1、2016-2017 学年北京市石景山区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知集合 A=2，1，0，1，2，B=x|0 x1 ，那么 AB 等于（ ）A0 B1 C0，1 D0，12若 ，则|z |=（ ）A2 B3 C4 D53执行如图所示的程序框图，输出的 k 值是（ ）A5 B3 C9 D74下列函数中既是奇函数又在区间（0，+）上单调递减的是（ ）Ay=e xBy=ln（x） Cy=x 3 D5由直线 xy+1=0，x+y 5=0 和 x1=0 所围成的三角形区域（包括边界）用不等式组可表示
2、为（ ）A BC D6一个几何体的三视图如图所示已知这个几何体的体积为 8，则 h=（ ）A1 B2 C3 D67将函数 y=（x3） 2 图象上的点 P（t， （t 3） 2）向左平移 m（m0）个单位长度得到点Q若 Q 位于函数 y=x2 的图象上，则以下说法正确的是（ ）A当 t=2 时， m 的最小值为 3 B当 t=3 时，m 一定为 3C当 t=4 时，m 的最大值为 3 DtR ，m 一定为 38六名同学 A、B、C 、D、E 、F 举行象棋比赛，采取单循环赛制，即参加比赛的每两个人之间仅赛一局第一天，A、B 各参加了 3 局比赛，C、D 各参加了 4 局比赛，E 参加了 2 局
3、比赛，且 A 与 C 没有比赛过，B 与 D 也没有比赛过那么 F 在第一天参加的比赛局数为（ ）A1 B2 C3 D4二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9在（x3） 7 的展开式中，x 5 的系数是 （结果用数值表示） 10已知ABC 中，AB= ，BC=1，sinC= cosC，则ABC 的面积为 11若双曲线 的渐近线方程为 ，则双曲线的焦点坐标是 12等差数列a n中，a 1=2，公差不为零，且 a1，a 3，a 11 恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于 13有以下 4 个条件： ；| |=| |； 与 的方向相反； 与 都是单位向量其中 的充分不必
4、要条件有 （填正确的序号） 14已知函数 ，方程 f（x ）=x 有 个根；若方程 f（x）=ax 恰有两个不同实数根，则实数 a 的取值范围是 三、解答题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15已知函数 cos2x（）求 f（x）的最小正周期；（）求 f（x）在 上的最大值162016 年微信用户数量统计显示，微信注册用户数量已经突破 9.27 亿微信用户平均年龄只有 26 岁，97.7% 的用户在 50 岁以下，86.2% 的用户在 1836 岁之间为调查大学生这个微信用户群体中每人拥有微信群的数量，现从北京市大学生中随机抽取 100 位同学进行了抽样调查，结果
5、如下：微信群数量 频数 频率0 至 5 个 0 06 至 10 个 30 0.311 至 15 个 30 0.316 至 20 个 a c20 个以上 5 b合计 100 1（）求 a，b，c 的值；（）若从这 100 位同学中随机抽取 2 人，求这 2 人中恰有 1 人微信群个数超过 15 个的概率；（）以这 100 个人的样本数据估计北京市的总体数据且以频率估计概率，若从全市大学生中随机抽取 3 人，记 X 表示抽到的是微信群个数超过 15 个的人数，求 X 的分布列和数学期望EX17如图 1，等腰梯形 BCDP 中，BCPD，BA PD 于点 A，PD=3BC，且 AB=BC=1沿 AB
6、 把PAB 折起到PAB 的位置（如图 2） ，使PAD=90 （）求证：CD平面 PAC；（）求二面角 APDC 的余弦值；（）线段 PA 上是否存在点 M，使得 BM平面 PCD若存在，指出点 M 的位置并证明；若不存在，请说明理由18已知椭圆 的离心率为 ，点（2，0）在椭圆 C 上（）求椭圆 C 的标准方程；（）过点 P（1，0）的直线（不与坐标轴垂直）与椭圆交于 A、B 两点，设点 B 关于 x 轴的对称点为 B直线 AB与 x 轴的交点 Q 是否为定点？请说明理由19已知函数 ，g（x）=x 2eax（a0 ） （）求函数 f（x）的单调区间；（）若对任意 x1，x 20，2，f（
