1、2017 届广东省汕头市高三上学期期末教学质量监测数学（文）试题 文科数学第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.集合 ， ，则 （ ）5,4321A03|2xBBAA B C D, 4,5,42.设 （ ， 为虚数单位） ，则模 （ ）yixi1R,i|yixA1 B C D21223.若实数 满足 ，则使得 取得最大值的最优解为（ ）yx,309yxyzA B C D )0,3(),()3,4()3,6(4.设 是数列 的前 项和，且 ，则 （ ）nSnannaS21A B C D 1)
2、2(3 1)32( 3)( n)31(5.去 城市旅游有三条不同路线，甲、乙两位同学各自选择其中一条线路去n城市旅游，若每位同学选择每一条线路的可能性相同，则这两位同学选择同)(一条路线的概率为（ ）A B C D 312132916.执行如图的程序框图，则输出的 是（ ）nA5 B4 C3 D2 7.已知 在 上是偶函数，且满足 ，当 时，)(xfR)(3(xff23,0，则 （ ）2)5(fA8 B2 C. D5028.已知函数 ，下列结论错误的是（ ）)(3cos)(Rxxf A函数 的最小正周期为 B函数 图象关于点 对称 )(xf)0,125(C. 函数 在区间 上是减函数 D函数
3、的图象关于直线 对)(xf2,0 6x称9.某单位为了了解用电量 度与气温 之间的关系，随机统计了某 4 天的用),15()0,125(电量与当天气温，并制作了对照表气温（ ）C20 16 12 4用电量（度） 14 64 28 42由表中数据得回归直线方程 中 ，预测当气温为 时，用电量的度)0,125(),( )0,125(数是（ ）A70 B68 C. 64 D6210.下列判断错误的是（ ）A命题“ ”的否定是“ ”01,2x 01,2xB “ ”是“ ”的充分不必要条件 xC. 若“ ”为假命题，则 均为假命题qpqp,D命题“若 ，则 或 ”的否命题为“若 ，则 且 ”0ba0b0
4、ba0b11.已知三棱柱 的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的1CBA体积为 ， ， ， ，则此球的表面积等于（ ） 3260A B C. D5208112.已知函数 与 图象上存在关于)(1cos)(xxf )(logcs(2axg轴对称的点，则 的取值范围是（ ）yaA B C. D)2,()2,()2,()2,(第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知向量 ， ，且 ，则 ),1(ma)12,(bba/m14.一个几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图是两个全等的三角形，俯视图是 个43圆，则该几何体的体积等于 15.已知
5、 为第二象限角，且 ，则 3)4tan(cosin16.已知函数 ，若 ，且 ，则1,2log)(xexf 0,m)2(lnf的最小值为 nm21三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分 12 分）已知 是等差数列，满足 ，数列 满足 ，且na5,14anb21,41b为等比数列.nb（1 ）求数列 和 的通项公式；nb（2 ）求数列 的前 项和 .nS18. （本小题满分 12 分）在 中，内角 所对的边分别为 ，ABC, cba,.Bcbaos3)sco(sin（1 ）求 ；（2 ）若 ， 的面积为 ，求 的周长.AC
6、2AC19. （本小题满分 12 分）已知如图正四面体 的侧面积为 ， 为底面正三角形 的中心.SB348OABC（1 ）求证： ；CA（2 ）求点 到侧面 的距离 .O20.（本小题满分 12 分）某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干个，每个生日蛋糕成本为 50 元，每个蛋糕的售价为100 元，如果当天卖不完，剩余的蛋糕作垃圾处理.现搜集并整理了 100 天生日蛋糕的日需求量（单位：个） ，得到如图所示的柱状图.100 天记录的各需求量的频率作为每天各需求量发生的概率.（1）若该蛋糕店某一天制作生日蛋糕 17 个，设当天的需求量为 ，则当天的利)(Nn润 （单位：元）是多少？y（2）若蛋糕店一天制作
7、 17 个生日蛋糕.求当天的利润 （单位：元）关于当天需求量 的函数解析式； yn求当天的利润不低于 600 圆的概率. （3 ）若蛋糕店计划一天制作 16 个或 17 个生日蛋糕，请你以蛋糕店一天利润的平均值作为决策依据，应该制作 16 个还是 17 个生日蛋糕？21.（本小题满分 12 分）设函数 .0,ln)1(2)( axaxf（1 ）求函数 的单调区间； （2 ）讨论函数 的零点个数 .)(xf请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立
8、极坐标系，曲线xOyx的极坐标方程为 ，直线 的方程为 .C04sinco2l01yx（1 ）写出曲线 的参数方程；（2 ）在曲线 上求一点 ，使点 到直线 的距离最大，并求出此最大值.Pl23. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 ， .|2|1|)(mxxfR（1 ）当 时，解不等式 ；4m0)(f（2 ）当 时， 恒成立，求 的取值范围 .),(xx汕 头 市 20162017学 年 度 普 通 高 中 毕 业 班 教 学 质 量 监 测文 科 数 学 答 案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
