1、2016-2017 学年四川省眉山中学高三（上）9 月月考数学试卷（理科）一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的1复数 在复平面上对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2若集合 A=x|3+2xx20，集合 B=x|2x2，则 AB 等于（ ）A （1，3） B （ ， 1） C （ 1，1） D （3，1）3已知| |=| |，且| + |= | |，则向量 与 的夹角为（ ）A30 B45 C60 D1204公比为 2 的等比数列a n的各项都是正数，且 a4a10=16，则 a6=（ ）A
2、1 B2 C4 D85甲：函数，f（x）是 R 上的单调递增函数；乙：x 1x 2，f（x 1）f（x 2） ，则甲是乙的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件6若变量 x，y 满足 ，则 x2+y2 的最大值是（ ）A4 B9 C10 D127已知直线 l，m，平面 ， ，且 l，m ，给出下列四个命题：若 ，则 lm；若 lm，则 ；若 ，则 lm；若 lm，则 其中正确命题的个数是（ ）A0 B1 C2 D38按照如图所示的程序框图执行，若输出的结果为 15，则 M 处的条件可为（ ）Ak8 Bk8 Ck16 Dk169函数 f（x）=2sin（ x+
3、） （ 0， ）的部分图象如图所示，则 ， 的值分别是（ ）A B C D10我省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社” 、 “舞者轮滑俱乐部”、 “篮球之家”、 “围棋苑”四个社团若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑” ，则不同的参加方法的种数为（ ）A72 B108 C180 D21611已知点 A 是抛物线 y= 的对称轴与准线的交点，点 B 为该抛物线的焦点，点 P 在该抛物线上且满足|PB|=m|PA|，当 m 取最小值时，点 P 恰好在以 A，B 为焦点的双曲线上，则
4、该双曲线的离心率为（ ）A B C D12设函数 f（x）在 R 上存在导数 f（x） ，x R，有 f（ x）+f（x）=2x 2，在（0，+）上 f（x）2x ，若 f（2 m）+4m 4f（m） ，则实数 m 的取值范围为（ ）A1 m1 Bm1 C 2m2 Dm2二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.请把答案填在答题卡上相应位置.13已知二项式 的展开式中 x2 项的系数为 32，则实数 a= 14如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 152010 年 11 月 12 日广州亚运会上举行升旗仪式如图，在坡度为 15的观礼台上，某一列座
5、位所在直线 AB 与旗杆所在直线 MN 共面，在该列的第一个座位 A 和最后一个座位B 测得旗杆顶端 N 的仰角分别为 60和 30，且座位 A、B 的距离为 米，则旗杆的高度为 米16如果 f（x）的定义域为 R，对于定义域内的任意 x，存在实数 a 使得 f（x+a ）=f（ x）成立，则称此函数具有“P （a）性质”，给出下列命题：函数 y=sinx 具有“P （a ）性质”；若奇函数 y=f（x）具有“ P（2）性质”，且 f（1）=1，则 f 同时具有“ P（0）性质”和“P（ 3）性质” ，则函数 y=f（ x）是周期函数；若函数 y=f（x）具有“ P（4）性质”，图象关于点（1
6、，0）成中心对称，且在（1，0）上单调递减，则 y=f（x）在（2， 1）上单调递减，在（1，2）上单调递增；其中正确的是 （写出所有正确命题的编号） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17已知等差数列a n中，a 1=1，a 3=3（）求数列a n的通项公式；（）若数列a n的前 k 项和 Sk=35，求 k 的值18已知函数 f（x）=sin（ x）sinx cos2x（1）求 f（x）的单调递增区间；（2）若 x ， ，求 f（x）的值域19随着人口老龄化的到来，我国的劳动力人口在不断减少， “延迟退休” 已经成为人们越来越关注的话题，
7、为了了解公众对“延迟退休”的态度，某校课外研究性学习小组对某社区随机抽取了 5 人进行调查，将调查情况进行整理后制成下表：年龄 20，25） 25，30） 30，35） 35，40） 40，45）人数 4 5 8 5 3年龄 45，50） 50，55） 55，60） 60，65） 65，70）人数 6 7 3 5 4年龄在25，30） ，55，60）的被调查者中赞成人数分别是 3 人和 2 人，现从这两组的被调查者中各随机选取 2 人，进行跟踪调查（）求年龄在25，30）的被调查者中选取的 2 人都是赞成的概率；（）求选中的 4 人中，至少有 3 人赞成的概率；（）若选中的 4 人中，不赞成的