7、x 1）g（x 2）恒成立，求 a 的取值范围20集合 M 的若干个子集的集合称为集合 M 的一个子集族对于集合 1，2，3n的一个子集族 D 满足如下条件：若 AD，BA ，则 BD，则称子集族 D 是“向下封闭” 的（）写出一个含有集合1，2的“向下封闭”的子集族 D 并计算此时 的值（其中|A|表示集合 A 中元素的个数，约定|=0； 表示对子集族 D 中所有成员 A 求和） ；（）D 是集合 1，2，3n的任一“ 向下封闭的” 子集族，对 AD，记 k=max|A|，（其中 max 表示最大值） ，（）求 f（2） ；（）若 k 是偶数，求 f（k） 2016-2017 学年北京市石景
8、山区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知集合 A=2，1，0，1，2，B=x|0 x1 ，那么 AB 等于（ ）A0 B1 C0，1 D0，1【考点】交集及其运算【分析】由 A 与 B，求出两集合的交集即可【解答】解：A=2，1，0，1，2，B=x|0x1，AB=0，1，故选：C2若 ，则|z |=（ ）A2 B3 C4 D5【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数 z，再由复数求模公式计算得答案【解答】解： = ，则|z|= 故选：D3执行
9、如图所示的程序框图，输出的 k 值是（ ）A5 B3 C9 D7【考点】程序框图【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的 k，a ，b 的值，可得当 a=32，b=25 时满足条件 ab，退出循环，输出 k 的值为 5【解答】解：模拟程序的运行，可得k=1，k=3，a=8，b=9不满足条件 ab，执行循环体， k=5，a=32，b=25满足条件 ab，退出循环，输出 k 的值为 5故选：A4下列函数中既是奇函数又在区间（0，+）上单调递减的是（ ）Ay=e xBy=ln（x） Cy=x 3 D【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断【分析】对选项根据函数的奇偶性和单调性，一一加以
10、判断，即可得到既是奇函数，又在（0，+）上单调递减的函数【解答】解：由于函数 y=ex 是减函数，但不是奇函数，故不满足条件由于函数 y=ln（x）不是奇函数，在（ 0，+）上单调递减，故不满足条件由于函数 y=x3 是奇函数，且在（0，+）上单调递增，故不满足条件由于函数 y= 是奇函数，且在（0，+）上单调递减，故满足条件，故选 D5由直线 xy+1=0，x+y 5=0 和 x1=0 所围成的三角形区域（包括边界）用不等式组可表示为（ ）A BC D【考点】简单线性规划【分析】作出对应的平面区域，根据二元一次不等式组与平面之间的关系即可得到结论【解答】解：作出对应的平面区域，则三角形区域在
11、直线 x=1 的右侧，x1，在 xy+1=0 的上方，则 xy+10，在 x+y5=0 的下方，则 x+y50，则用不等式组表示为 ，故选：A6一个几何体的三视图如图所示已知这个几何体的体积为 8，则 h=（ ）A1 B2 C3 D6【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，代入棱锥体积公式，可构造关于 h 的方程，解得答案【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其底面是一个长，宽分别为 3，4 的矩形，故底面面积 S=34=12，高为 h，故这个几何体的体积为 V= 12h=8，解得：h
12、=2，故选：B7将函数 y=（x3） 2 图象上的点 P（t， （t 3） 2）向左平移 m（m0）个单位长度得到点Q若 Q 位于函数 y=x2 的图象上，则以下说法正确的是（ ）A当 t=2 时， m 的最小值为 3 B当 t=3 时，m 一定为 3C当 t=4 时，m 的最大值为 3 DtR ，m 一定为 3【考点】函数的图象与图象变化【分析】函数 y=（x 3） 2 图象上，向左平移 3 个单位得到函数 y=x2 的图象，即可得出结论【解答】解：函数 y=（x 3） 2 图象上，向左平移 3 个单位得到函数 y=x2 的图象，t R，m 一定为 3，故选 D8六名同学 A、B、C 、D、
13、E 、F 举行象棋比赛，采取单循环赛制，即参加比赛的每两个人之间仅赛一局第一天，A、B 各参加了 3 局比赛，C、D 各参加了 4 局比赛，E 参加了 2 局比赛，且 A 与 C 没有比赛过，B 与 D 也没有比赛过那么 F 在第一天参加的比赛局数为（ ）A1 B2 C3 D4【考点】排列、组合及简单计数问题【分析】从 A、B 各参加了 3 局比赛，C、D 各参加了 4 局比赛，E 参加了 2 局比赛，且 A 与C 没有比赛过，B 与 D 也没有比赛过这个已知条件入手，进而可一步一步推得每个人分别与那几个人下了几局，最后即可得出 F 最终下了几局【解答】解：由于 A、B 各参加了 3 局比赛，
