1、海南中学 2018 届高三第四次月考理科数学（考试用时为 120 分钟，满分分值为 150 分.）注息事项：1.本试卷分第卷（选择题）和第卷(非选择题)两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.2.回答第卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第卷时，将答案写在答题卷上，写在本试卷上无效.第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设复数 ，则 （ ）21izzA B C Dii1
2、i1i2. 已知向量 ，若 ，则实数 的值等于（ ）3,2abck/acbkA B0 C1 D213. 若 ，则 与 的夹角为（ ）2,4,abA B C D633434. 已知数列 为等差数列，其前 项和为 ，若 ，则公差 等于（ ）nannS6,12aSdA1 B C2 D3 55. 已知数列 中， ， （ ） ，则 的值等于（ ）na131nna*N2017aA3 B C D44336. 数列 的通项公式为 ，则数列 的前 项和 （ ）na12nannanSA B C D2114417. 在等比数列 中，首项 ,且 成等差数列, 若数列 的前 项之积为 ,则na35,2ananT的值为（
3、 ）10TA B C D9236210458. 一个等差数列的项数为 ，若 ， ，且32190na2427na，则该数列的公差是（ ）123naA.3 B.-3 C.-2 D.-19. 在 中， ， ， ， 为 边上的高， 为 的中点，若ABC23BC60ADBCOAD，则 的值为（ ）,ORA. B. C. D.233456110. 在 中， ， ，点 满足 ，则 （ ）ABC90,3ACBM2BACMBA2 B3 C D611. 设 的三内角 成等差数列， 成等比数列，则这个三角形的形状A、 、 sinsiAB、 、是（ ）A直角三角形 B.钝角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形1
4、2. 已知函数 的定义域为 ，其导函数为 ，且 ，不等式 的()fx(0,)()fx1()2f1()fx解集为 ，则不等式 的解集为（ ）(0,12ln1xA B C D)(0,)(,)(0,1)第卷本卷包括必考题和选考题两部分第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答第 22题第 23 题为选考题，考生根据要求做答二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13. 数列 的前 项的和 ，则此数列的通项公式 = na231nSna14. 已知数列 中， ，则 的通项公式 n )(,1*Nnannn15. 若等差数列 满足 ， ，则当 时， 的前 项na09870
5、17na和最大.16. 已知向量 满足 ， 所成的角为 ，则当 ，,abc0cbac与,32120时Rt的最小值是 (1)tat三、解答题：本大题共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. （本小题满分 12 分）在 中， 所对的边分别为 向量 ，ABC, ,abcsin,comx，函数 在 处取得最大值cos,innxA fxmnR512x（1）当 时，求函数 的值域；0,2f（2）若 的面积等于 ， ，求 的值ABC1031bca18. （本小题满分 12 分）设数列 的前 项和为 ,且 ，数列 满足nanS12,1nnSanb，点 在直线 上， 1ba),(1nP02y
6、xN（1）求数列 ， 的通项公式；ab（2）设 ，求数列 的前 项和 ncncnT19. （本小题满分 12 分）某校从 6 名学生会干部（其中男生 4 人，女生 2 人）中选 3 人参加青年联合会志愿者.（1）设所选 3 人中女生人数为 ，求 的分布列及数学期望；（2）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率.20.（本小题满分 12 分）如图，四棱锥 中， 底面 , PABCDPABCD, /ABCD为线段 上一点且 .,2,3,3BADCM2M（1）证明： 平面 ;（2）若 , ，求二面角 的正弦值PDBC21. （本小题满分 12 分）对于函数 的定义域为 ，如果存在区间 ，同时
7、满足yfxD,mnD下列条件： 在 上是单调函数；当 的定义域为 时，值域也是 ，则称区间fx,mn,是函数 的“ 区间” ,mnK对于函数 l,0axf a（1）若 ，求函数 在 处的切线方程；f,1e（2）若函数 存在“ 区间” ，求 的取值范围fxKa请考生在第 22、23 两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22. （本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，已知直线 的参数方程为 ( 为参数).以原点 为极点， 轴的xOyl32 1xtyOx非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，
8、直线 与曲线 交于 两点.C2coslC,AB(1)求 的长；AB(2)若点 的极坐标为 ，求 中点 到 的距离 .P1,2ABMP23. （本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲设函数 （ ） 1fxxa0（1）证明： ；2f（2）若 ，求 的取值范围35a海南中学 2018 届高三第四次月考理科数学 参考答案 1、选择题：112：BDCCAB DBADDD二、填空题131415 165,162na132n832三、解答题17 （本小题 12 分）在 中， 所对的边分别为 ，ABC, ,abcsin,comx，函数 在 处取得最大值cos,innx fxmnR512x（1）当 时，求函