8、人数为 X，求随机变量 X 的分布列和数学期望20如图，在四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，AB 垂直于 AD 和 BC，平面SAB底面 ABCD，且 SA=SB= ，AD=1，AB=2，BC=3（）求证：平面 SAD平面 SBC；（）求平面 SCD 与底面 ABCD 所成二面角的余弦值21如图，椭圆 E： + =1（ab0）经过点 A（ 0，1） ，且离心率为 （）求椭圆 E 的方程；（）经过点（1，1） ，且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 P，Q（均异于点 A） ，证明：直线 AP 与 AQ 斜率之和为 222已知函数 f（x）=x 22x+alnx（aR）
9、 （）当 a=2 时，求函数 f（ x）在（1，f （1） ）处的切线方程；（）当 a0 时，求函数 f（x）的单调区间；（）若函数 f（x）有两个极值点 x1，x 2（x 1x 2） ，不等式 f（x 1）mx 2 恒成立，求实数 m 的取值范围2016-2017 学年四川省眉山中学高三（上）9 月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的1复数 在复平面上对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则、几何意义
10、即可得出【解答】解：复数 = = + i 在复平面上对应的点 位于第一象限故选：A2若集合 A=x|3+2xx20，集合 B=x|2x2，则 AB 等于（ ）A （1，3） B （ ， 1） C （ 1，1） D （3，1）【考点】交集及其运算【分析】分别求出关于集合 A、B 中 x 的范围，取交集即可【解答】解：集合 A=x|3+2xx20=x|1x3，集合 B=x|2x2=x|x1，则 AB=x|1x1，故选：C3已知| |=| |，且| + |= | |，则向量 与 的夹角为（ ）A30 B45 C60 D120【考点】平面向量数量积的运算【分析】可以看出，需对等式 两边平方，再带入 ，
11、便可得到 = ，这样显然可以求出，从而便可得出 与 的夹角【解答】解：对 两边平方得： ； ； ； = ； ； ； 与 的夹角为 60故选：C4公比为 2 的等比数列a n的各项都是正数，且 a4a10=16，则 a6=（ ）A1 B2 C4 D8【考点】等比数列的通项公式【分析】由题意结合等比数列的性质可得 a7=4，由通项公式可得 a6【解答】解：由题意可得 =a4a10=16，又数列的各项都是正数，故 a7=4，故 a6= = =2故选 B5甲：函数，f（x）是 R 上的单调递增函数；乙：x 1x 2，f（x 1）f（x 2） ，则甲是乙的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条
12、件 D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据函数单调性的定义和性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断【解答】解：根据函数单调性的定义可知，若 f（x）是 R 上的单调递增函数，则x1x 2，f（x 1）f（x 2） ，成立， 命题乙成立若：x 1x 2， f（x 1）f （x 2） ，则不满足函数单调性定义的任意性， 命题甲不成立甲是乙成立的充分不必要条件故选：A6若变量 x，y 满足 ，则 x2+y2 的最大值是（ ）A4 B9 C10 D12【考点】简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，然后结合 x2+y2 的几何意义，即可行域内的动点与原点距离
13、的平方求得 x2+y2 的最大值【解答】解：由约束条件 作出可行域如图，A（0，3） ，C （0，2） ，|OA|OC|，联立 ，解得 B（ 3， 1） ，x 2+y2 的最大值是 10故选：C7已知直线 l，m，平面 ， ，且 l，m ，给出下列四个命题：若 ，则 lm；若 lm，则 ；若 ，则 lm；若 lm，则 其中正确命题的个数是（ ）A0 B1 C2 D3【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系【分析】利用直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系逐一判断，成立的证明，不成立的可举出反例【解答】解；l，l ，又m，lm，正确由 lm 推不出 l，错误当
