（2）判断函数 是否为闭函数？并说明理由；（3）若 是闭函数，求实数 k 的取值范围19已知函数 f（x）= + （1）求函数 f（x）的定义域和值域；（2）设 F（x）= f2（x） 2+f（x） （a 为实数） ，求 F（x）在 a0 时的最大值 g（a） ；（3）对（2）中 g（a） ，若m 2+2tm+ g（a）对 a0 所有的实数 a
6、 及 t1，1恒成立，求实数 m 的取值范围20过点 P（1，0）作曲线 f（x）=e x 的切线 l（1）求切线 l 的方程；（2）若直线 l 与曲线 y= （a R）交于不同的两点 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，求证：x1+x24附加题：（共 4 小题，满分 0 分）21已知矩阵 A= ，B= 满足 AX=B，求矩阵 X22在平面直角坐标系 xOy 中，设点 P（x，5）在矩阵 M= 对应的变换下得到点Q（y2， y） ，求 23已知常数 a0，函数 f（x）=ln（1+ax） 讨论 f（x）在区间（0，+）上的单调性24如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为
7、直角梯形，ABC=BAD=90，且PA=AB=BC= AD=1，PA 平面 ABCD（1）求 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值；（2）棱 PD 上是否存在一点 E 满足AEC=90？若存在，求 AE 的长；若不存在，说明理由2016-2017 学年江苏省南通市如皋中学高三（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置1已知集合 A=1，cos，B= ，1，若 A=B，则锐角 = 【考点】集合的相等【分析】根据集合相等的条件，建立方程关系即可得到结论【解答】解：若 A=B，则 cos= ， 是锐角，=
8、，故答案为：2已知幂函数 y=f（x）的图象过点（ ， ） ，则 f（4 ）的值为 2 【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【分析】设幂函数 y=f（x）=x ，根据 f（x）的图象过点（ ， ） ，求得 的值，可得函数 f（x）的解析式，从而求得 f（4）的值【解答】解：设幂函数 y=f（x）=x ，f （x）的图象过点（ ， ） ， = ，= ，f（x）= f （4）= =2，故答案为：23若函数 是偶函数，则实数 a 的值为 【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象【分析】由题意可得，f（ ）=f（ ） ，从而可求得实数 a 的值【解答】解：f（x）=asin（x+ ）+
9、sin（x ）为偶函数，f（ x）=f（x） ，f（ ）=f（ ） ，即 =a，a= 故答案为： 4若函数 f（x）= （e 为自然对数的底数）是奇函数，则实数 m 的值为 1 【考点】函数奇偶性的性质【分析】由函数的奇偶性易得 f（1）=f（1） ，解 m 的方程可得【解答】解：函数 f（x）= （e 为自然对数的底数）是奇函数，f（ 1）=f （ 1） ， = ，m=1故答案为：15函数 y= 的定义域为 A，值域为 B，则 AB= 0，2 【考点】函数的值域；交集及其运算；函数的定义域及其求法【分析】分别求出函数的定义域，和值域，然后利用集合的基本运算求解即可【解答】解：要使函数有意义，
10、则x 22x+80，即 x2+2x80，解得 4x2 ，即函数的定义域 A=4，2y= = ，4 x 2，0 ，即 0x3，即函数的值域 B=0，3，AB=4，2 0，3=0， 2故答案为：0，26已知 x，y 满足 且 z=2x+y 的最大值是最小值的 4 倍，则 a 的值是 【考点】简单线性规划【分析】首先画出可行域，利用目标函数的几何意义得到最大值和最小值的最优解，得到关于 a 方程解之【解答】解：由已知得到可行域如图：当直线 y=2x+z 经过 C（a，a）时 z 最小，经过 A 时 z 最大，由得到 A（1，1）所以 43a=21+1，解得 a= ；故答案为： 7已知点 P 在直线