14、C、D 各参加了 4 局比赛，E 参加了 2 局比赛，且 A 与 C 没有比赛过，B 与 D 也没有比赛过，所以与 D 赛过的是 A、C、E、F 四人；与 C 赛过的是 B、D 、E、 F 四人；又因为 E 只赛了两局，A 与 B 各赛了 3 局，所以与 A 赛过的是 D、B、F；而与 B 赛过的是 A、C 、F ；所以 F 共赛了 4 局故选 D二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9在（x3） 7 的展开式中，x 5 的系数是 189 （结果用数值表示） 【考点】二项式系数的性质【分析】利用二项式定理展开式的通项公式，使得 x 的次数为 5，然后求出 x5 项的系数【解答】解
15、：因为（x3） 7 的展开式的通项公式为：T r+1=C7rx7r（ 3） r，当 r=2 时，T3=C72x5（3） 2=189x5所以（x3） 7 的展开式中，x 5 项的系数为：189 故答案为：18910已知ABC 中，AB= ，BC=1，sinC= cosC，则ABC 的面积为 【考点】正弦定理；三角形的面积公式【分析】由已知及 tanC= 可求 tanC，进而可求 C，然后由余弦定理可得，可求 AC，代入 可求【解答】解：sinC= cosC，tanC= =C （0，）AB= ，BC=1，由余弦定理可得， =AC=2， = =故答案为：11若双曲线 的渐近线方程为 ，则双曲线的焦点
16、坐标是 【考点】双曲线的简单性质【分析】由题意知 ，m=3由此可以求出双曲线的焦点坐标【解答】解：由题意知 ，m=3c 2=4+3=7，双曲线的焦点坐标是 （ ） 故答案：（ ） 12等差数列a n中，a 1=2，公差不为零，且 a1，a 3，a 11 恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于 4 【考点】等比数列的性质【分析】设 a1，a 3，a 11 成等比，公比为 q，则可用 q 分别表示 a3 和 a11，代入a11=a1+5（a 3a1）中进而求得 q【解答】解：设 a1，a 3，a 11 成等比，公比为 q，则 a3=a1q=2q，a 11=a1q2=2q2又a n是等
17、差数列， a 11=a1+5（a 3a1） ，q=4故答案为 413有以下 4 个条件： ；| |=| |； 与 的方向相反； 与 都是单位向量其中 的充分不必要条件有 （填正确的序号） 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平行向量与共线向量【分析】根据共线向量的定义判断即可【解答】解：若 = ；则 ，但反之不一定成立，若 与 的方向相反；则 ，但反之不一定成立，由此知 为 的充分不必要条件；故答案为：14已知函数 ，方程 f（x ）=x 有 1 个根；若方程 f（x）=ax 恰有两个不同实数根，则实数 a 的取值范围是 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；根的存在性及根的个数判断
18、【分析】画出函数的图形，即可得到解的个数；由题意，方程 f（x）=ax 恰有两个不同实数根，等价于 y=f（x）与 y=ax 有 2 个交点，又 a表示直线 y=ax 的斜率，求出 a 的取值范围【解答】解：函数 ，与 y=x 的图象如图：可知方程 f（x）=x 有 1 个根函数 ，方程 f（x ）=ax 恰有两个不同实数根，y=f（x）与 y=ax 有 2 个交点，又a 表示直线 y=ax 的斜率，y= ，设切点为（x 0，y 0） ，k= ，切线方程为 yy0= （x x0） ，而切线过原点，y 0=1， x0=e，k= ，直线 l1 的斜率为 ，又直线 l2 与 y= x+1 平行，直线
19、 l2 的斜率为 ，实数 a 的取值范围是 ， ）故答案为：1， 三、解答题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15已知函数 cos2x（）求 f（x）的最小正周期；（）求 f（x）在 上的最大值【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法【分析】 （1）根据三角函数的辅助角公式进行化简结合三角函数的性质进行求解即可（2）求出角的范围结合三角函数的单调性和最值之间的关系进行求解即可【解答】解：（） = = ，因此 f（ x）的最小正周期为 （）当 时， ，当 ， 有最大值 1即 时， f（x ）的最大值为 2162016 年微信用户数量统计显示，微信注