14、 l， 时，l 可能平行 ，也可能在 内，l 与 m 的位置关系不能判断，错误l，lm，m，又 m ， 故选 C8按照如图所示的程序框图执行，若输出的结果为 15，则 M 处的条件可为（ ）Ak8 Bk8 Ck16 Dk16【考点】程序框图【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加 k 值到 S 并输出 S【解答】解：程序运行过程中，各变量的值如下表示：S k 是否继续循环循环前 0 1/第一圈 1 2 是第二圈 3 4 是第三圈 7 8 是第四圈 15 16 否故退出循环的条件应为 k16故选 D9函数 f（x）=2sin（ x+） （ 0， ）
15、的部分图象如图所示，则 ， 的值分别是（ ）A B C D【考点】y=Asin （x+）中参数的物理意义【分析】根据函数在同一周期内的最大值、最小值对应的 x 值，求出函数的周期T= =，解得 =2由函数当 x= 时取得最大值 2，得到 += +k（kZ） ，取k=0 得到 = 由此即可得到本题的答案【解答】解：在同一周期内，函数在 x= 时取得最大值，x= 时取得最小值，函数的周期 T 满足 = = ，由此可得 T= =，解得 =2，得函数表达式为 f（x）=2sin（2x+）又当 x= 时取得最大值 2，2sin（2 +）=2，可得 += +2k（kZ） ，取 k=0，得 =故选：A10我
16、省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社” 、 “舞者轮滑俱乐部”、 “篮球之家”、 “围棋苑”四个社团若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑” ，则不同的参加方法的种数为（ ）A72 B108 C180 D216【考点】排列、组合的实际应用【分析】根据题意，分析可得，必有 2 人参加同一个社团，分 2 步讨论，首先分析甲，因为甲不参加“围棋苑” ，则其有 3 种情况，再分析其他 4 人，此时分甲单独参加一个社团与甲与另外 1 人参加同一个社团，2 种情况讨论，由加法原理，可得第二步
17、的情况数目，进而由乘法原理，计算可得答案【解答】解：根据题意，分析可得，必有 2 人参加同一个社团，首先分析甲，甲不参加“围棋苑”，则其有 3 种情况，再分析其他 4 人，若甲与另外 1 人参加同一个社团，则有 A44=24 种情况，若甲是 1 个人参加一个社团，则有 C42A33=36 种情况，则除甲外的 4 人有 24+36=60 种情况；故不同的参加方法的种数为 360=180 种；故选 C11已知点 A 是抛物线 y= 的对称轴与准线的交点，点 B 为该抛物线的焦点，点 P 在该抛物线上且满足|PB|=m|PA|，当 m 取最小值时，点 P 恰好在以 A，B 为焦点的双曲线上，则该双曲
18、线的离心率为（ ）A B C D【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质【分析】过 P 作准线的垂线，垂足为 N，则由抛物线的定义，结合|PB|=m |PA|，可得=m，设 PA 的倾斜角为 ，则当 m 取得最小值时，sin 最小，此时直线 PA 与抛物线相切，求出 P 的坐标，利用双曲线的定义，即可求得双曲线的离心率【解答】解：过 P 作准线的垂线，垂足为 N，则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|，|PB| =m|PA|，|PN |=m|PA|，则 =m，设 PA 的倾斜角为 ，则 sin=m，当 m 取得最小值时，sin 最小，此时直线 PA 与抛物线相切，设直线 PA 的方程为 y=
19、kx1，代入 x2=4y，可得 x2=4（kx 1） ，即 x24kx+4=0，=16k 216=0，k=1，P（2，1） ，双曲线的实轴长为|PA| |PB|=2（ 1） ，双曲线的离心率为 = +1故选：C12设函数 f（x）在 R 上存在导数 f（x） ，x R，有 f（ x）+f（x）=2x 2，在（0，+）上 f（x）2x ，若 f（2 m）+4m 4f（m） ，则实数 m 的取值范围为（ ）A1 m1 Bm1 C 2m2 Dm2【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】利用构造法 g（x）=f（x）x 2，推出 g（x）为奇函数，判断 g（x）的单调性，然后推出不等式得到结果【解答】
20、解：f（x）+f（x ）=2x 2，f（x）2x 2+f（x）=0，令 g（x）=f（x）x 2，则 g（x ）+g（ x）=f（ x）x 2+f（x）x 2=0函数 g（x）为奇函数x（0，+）时，g（x） =f（x）2x0，故函数 g（x）在（0，+）上是增函数，故函数 g（x）在（，0）上也是增函数，由 f（0）=0 ，g（0）=0 ，可得 g（x）在 R 上是增函数f（2 m）+4m4f （m）等价于 f（2m）（2m） 2f（m）m 2，即 g（2m）g（m） ，2m m，解得 m1，故选：B二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.请把答案填在答题卡上相应位置.