11、y=2x+1 上，点 Q 在曲线 y=x+lnx 上，则 P、Q 两点间距离的最小值为 【考点】两点间距离公式的应用【分析】设直线 y=2x+t 与曲线 y=x+lnx 相切于点 Q（a， b） 利用=1+ =2，解得切点为 Q（1，1） 利用点到直线的距离公式可得 Q 到直线 y=2x+1 的距离 d，即为所求【解答】解：设直线 y=2x+t 与曲线 y=x+lnx 相切于点 Q（a，b） 则 =1+ =2，解得 a=1，b=1 ，切点为 Q（1，1） Q 到直线 y=2x+1 的距离 d= = P、Q 两点间距离的最小值为 故答案为： 8若函数 f（x）=Asin （ x+） （A0， 0
12、，| ）的图象关于坐标原点中心对称，且在 y 轴右侧的第一个极值点为 x= ，则函数 f（x）的最小正周期为 【考点】正弦函数的图象【分析】由条件利用正弦函数的图象的特征，正弦函数的奇偶性、最值、周期性，求得函数 f（x）的最小正周期【解答】解：函数 f（x）=Asin（ x+） （A0， 0，| ）的图象关于坐标原点中心对称，可得 =0，f（x）在 y 轴右侧的第一个极值点为 x= ， = ，= ，函数 f（x）=Asin（ x） ，则函数 f（x）的最小正周期为 = ，故答案为： 9函数 f（x）的定义域为 R，f（0）=2 ，对任意 xR，f（x）+f（x）1，则不等式exf（x）e x
13、+1 的解集为 x|x0 【考点】函数的定义域及其求法【分析】设 h（x）=e xf（x） ex1，则不等式 exf（x）e x+1 的解集就是 h（x）0 的解集由此利用导数性质能求出不等式 exf（x）e x+1 的解集【解答】解：设 h（x）=e xf（ x）e x1，则不等式 exf（x）e x+1 的解集就是 h（x）0 的解集h（0）=12 11=0，h（x）=e xf（ x）+f （x）e x，f（x）+f （ x）1，对于任意 xR，exf（x ）+f （x）e x，h（x）=e xf（x）+f（x） ex0即 h（x）在实数域内单调递增h（0）=0，当 x0 时，h（x）0；
14、当 x0 时，h（x）0不等式 exf（x）e x+1 的解集为： x|x0故答案为：x|x010已知 tan（+ ）=1 ，tan（ ）=2，则 的值为 1 【考点】两角和与差的正切函数【分析】利用已知条件求出 的正切函数值，然后求解 的值【解答】解：tan（+ ）=1 ， tan（ ）=2，= =，分式同除以 cos（+ ）cos（ ） ） ，= =1故答案为：111在锐角三角形 ABC 中，若 tanA，tanB，tanC 依次成等差数列，则 tanAtanC 的值为 3 【考点】两角和与差的正切函数【分析】利用等差数列列出关系式，利用三角形的内角和以及两角和的正切函数，化简求解即可【解
15、答】解：由题意知：A ，B ，C ，且 A+B+C=，tanA，tanB，tanC 依次成等差数列，2tanB=tanA+ tanC，tan（A+B ）=tan（C）= tanC，又tan（A+B）= ，tanA+tanB=tan （A+B） （1tanAtanB ）= tanC（1tanAtanB）=tanC+tanAtanBtanC ，即 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，tanAtanC=3故答案为：312已知函数交于 M、N 两点，则|MN|的最大值是 【考点】两角和与差的正弦函数；诱导公式的作用；正弦函数的定义域和值域【分析】由已知中直线 x=m 分别交函数 y
16、=sinx、 的图象于 M、N 两点，表示 M、N 的距离，根据辅助角公式化为一个正弦型函数的形式，根据正弦型函数的值域，即可得到结果【解答】解： =cosx直线 x=m 分别交函数 y=sinx、 的图象于 M、N 两点，则|MN|=|sinxcosx|f（x） g（x）|= |sinxcosx|=| sin（x ）|xR|f（x） g（x）|0， 故 M、N 的距离的最大值为 故答案为：13已知函数 f（x）=2 x1+a，g（x）=bf（1x） ，其中 a，b R，若关于 x 的不等式 f（x）g（x）的解的最小值为 2，则 a 的取值范围是 a 2 或 a 【考点】函数的最值及其几何意