9、数 的值域；0,2xfx（2）若 的面积等于 ， ，求 的值ABC1031bca解:（1） sincosinfxxxAsin2x因为函数在 处取得最大值，所以 ，得5125213所以 sin3fx因为 ，所以 ，则函数值域为 0,22,3x3,12（2）由（ 1）知 ，所以由 可得 ，3A1Ssin0bcA40bc又由余弦定理得 ，所以222o()9abca7a18设数列 的前 项和为 ,且 ，数列 满足 ，点 在直线nanS12,1nnSanb1a),(1nbP上， 02yxN（）求数列 ， 的通项公式；nb（）设 ，求数列 的前 项和 。nacncnT解：（）由 可得 ，两式相减得12S
10、12naS又 ,所以 1,3nnna321a故 是首项为 1，公比为 3 的等比数列所以 1n由点 在直线 上，所以 ,nPb20xy1nb则数列 是首项为 1，公差为 2 的等差数列则 12n（）因为 ，所以 13nca0121353n nT则 , 123513n nT两式相减得：112132222133 33nnnnn nT 2113nnnn19某校从 6 名学生会干部（其中男生 4 人，女生 2 人）中选 3 人参加青年联合会志愿者。（1）设所选 3 人中女生人数为 ，求 的分布列及数学期望；（2）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率。解：（1）由题意得 可能取值为 0，1，2
11、；, , .346105CP14365CP124365CP的分布列为：0 1 2P 153515.302E（2）解：设事件 A：男生甲被选中；事件 B：女生乙被选中。则由题意可得 ; , 25361CP14365CPA2| 5PAB故在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为 .220如图，四棱锥 中， 底面 ， ， PABCDPABCD/,2,3,3BADC为 上一点 MC2M（1 ）证明： 平面 ；BMPAD若 ， ，求二面角 的正弦值2AD3BC解：证明：（1）在 上取点 ，使 ，CE2D则 ， ，/DEAB则四边形 是平行四边形，则 ，/BA，所以,PD又 面 面 EPD面2/,M
12、EC，所以,DA又 面 面 /MA面又 ，B,BE面 面所以平面 平面 ， 平面 ， 平面 PBPD（或者在 上取点 ,先证 是平行四边形，再由线线平行得线面平行也可）DFA（2 ） 是正三角形，建立以 为坐标原点的空间直角坐标系如图：ABD则 3,10,30,21PCM所以 D设平面 的法向量为BM,nxyz则由 得 令 则30 ,2nxyz3 ,21,x 3,2yz，则 1,同理得平面 的法向量为 MBC,3,m则 2610cos, ,84nm则二面角 的正弦值DMBC36sin.821对于函数 的定义域为 ，如果存在区间 ，同时满足下列条件：yfxD,mnD 在 上是单调函数；fx,mn
13、当 的定义域为 时，值域也是 ，则称区间 是函数 的“ 区间” ,fxK对于函数 l0,axf a（1）若 ，求函数 在 处的切线方程；f1e（2）若函数 存在“ 区间” ，求 的取值范围fxKa解：（1） 时， ，则 ，1a1ln0,fxfx1fe函数 在 处的切线方程为 ，即 fx,eyexyx（2） ，列表如下102axfxax,0,af0 x减 增 极大值 减设函数 存在“ 区间”是fK,mn（i）当 时，由上表可知 ，0mna两式相减得 ，即 ，nnmnn所以 ，代入 ，得 ，1ma1欲使此关于 的方程组在 时有解，需使 与 的图象有两个交点，,mn0nya210x在 是减函数，在
14、是增函数，且 ，所以此时满足 存21yx0,21,21023,4xxy fx在“ 区间”的 的取值范围是 Ha3,4（ii）当 时，由上表可知， ，即 ，0mnlnam1ln2ma设 ，当 时， ， 为增函数，2l1l,2xxg0,e0gx当 时， ， 为减函数，,e0g欲使此关于 的方程 有两解，需使 与 在 有两个交点，,mn1ln2ma1yaln2x0,a所以有 ，解得 1aeg2ea所以此时满足 存在“ 区间”的 的取值范围是 fxH2,e（iii）当 时，由上表可知， ，两式相减得， ，此式不可能成amnlnamln0am立，所以此时 不存在“ 区间” fx综上所述，函数 存在“ 区
15、间”的 的取值范围是 fHa23,1,4e22在直角坐标系 中，已知直线 的参数方程为 (t 为参数).以原点 为极点， 轴的xOyl2 1xtyOx非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，直线 与曲线 交于 两点.C2coslC,AB(1)求 的长；AB(2)若点 的极坐标为 ，求 中点 到 的距离.P1,2ABMP解：（1）曲线 的直角坐标方程为 ，:cosC21xy将 代入曲线 ，得： ，32 1xty2:1xy240t设 点、 点所对应的参数分别为 ，则 ，AB12t、 1212,tt；21145tt（2）点 对应的直角坐标为 在直线 上， 中点 对应的参数为 ，,P0,1lABM12t所以 点坐标为 ，点 到点 的距离为 M3,2MP1d23 【选修 4-5：不等式选讲】设函数 （ ） 1fxxa0（1）证明： ；2f（2）若 ，求 的取值范围35a解：（）证明： 11()| 2fxxaxa （）解： 1(3)|3|5fa11|2|3|a13220,aa，解得， 51212a