20、册用户数量已经突破 9.27 亿微信用户平均年龄只有 26 岁，97.7% 的用户在 50 岁以下，86.2% 的用户在 1836 岁之间为调查大学生这个微信用户群体中每人拥有微信群的数量，现从北京市大学生中随机抽取 100 位同学进行了抽样调查，结果如下：微信群数量 频数 频率0 至 5 个 0 06 至 10 个 30 0.311 至 15 个 30 0.316 至 20 个 a c20 个以上 5 b合计 100 1（）求 a，b，c 的值；（）若从这 100 位同学中随机抽取 2 人，求这 2 人中恰有 1 人微信群个数超过 15 个的概率；（）以这 100 个人的样本数据估计北京市的
21、总体数据且以频率估计概率，若从全市大学生中随机抽取 3 人，记 X 表示抽到的是微信群个数超过 15 个的人数，求 X 的分布列和数学期望EX【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列【分析】 （）由频率分布列的性质及 ，能求出 a，b，c 的值（）记“2 人中恰有 1 人微信群个数超过 15 个”为事件 A，利用等可能事件概率计算公式能求出 2 人中恰有 1 人微信群个数超过 15 个的概率（）依题意可知，微信群个数超过 15 个的概率为 X 的所有可能取值 0，1，2，3，由此能求出 X 的分布列和数学期望 EX【解答】 （本小题共
22、13 分）解：（）由已知得：0+30+30+a+5=100 ，解得 a=35， ， （）记“2 人中恰有 1 人微信群个数超过 15 个”为事件 A，则 所以，2 人中恰有 1 人微信群个数超过 15 个的概率为 （）依题意可知，微信群个数超过 15 个的概率为 X 的所有可能取值 0，1，2，3则 ，其分布列如下：X 0 1 2 3P所以， 17如图 1，等腰梯形 BCDP 中，BCPD，BA PD 于点 A，PD=3BC，且 AB=BC=1沿 AB 把PAB 折起到PAB 的位置（如图 2） ，使PAD=90 （）求证：CD平面 PAC；（）求二面角 APDC 的余弦值；（）线段 PA 上
23、是否存在点 M，使得 BM平面 PCD若存在，指出点 M 的位置并证明；若不存在，请说明理由【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定【分析】 （）推导出 PAAD，ABAP，从而 PA面 ABCD，进而 PACD ，再推导出ACCD，由此能求出 CD 平面 PAC（）推导出 PA面 ABCD，AB AD ，从而建立空间直角坐标系，求出平面 PAD 的法向量和平面 PCD 的一个法向量，利用向量法能求出二面角 APDC 的余弦值（）设 ，利用向量法能求出线段 PA 上存在点 M，使得 BM平面 PCD【解答】 （本小题共 14 分）证明：（）因为PAD=90，所以 PAAD因为在等腰梯
24、形中，AB AP，所以在四棱锥中，ABAP 又 ADAB=A，所以 PA面 ABCD因为 CD面 ABCD，所以 PACD因为等腰梯形 BCDE 中，AB BC，PD=3BC ，且 AB=BC=1所以 ， ，AD=2所以 AC2+CD2=AD2所以 ACCD因为 PAAC=A，所以 CD平面 PAC 解：（）由（）知，PA面 ABCD，AB AD ，如图，建立空间直角坐标系，A（0，0，0） ，B （1，0，0） ，C（ 1，1，0） ，D（0，2， 0） ，P（0，0，1） 所以 ， 由（）知，平面 PAD 的法向量为 ，设 为平面 PCD 的一个法向量，则 ，即 ，再令 y=1，得 = =
25、 所以二面角 APDC 的余弦值为 （）线段 PA 上存在点 M，使得 BM平面 PCD依题意可设 ，其中 0 1所以 M（0，0， ） ， 由（）知，平面 PCD 的一个法向量 因为 BM平面 PCD，所以 ，所以 ，解得 所以，线段 PA 上存在点 M，使得 BM平面 PCD18已知椭圆 的离心率为 ，点（2，0）在椭圆 C 上（）求椭圆 C 的标准方程；（）过点 P（1，0）的直线（不与坐标轴垂直）与椭圆交于 A、B 两点，设点 B 关于 x 轴的对称点为 B直线 AB与 x 轴的交点 Q 是否为定点？请说明理由【考点】椭圆的简单性质【分析】 （）由点（2，0）在椭圆 C 上，可得 a=