17、义【分析】化简不等式可得 2x1+ab（2 x+a） ，从而令 F（x）=2 x1+ab（2 x+a）= +aab，分类讨论以确定 F（x）0 的解集为2，+） ，结合函数的单调性及方程与不等式的关系求解即可【解答】解：f（x）=2 x1+a，g（x）=bf（1x）=b （2 1x1+a）=b（2 x+a） ，f（x）g（x） ，2 x1+ab（2 x+a） ，令 F（x）=2 x1+ab（2 x+a）= +a ab= +aab，若 b0，则 （ +aab）= +，与关于 x 的不等式 f（x）g （x）的解的最小值为 2 相矛盾，故不成立；若 b=0，则 F（x）= +aab 在 R 上是增
18、函数；即 F（x）= +a0 的解集为2，+） ，故 a=2；若 b0，则 F（x）= +aab 在 R 上是增函数；即 F（x）= +aab0 的解集为 2，+） ，故 2+a=b（ +a） ，故 b= 0，故 a2 或 a ；综上所述，a2 或 a 14若实数 x，y 满足 x24xy+4y2+4x2y2=4，则当 x+2y 取得最大值时， 的值为 2 【考点】不等式的基本性质【分析】实数 x，y 满足 x24xy+4y2+4x2y2=4，变形为：（x+2y） 2+（2xy 2） 2=8，令 x+2y=sin，2xy 2=2 cos， 0，2） 则当 x+2y 取得最大值时， = ，即可得
19、出【解答】解：实数 x，y 满足 x24xy+4y2+4x2y2=4，变形为：（x+2y） 2+（2xy2） 2=8，令 x+2y= sin，2xy2=2 cos，0，2） 则当 x+2y 取得最大值时，= ，则 x+2y=2 ，2xy 2=0，解得 x= ，y= =2故答案为：2二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15已知 （0， ） ，（ ，） ，cos = ，sin（+）= （1）求 tan 的值；（2）求 sin 的值【考点】y=Asin （x+）中参数的物理意义【分析】 （1）使用二倍角公式用 tan 表示
20、出 cos，求出 的范围，解方程得出；（2）根据 ， 的范围求出 sin，cos（ +） ，利用差角的正弦函数公式计算【解答】解：（1） ，且 ， ，解得 ， ， ， ， （2） ， ， ，又 ，故 ， ，sin=sin（+ ） =sin（ +）coscos（+ ）sin=16在ABC 中，三个内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c，已知 = = （1）求 C；（2）如图，设半径为 R 的圆 O 过 A，B ，C 三点，点 P 位于劣弧 上，PAB=，求四边形 APCB 面积 S（）的解析式及最大值【考点】在实际问题中建立三角函数模型；三角函数中的恒等变换应用【分析】 （1）由已知结合正
21、弦定理可得 sin2A=sin2B，再由角的范围可得 A+B= ，从而求得 C；（2）把三角形 ABC 的三边用 R 表示，再由 S（ ）=S ABC+SAPC ，代入三角形面积公式化简，然后由 （ ）求得四边形 APCB 面积 S（ ）的最大值【解答】解：（1）由 = ，得 = ，sin2A=sin2B，2A，2B（0，2） ，2A=2B，或 2A+2B=，即 A=B 或 A+B= ， ，A=B 舍去，从而 C= ；（2）由条件得：c=2R，a=R，b= R，BAC= ， CAP= ，（ ） ，S（）=S ABC +SAPC = = = ，（） ， （ ） ，当 时， 17如图是某设计师设计
22、的 Y 型饰品的平面图，其中支架 OA，OB，OC 两两成 120，OC=1，AB=OB +OC，且 OAOB，现设计师在支架 OB 上装点普通珠宝，普通珠宝的价值为 M，且 M 与 OB 长成正比，比例系数为 k（k 为正常数）：在AOC 区域（阴影区域）内镶嵌名贵珠宝，名贵珠宝的价值为 N，且 N 与AOC 的面积成正比，比例系数为4 k，设 OA=x，OB=y（1）求 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围；（2）求 NM 的最大值及相应的 x 的值【考点】函数的最值及其几何意义；函数解析式的求解及常用方法【分析】 （1）根据条件结合余弦定理建立函数关系即可求 y 关于 x