21、13已知二项式 的展开式中 x2 项的系数为 32，则实数 a= 2 【考点】二项式系数的性质【分析】利用二项式定理的通项公式即可得出【解答】解：二项式 的展开式的通项 Tr+1=C4ra4rx42r，令 42r=2，解得 r=1C 41a3=32，化为：a 3=8，解得 a=2故答案为：214如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 28 【考点】由三视图求面积、体积【分析】由题意可知，该几何体是由圆柱与圆锥组合而成，其表面积等于圆柱+圆锥在减去重叠或者多余的部分【解答】解：由题意可知，该几何体是由圆柱与圆锥组合而成：其表面积等于圆锥侧面积+圆柱侧面+圆柱底面积圆锥
22、S 侧 =rl=8，圆柱侧面+圆柱底面积=42r+r 2=16+4=20，该几何体的表面积为 28故答案为 28152010 年 11 月 12 日广州亚运会上举行升旗仪式如图，在坡度为 15的观礼台上，某一列座位所在直线 AB 与旗杆所在直线 MN 共面，在该列的第一个座位 A 和最后一个座位B 测得旗杆顶端 N 的仰角分别为 60和 30，且座位 A、B 的距离为 米，则旗杆的高度为 30 米【考点】解三角形的实际应用【分析】先画出示意图，根据题意可求得NBA 和BAN，则BNA 可求，然后利用正弦定理求得 AN，最后在 RtAMN 中利用 MN=ANsinNAM 求得答案【解答】解：如图
23、所示，依题意可知NBA=45，BAN=18060 15=105BNA=18045 105=30由正弦定理可知 CEsinEAC=ACsinCEA，AN= =20 米在 RtAMN 中，MN=ANsinNAM=20 =30 米所以：旗杆的高度为 30 米故答案为：3016如果 f（x）的定义域为 R，对于定义域内的任意 x，存在实数 a 使得 f（x+a ）=f（ x）成立，则称此函数具有“P （a）性质”，给出下列命题：函数 y=sinx 具有“P （a ）性质”；若奇函数 y=f（x）具有“ P（2）性质”，且 f（1）=1，则 f 同时具有“ P（0）性质”和“P（ 3）性质” ，则函数
24、y=f（ x）是周期函数；若函数 y=f（x）具有“ P（4）性质”，图象关于点（1，0）成中心对称，且在（1，0）上单调递减，则 y=f（x）在（2， 1）上单调递减，在（1，2）上单调递增；其中正确的是 （写出所有正确命题的编号） 【考点】函数的周期性【分析】由条件：f（x+a）=f（x）成立可得：函数 f（x）的图象关于直线 x= 对称，是轴对称图形，根据正弦函数的对称轴即可判断；由“P（2）性质”得：f（x+2）=f（ x） ，由奇函数的性质推出函数的周期，由周期性求出f 性质” 和“P（3）性质”列出等式，即可求出函数的周期；由“P（4）性质”得 f（x+4）=f（ x） ，则 f（
25、x）关于 x=2 对称，即 f（2x）=f（2+x） ，由偶函数的性质和图象关于点（1，0）成中心对称，即可得到答案【解答】解：若对于定义域内的任意 x，存在实数 a 使得 f（x+a ）=f（ x）成立，则函数 f（x）的图象关于直线 x= 对称，是轴对称图形，函数 y=sinx 的对称轴是 x= ，则具有“P（a）性质” ，正确；若奇函数 y=f（x）具有“ P（2）性质”，则 f（x+2）=f（x）= f（x） ，所以 f（x+4）=f（x） ，函数 f（x）的周期是 4，由 f（1）=1 得，f=f（1）= f（1）=1，不正确；恒为零的函数 y=f（x）同时具有“P（0）性质”和“P
26、 （3）性质” ，f（x）=f（ x） ，f（x+3）=f（ x）=f（x） ，f（x）为偶函数，且周期为 3， 正确；函数 y=f（x）具有“ P（4）性质”，则 f（x+4）=f（x） ，f（x）关于 x=2 对称，即 f（2x）=f（2+x） ，图象关于点（1，0）成中心对称，f（2 x）=f （ x） ，即 f（2+x）=f（x） ，则 f（x）=f（x） ，即 f（x）为偶函数，图象关于点（1，0）成中心对称，且在（1，0）上单调递减，图象也关于点（1，0）成中心对称，且在（ 2，1）上单调递减，根据偶函数的对称得出：在（1，2）上单调递增，正确，故答案为：三、解答题：本大题共 6
27、小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17已知等差数列a n中，a 1=1，a 3=3（）求数列a n的通项公式；（）若数列a n的前 k 项和 Sk=35，求 k 的值【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前 n 项和【分析】 （I）设出等差数列的公差为 d，然后根据首项为 1 和第 3 项等于3，利用等差数列的通项公式即可得到关于 d 的方程，求出方程的解即可得到公差 d 的值，根据首项和公差写出数列的通项公式即可；（II）根据等差数列的通项公式，由首项和公差表示出等差数列的前 k 项和的公式，当其等于35 得到关于 k 的方程，求出方程的解即可得到 k 的值，根据