9、12答 案 A D C D A B B C A C B D二、填空题：每小题5分，满分 20分13 ； 14 ； 15 ； 16 139532三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 17.解：（1）设 的公差为 ， 的公比为 ，nadnbaq， 241d，1()na. 3n， ，21b164， 814aq2q， nnb2. 3（2 ） 12nnSb)32()32()1()2(21 n3n2)(1)(n2n18.解：（1 ）根据正弦定理得：BCABABcosin3)cosincs(is)nCcsi3si，),0(C0n即 Bcossin3ta),(3（
10、2 ） 324sin21acBacSABC8ac根据余弦定理得：Bcbos22，即 81a202a6)(cc的周长为： . ABC3619.解：（1 ）证明：取 的中点 ,连结 ， BCDAS是等边三角形 是 的中点ABD是等边三角形 是 的中点SC, 平面ASAD平面 BD平面 SB（2 ） 解法一：由（1）可知 平面BCSAD平面 ，BCS平面 平面 AD平面 平面BCS过点 作 ，则 平面OE就是点 到侧面 的距离. 由题意可知点 在 上，设正四面体 的棱长为 ，ADSABCa20436sin21aSCBSC正四面体 的侧面积为8， 34832aSBCa在等边三角形 中， 是 的中点AD
11、BCaD2sin同理可得 S3为底面正三角形 的中心OABC，aDA32aDO631在 中， SRtAS2由 EO21得： Oaa363，即点 到侧面 的距离为 . 98ESBC968解法二： 连结 ，则SA平 面由题意可知点 在 上，OD设正四面体 的棱长为 ，ABCa20436sin21SS正四面体 的侧面积为8，3432aSBC8a在等边三角形 中， 是 的中点ABCD342sinaD为底面正三角形 的中心O，aA334631aADO在 中， SRt82S316481|21ODBCO9283|3SVBCBCS1648S设点 到侧面 的距离为 ，Oh由 得， SBCSV SBC392，即点
12、 到侧面 的距离为 .681328SBChO96820.解：（1 ）当 时， ， 7n1(05)Y当 时， ， 608n（2 ） 由（1 ）得当天的利润 关于当天需求量 的函数解析式为：85(16)07nYN设“ 当天利润不低于 ”为事件 ，由知， “当天利润不低于 ”等价于0A60“需求量不低于 个” 12()05PA所以当天的利润不低于 元的概率为： 625（3 ）若一天制作 个蛋糕，则平均利润为：1； 1(027807)8x若一天制作 个蛋糕，则平均利润为：； 2(5165152)760蛋糕店一天应该制作 个生日蛋糕. 1x721.解：（1 ）函数 的定义域为 ()fx(0,)()1af
13、2xa()1(0)x当 时，令 得 ；令 得 或 ，0af1ax()0fxxa1所以函数 的单调增区间为 和 ，单调减区间为 ； ()fx(,),)(当 时， 恒成立，所以函数 的单调增区间为 ，无减1a2()0f()fx(0,)区间；当 时，令 得 ；令 得 或 ，()fx1xa()0fx1xa所以函数 的单调增区间为 和 ，单调减区间为 . (0,),)(（2 ） 由（1 ）可知，当 时，函数 的单调增区间为 和 ，单调减区间为 ，()fx(,)a1,),1)a(所以 ， ，2)+ln0f极 大 值 )02fxfa极 小 值注意到 ， (2)ln(2)0faa所以函数 有唯一零点，当 时，
14、函数 在 上单调递增，x1()fx0,)又注意到 ， 所以函数 有唯一零点； 3(1)2f(4)lf (f当 时，函数 的单调递增是 和 上，单调递减是 上，afx0,)(,)a1,)a(所以 ， ， 1()()fxa极 大 值 2+ln0fxf极 小 值注意到 ， 2ln2)所以函数 有唯一零点， ()fx综上，函数 有唯一零点. 22.解 :（1）由 及 得：2cos4in+=0 2cos,in,xyxy，即 ， 24+=0xy22(1)()1xy所以曲线 的参数方程为： ； Ccosin为 参 数（2 ）设点 ，则点 到直线 的距离为：(1cos,2in)(PRPl|(i)|dsi)2|
15、4|2)4sin(所以当 时，点 ， sin()141maxd此时 ，即 ，2k324kz所以 ， 1coss()1 32sin2si()4k所以点 坐标为 ，点 到直线 的距离最大值为 . P21,Pl1法 2：圆心 C(2，1)到直线 的距离为 ld故圆上的点 P 到 直线 的最大距离 l 21maxd设过 C(2，1)与直线 垂直的直线为 ，则 的方程为 ，即0l )1(xy3xy代入 得 解得 22(1)()=1xy1)()(22x2由图可得取最大值点 的横坐标为P故点 的纵坐标为 2所以点 坐标为 ，点 到直线 的距离最大值为 . P(1,)Pl21当 时， ，即 ，解得： ， 2x30x33x所以不等式 的解集为 ； ()f 5|或（2 ）因为 ，所以不等式 恒成立，1,x()0fx等价为 恒成立，即 ， |2|0m1|2|m解得： 或x即 或 恒成立， 13x1因为 ，所以 ，即 ，(,)2故 的取值范围为： m2,)