23、的函数关系式，并写出x 的取值范围；（2）求出 NM 的表达式，利用换元法结合基本不等式的性质即可求出 NM 的最大值及相应的 x 的值【解答】解：（1）OA=x，OB=y，AB=y+1，由余弦定理得 x2+y22xycos120=（y+1） 2，解得 y= ，由 x0，y0，得 1x2，xy，x ，得 1x ，OA 的取值范围是（1， ） （2）M=kOB=ky，N=4 kSAOC =3kx，则 NM=k（3xy）=k （3x ） ，设 2x=t，则 t（ ，1） ，则 NM=k3（2t） =k10（4t+ ）k（102 ）=（10 4 ）k，当且仅当 4t= ，即 t= ， x=2 时，N
24、 M 的最大值是） =（10 4 ）k18对于定义域为 D 的函数 y=f（x） ，若同时满足下列条件：f（x）在 D 内单调递增或单调递减；存在区间a ，b D，使 f（x）在a ，b上的值域为a，b；那么把 y=f（x） （xD）叫闭函数（1）求闭函数 y=x3 符合条件的区间a，b；（2）判断函数 是否为闭函数？并说明理由；（3）若 是闭函数，求实数 k 的取值范围【考点】函数与方程的综合运用【分析】 （1）根据单调性依据闭区间的定义等价转化为方程，直接求解（2）判断其在（0，+）是否有单调性，再据闭函数的定义判断；（3）根据闭函数的定义一定存在区间a，b，由定义直接转化求解即可【解答】
25、解：（1）由题意，y=x 3 在a，b上递减，则 解得所以，所求的区间为1，1 ；（2）取 x1=1，x 2=10，则 ，即 f（x）不是（0，+）上的减函数取 ，即 f（x）不是（0，+）上的增函数所以，函数在定义域内不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数；（3）若 是闭函数，则存在区间a，b，在区间a，b上，函数 f（x）的值域为a，b，即 ，a，b 为方程 的两个实数根，即方程 x2（2k +1）x+k 22=0（x 2，xk）有两个不等的实根当 k2 时，有 ，解得 ，当 k2 时，有 ，无解，综上所述， 19已知函数 f（x）= + （1）求函数 f（x）的定义域和值域；（2）设
26、 F（x）= f2（x） 2+f（x） （a 为实数） ，求 F（x）在 a0 时的最大值 g（a） ；（3）对（2）中 g（a） ，若m 2+2tm+ g（a）对 a0 所有的实数 a 及 t1，1恒成立，求实数 m 的取值范围【考点】函数恒成立问题；函数的定义域及其求法；函数的值域【分析】 （1）由 1+x0 且 1x0 可求得定义域，先求f（x） 2 的值域，再求 f（x）的值域；（2）F（x）=a + + ，令 t=f（x）= + ，则= 1，由此可转化为关于 t 的二次函数，按照对称轴 t= 与 t 的范围 ，2的位置关系分三种情况讨论，借助单调性即可求得其最大值；（3）先由（2）求
27、出函数 g（x）的最小值， g（a）对 a0 恒成立，即要使 g min（a）恒成立，从而转化为关于 t 的一次不等式，再根据一次函数的单调性可得不等式组，解出即可【解答】解：（1）由 1+x0 且 1x0，得 1x1，所以函数的定义域为1，1 ，又f（x） 2=2+2 2，4，由 f（x）0，得 f（ x） ，2，所以函数值域为 ，2；（2）因为 F（x）= =a + + ，令 t=f（x）= + ，则 = 1，F（x）=m（t）=a（ 1）+t= ，t ，2，由题意知 g（a）即为函数 m（t）= ，t ，2的最大值注意到直线 t= 是抛物线 m（t ）= 的对称轴因为 a0 时，函数 y
28、=m（t） ，t ，2的图象是开口向下的抛物线的一段，若 t= （0， ，即 a ，则 g（a）=m （ ）= ；若 t= （ ，2，即 a ，则 g（a ）=m（ ）=a ；若 t= （2，+） ，即 a0，则 g（a）=m （2）=a+2，综上有 g（a）= ，（3）易得 ，由 g（a ）对 a0 恒成立，即要使 g min（a）= 恒成立，m22tm0，令 h（t）= 2mt+m2，对所有的 t1，1， h（t）0 成立，只需 ，解得 m 的取值范围是 m2 或 m=0，或 m220过点 P（1，0）作曲线 f（x）=e x 的切线 l（1）求切线 l 的方程；（2）若直线 l 与曲线