28、k 为正整数得到满足题意的 k 的值【解答】解：（I）设等差数列 an的公差为 d，则 an=a1+（n 1）d由 a1=1，a 3=3，可得 1+2d=3，解得 d=2，从而，a n=1+（n1）（ 2） =32n；（II）由（I）可知 an=32n，所以 Sn= =2nn2，进而由 Sk=35，可得 2kk2=35，即 k22k35=0，解得 k=7 或 k=5，又 kN+，故 k=7 为所求18已知函数 f（x）=sin（ x）sinx cos2x（1）求 f（x）的单调递增区间；（2）若 x ， ，求 f（x）的值域【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象【分析】 （1）将函数
29、进行化简，结合三角函数的图象和性质即可求函数 f（x）的单调递增区间；（2）根据 x ， 求出 f（x）的范围，结合三角函数的图象和性质，求其范围内的最大值及最小值，即可到得 f（x）的值域【解答】解：f（x）=sin（ x）sinx cos2xf（ x） =sinxcosx （ ）f（ x） = （ ）f（ x） =f（x）= ，（1）y=sinx 的单调递增区间为由 （k Z）解得： ，f（x）的单调递增区间为： （kZ） （2）x ， ，有 ，结合三角函数的图象和性质，可知：当 2x =0 或 时，f（x ）取得最小值，即 当 2x = 时，f（x）取得最大值，即 所以 x ， ，f（x
30、）的值域为 19随着人口老龄化的到来，我国的劳动力人口在不断减少， “延迟退休” 已经成为人们越来越关注的话题，为了了解公众对“延迟退休”的态度，某校课外研究性学习小组对某社区随机抽取了 5 人进行调查，将调查情况进行整理后制成下表：年龄 20，25） 25，30） 30，35） 35，40） 40，45）人数 4 5 8 5 3年龄 45，50） 50，55） 55，60） 60，65） 65，70）人数 6 7 3 5 4年龄在25，30） ，55，60）的被调查者中赞成人数分别是 3 人和 2 人，现从这两组的被调查者中各随机选取 2 人，进行跟踪调查（）求年龄在25，30）的被调查者中
31、选取的 2 人都是赞成的概率；（）求选中的 4 人中，至少有 3 人赞成的概率；（）若选中的 4 人中，不赞成的人数为 X，求随机变量 X 的分布列和数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【分析】 （）利用古典概型的概率公式，求出年龄在25，30）的被调查者中选取的 2 人都是赞成的概率；（）利用古典概型的概率公式，互斥事件的概率公式，求选中的 4 人中，至少有 3 人赞成的概率；（）由已知得 X 的可能取值为 0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X 的分布列和数学期望【解答】解：（） 设“年龄在25，30）的被调查者中选取的 2 人都是赞成”
32、为事件 A，所以 （） 设“选中的 4 人中，至少有 3 人赞成”为事件 B，所以 （）X 的可能取值为 0，1 ，2，3所以 ， ， 所以 X 的分布列是X 0 1 2 3P所以 EX=0 +1 +2 = 20如图，在四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，AB 垂直于 AD 和 BC，平面SAB底面 ABCD，且 SA=SB= ，AD=1，AB=2，BC=3（）求证：平面 SAD平面 SBC；（）求平面 SCD 与底面 ABCD 所成二面角的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定【分析】 （）取 AB 中点 O，连结 SO，以 O 为原点，OA 为 x 轴，过
33、 O 作 BC 的平行线为 y 轴，OS 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面 SAD平面 SBC（）求出平面 SCD 的法向量和平面 ABCD 的法向量，由此能求出平面 SCD 与底面ABCD 所成二面角的余弦值【解答】证明：（）取 AB 中点 O，连结 SO，底面 ABCD 是直角梯形，AB 垂直于 AD 和 BC，平面 SAB底面 ABCD，且 SA=SB=，SO底面 ABCD，以 O 为原点，OA 为 x 轴，过 O 作 BC 的平行线为 y 轴，OS 为 z 轴，建立空间直角坐标系，则 S（0，0，1） ，A（1，0，0） ，D （1，1，0） ，B（ 1，0，0）