26、2，又 ，b= ，解出即可得出（）设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，B（x 2，y 2） ，Q （n ，0） 设直线 AB：y=k（x1）（k0） 与椭圆方程联立得：（1+4k 2）x 28k2x+4k24=0直线 AB的方程为，令 y=0，解得 n，又 y1=k（x 11） ，y 2=k（x 21） ，再利用根与系数的关系即可得出【解答】解：（）因为点（2，0）在椭圆 C 上，所以 a=2又因为 ，所以 所以 所以椭圆 C 的标准方程为： （）设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，B（x 2，y 2） ，Q （n ，0） 设直线 AB：y=k（x1） （k0）
27、 联立 y=k（x 1）和 x2+4y24=0，得：（1+4k 2）x 28k2x+4k24=0所以 ， 直线 AB的方程为 ，令 y=0，解得 又 y1=k（x 11） ，y 2=k（x 21） ，所以 所以直线 AB与 x 轴的交点 Q 是定点，坐标为 Q（4，0） 19已知函数 ，g（x）=x 2eax（a0 ） （）求函数 f（x）的单调区间；（）若对任意 x1，x 20，2，f（x 1）g（x 2）恒成立，求 a 的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】 （）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（）问题等价于“ 对于任
28、意 x0，2，f（x） ming （x ） max 成立”，根据函数的单调性求出a 的范围即可【解答】解：（）函数 f（x ）的定义域为 R， 当 x 变化时，f （x） ，f （x ）的变化情况如下表：x （，1）（1，1）（1 ，+）f（x） + f（x ） 所以，函数 f（x）的单调递增区间是（ 1，1） ，单调递减区间是（，1） ， （1，+） （）依题意， “对于任意 x1，x 20，2，f（x 1） g（x 2）恒成立”等价于“对于任意 x0， 2，f（x） ming （x ） max 成立”由（）知，函数 f（x）在 0，1上单调递增，在1，2上单调递减，因为 f（ 0）=1，
29、，所以函数 f（x）的最小值为 f（0）=1所以应满足 g（x） max1 因为 g（x ）=x 2eax，所以 g（x ）=（ax 2+2x）e ax因为 a0，令 g（x）=0 得，x 1=0， （）当 ，即1 a0 时，在0，2上 g（x）0，所以函数 g（x）在0，2上单调递增，所以函数 由 4e2a1 得，a ln2 ，所以1a ln2 （）当 ，即 a1 时，在 上 g（x ）0，在 上 g（x）0，所以函数 g（ x）在 上单调递增，在 上单调递减，所以 由 得， ，所以 a1 综上所述，a 的取值范围是（， ln2 20集合 M 的若干个子集的集合称为集合 M 的一个子集族对于
30、集合 1，2，3n的一个子集族 D 满足如下条件：若 AD，BA ，则 BD，则称子集族 D 是“向下封闭” 的（）写出一个含有集合1，2的“向下封闭”的子集族 D 并计算此时 的值（其中|A|表示集合 A 中元素的个数，约定|=0； 表示对子集族 D 中所有成员 A 求和） ；（）D 是集合 1，2，3n的任一“ 向下封闭的” 子集族，对 AD，记 k=max|A|，（其中 max 表示最大值） ，（）求 f（2） ；（）若 k 是偶数，求 f（k） 【考点】子集与真子集【分析】 （）求出含有集合1，2的“向下封闭”的子集族 D，并计算此时 的值；（）设1，2，3n的所有不超过 k 个元素的
31、子集族为 Dk，（）易知当 D=D2 时， 达到最大值，求出 f（2）的值即可；（）设 D 是使得 k=max|A|的任一个“向下封闭”的子集族，记 D=DD ，其中 D为不超过k2 元的子集族， D为 k1 元或 k 元的子集，则求出 ，设 D有 l（ ）个1，2 ，3n 的 k 元子集，由于一个 k1 元子集至多出现在 nk+1 个1，2，3n的 k 元子集中，而一个 k 元子集中有 个 k1 元子集，故 l 个 k 元子集至少产生 个不同的 k1 元子集，求出 f（k ）即可【解答】解：（）含有集合1，2的“向下封闭”的子集族 D=，1，2，1，2此时 （）设1，2，3n的所有不超过 k 个元素的子集族为 Dk，（）易知当 D=D2 时， 达到最大值， （）设 D 是使得 k=max|A|的任一个“向下封闭”的子集族，记 D=DD ，其中 D为不超过k2 元的子集族， D为 k1 元或 k 元的子集，则 = 8 分现设 D有 l（ ）个 1，2，3n的 k 元子集，由于一个 k1 元子集至多出现在 nk+1 个1 ，2，3n的 k 元子集中，而一个 k 元子集中有 个 k1 元子集，故 l 个 k元子集至少产生 个不同的 k1 元子集由（）得 2017 年 2 月 10 日