29、y= （a R）交于不同的两点 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，求证：x1+x24【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】 （1）求导数，设切点，可得方程组，即可求切线 l 的方程；（2）设 f（x）=（x+1）e x，则 f（x 1）=f（x 2） f（x）= （x+2）e x，可得函数 f（x）的单调性；设 g（x）=f（x）f（4 x） ，切点其单调性，即可证明结论【解答】 （1）解：y=e x，设切点（x 0，y 0） ，则 ，解得 x0=0，因此 y|x=0=1， l 的方程是 y=x+1（2）证明：依题意有 ，所以 设 f（x）= （x+1）e x，则 f（
30、x1）=f（x 2） f（x）=（x+2 ）e x，当 x2 时，f（x）0，当 x 2 时，f（x）0；所以 f（x）在（，2）单调递减，在（ 2，+）单调递增因为 x1x 2，不妨设 x12， x2 2设 g（x）=f（x）f（ 4x） ，则 g（x）=f（x）+f（ 4x）=（x+2）e x（1 e2（2+x） ） ，当 x2 时，g（x）0，g（x）在在（ 2，+）单调递增，所以 g（x）g（2）=0 ，所以当 x2 时，f（x）f（4 x） 因为 x22，所以 f（x 2）f（4x 2） ，从而 f（x 1）f （4x 2） ，因为4 x22，f（x）在（，2）单调递减，所以 x14
31、x 2，即 x1+x24附加题：（共 4 小题，满分 0 分）21已知矩阵 A= ，B= 满足 AX=B，求矩阵 X【考点】矩阵与矩阵的乘法的意义【分析】由 AX=B，得 = ，求解即可【解答】解：设 x= ，由 =得 解得此时 x=22在平面直角坐标系 xOy 中，设点 P（x，5）在矩阵 M= 对应的变换下得到点Q（y2， y） ，求 【考点】几种特殊的矩阵变换【分析】由题意得到 ，从而求出 x，y，再由逆矩阵公式求出矩阵 M 的逆矩阵，由此能求出 【解答】解：点 P（x，5）在矩阵 M= 对应的变换下得到点 Q（y2，y） ，依题意， = ，即 解得由逆矩阵公式知，矩阵 M= 的逆矩阵
32、， = = 23已知常数 a0，函数 f（x）=ln（1+ax） 讨论 f（x）在区间（0，+）上的单调性【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】利用导数判断函数的单调性，注意对 a 分类讨论【解答】解：f（x）=ln（1+ax） ，f（x）= = ，（1+ax） （x+2） 20，当 1a0 时，即 a1 时，f （x）0 恒成立，则函数 f（x）在（0，+）单调递增，当 0a1 时，由 f（x）=0 得 x= ，则函数 f（x）在（0， ）单调递减，在（ ，+）单调递增24如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，ABC=BAD=90，且PA=AB=BC= AD=1，PA
33、 平面 ABCD（1）求 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值；（2）棱 PD 上是否存在一点 E 满足AEC=90？若存在，求 AE 的长；若不存在，说明理由【考点】直线与平面所成的角【分析】 （1）以 A 为坐标原点建立空间直角坐标系，求出 ，平面 PCD 的法向量，即可求 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值；（2）假设存在 E 符合条件，设 ，则由AEC=90得， ，列出方程，判定方程在0，1上是否有解即可得出结论【解答】解：（1）依题意，以 A 为坐标原点，分别以 AB，AD ，AP为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 Oxyz，则 P（0，0，1） ，B（1，0，0） ，C（1，1，0） ，D （0，2，0） ，从而 ， ， ，设平面 PCD 的法向量为 =（ a，b，c） ，即 ，不妨取 c=2，则 b=1，a=1，所以平面 PCD 的一个法向量为 =（1，1，2） ，此时 cos ， = = ，所以 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值为 ；（2）设 ，则 E（0，2，1 ） ，则 ， ，由AEC=90得， ，化简得，5 24+1=0，该方程无解，所以，棱 PD 上不存在一点 E 满足AEC=902017 年 1 月 5 日