34、，C （1，3，0） ，=（1，0， 1） ， =（1，0， 1） ， =（ 1，3，1） ， =（1，1，1） ，设平面 SAD 的法向量 =（x，y，z） ，则 ，取 x=1，得 =（1，0，1） ，设平面 SBC 的法向量 =（a ， b，c） ，则 ，取 a=1，得 =（1，0，1） ，=1+01=0，平面 SAD 平面 SBC解：（）设平面 SCD 的法向量 =（x 1，y 1，z 1） ，则 ，取 y1=1，得 =（1，1，2） ，平面 ABCD 的法向量 =（0，0，1） ，设平面 SCD 与底面 ABCD 所成二面角的平面角为 ，则 cos= = = = 平面 SCD 与底面
35、ABCD 所成二面角的余弦值为 21如图，椭圆 E： + =1（ab0）经过点 A（ 0，1） ，且离心率为 （）求椭圆 E 的方程；（）经过点（1，1） ，且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 P，Q（均异于点 A） ，证明：直线 AP 与 AQ 斜率之和为 2【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】 （）运用离心率公式和 a，b，c 的关系，解方程可得 a，进而得到椭圆方程；（）由题意设直线 PQ 的方程为 y=k（x1）+1（k0） ，代入椭圆方程 +y2=1，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简计算即可得到结论【解答】解：（）由题设知， = ，b=1，结合 a2=b2+c2，解
36、得 a= ，所以 +y2=1；（）证明：由题意设直线 PQ 的方程为 y=k（x1）+1（ k0） ，代入椭圆方程 +y2=1，可得（1+2k 2）x 24k（k 1）x+ 2k（k2）=0，由已知得（1，1）在椭圆外，设 P（x 1，y 1） ，Q（x 2，y 2） ，x 1x20，则 x1+x2= ，x 1x2= ，且=16k 2（k1） 28k（k2） （1+2k 2）0，解得 k0 或 k2则有直线 AP，AQ 的斜率之和为 kAP+kAQ= += + =2k+（2k） （ + ）=2k+（ 2k）=2k+（2 k） =2k2（k1）=2即有直线 AP 与 AQ 斜率之和为 222已知
37、函数 f（x）=x 22x+alnx（aR） （）当 a=2 时，求函数 f（ x）在（1，f （1） ）处的切线方程；（）当 a0 时，求函数 f（x）的单调区间；（）若函数 f（x）有两个极值点 x1，x 2（x 1x 2） ，不等式 f（x 1）mx 2 恒成立，求实数 m 的取值范围【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】 （）求当 a=2 时，函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程；（）求出 f（x）的导数，令 f（x）=0 ，得 2x22x+a=0，对判别式讨论，即当 时，当 时，令导数大于 0，
38、得增区间，令导数小于 0，得减区间；（）函数 f（x）在（0，+）上有两个极值点，由（ ）可得 ，不等式f（x 1）mx 2 恒成立即为 m，求得 =1x1+ +2x1lnx1，令 h（x）=1x+ +2xlnx（0x ） ，求出导数，判断单调性，即可得到 h（x）的范围，即可求得 m 的范围【解答】解：（）当 a=2 时，f（x）=x 22x+2lnx， ，则 f（1）= 1， f（1）=2 ，所以切线方程为 y+1=2（x 1） ，即为 y=2x3（） （x0） ，令 f（x）=0，得 2x22x+a=0，（1）当=4 8a0，即 时，f（x）0，函数 f（x）在（0，+）上单调递增；（2
39、）当=4 8a0 且 a0，即 时，由 2x22x+a=0，得 ，由 f（x）0，得 或 ；由 f（x）0，得 综上，当 时，f（x）的单调递增区间是（ 0，+） ；当 时，f（x）的单调递增区间是 ， ；单调递减区间是 （）函数 f（x）在（0，+）上有两个极值点，由（ ）可得 ，由 f（x）=0，得 2x22x+a=0，则 x1+x2=1， ， ，由 ，可得 ， ，= =1x1+ +2x1lnx1，令 h（x）=1 x+ +2xlnx（ 0x ） ，h（x）=1 +2lnx，由 0x ，则1x 1 ， （x1） 21， 4 1，又 2lnx0，则 h（x）0，即 h（x）在（0， ）递减，即有 h（x）h（ ）= ln2，即 ln2，即有实数 m 的取值范围为（ ， ln22017 年 1 月 6 日
