1、2016 届上海市金山中学高三上学期期中考试数学试题（word 版）（考试时间：120 分钟 满分：150 分 ）一、填空题（本大题满分 56 分）本大题共有 14 题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分。1已知全集 2,1Ua， 1,2Aa，且 7UA，则实数 a_。32 若 01a，则关于 x的不等式 ()0x的解集是_。 1(,)3已知命题 p的否命题是“若 B，则 UUB”，写出命题 p的逆否命题是_。若 A，则 AB。4已知幂函数 ()fx过点 2,)，则 ()fx的反函数为 1()fx_。 2(0)x5已知 1arcsinf，则 2
2、1f_。06在平面直角坐标系 xOy中，以 轴为始边作锐角 ，它的终边与单位圆相交于点 A，且点 的横坐标为 13，则 ta()2的值为 _。- 37对于集合 M，定义函数 1(Mxf， ；对于两个集合 A、 B，定义集合|()ABxfx。已知 2,46810A， ,2481，则用列举法写出集合的结果为 _。 1,608要得到函数 sincoyx的图像，可以由函数 sincoyx的图像向左平移得到，则平移的最短长度为_。 29若函数 2 (0)()4sinxf，则集合 lg|(|)2|xxf中的元素个数是_。510已知 cba,分别为 ABC三个内角 ,的对边， a，且bcsi)(si(2，则
3、 ABC面积的最大值为_。 311设 a为实常数， yfx是定义在 R 上的奇函数，当 0x时，2()97afx，若()1fx对一切 0成立，则 a的取值范围为_。 87a12已知不等式组215372xa有唯一解，则实数 a_。 313求 “方程 34()15x的解”有如下解题思路：设函数 4()()5xf，则函数 ()fx在 R上单调递减，且 2f，所以原方程有唯一解 x。类比上述解题思路，方程63()xx的解集为_。 1,314已知函数 cos(in)si(co)fabx没有零点，则 2ab的取值范围是_ 。 20,4二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正
4、确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分。15若集合中三个元素为边可构成一个三角形，则该三角形一定不可能是 （ D ）（A）锐角三角形 （B ）直角三角形 （C）钝角三角形 （D）等腰三角形16 若 a和 b均为非零实数，则下列不等式中恒成立的是 （ A ）（A） 22)(（B） 2ba（C ） 41)(ba （D ） |17在 B中，角 CA、 的对边分别是 ca、 ，则 a是 BAcos的 （ C ）（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件（C ）充分且必要条件 （D）不充分也不必要条件18给出下列六个命题：（1 ）若 )1()(xfx
5、f，则函数 )(xf的图像关于直线 1x对称。（2 ） y与 y的图像关于直线 0对称。（3 ） )3(xf的反函数与 )3(1xf是相同的函数。（4 ） 205sin21y无最大值也无最小值。（5 ） xta的周期为 。（6 ） )0(siny有对称轴两条，对称中心三个。则正确命题的个数是 （ A ） （A）1 个 （B）2 个 （C ）3 个 （D）4 个三、解答题（本大题满分 74 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。19 （本题满分 12 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 6 分。已知不等式 230xt
6、的解集为 |,xmR。（1 ）求 ,tm的值；（2 ）若 24fa在 (,)上递增，求实数 a 的取值范围。解：（1）由条件得： t13，所以 2t。（2 ）因为 2()+4afx在 (1,)上递增， 所以 2a1 ，a2。20 （本题满分 12 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 8 分。设全集 UR，关于 x的不等式 20a（ R）的解集为 A。（1 ）求集合 A；（2 ）设集合 3sin()cos()66Bxx，若 ()UB中有且只有三个元素，求实数a的取值范围。解：（1）由 20xa可以得到： 2xa。当 时，解集是 R；当 时，解集是 4x或 。（2
7、 ） (i)当 时， UA，不合题意；(ii)当 2a时， 4xa。因 3sin)cos()66xxsin2，由 0，得 Zk，即 Zk，所以 B。当 ()UAB有 3 个元素时， a就满足243,10a可以得到 1a。21 （本题满分 16 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 8 分，第 2 小题满分 8 分。已知函数 22()cossinco+3fxx。（1 ）求函数 ()f的最小正周期和单调递增区间；（2 ）若存在 ,123t满足 2()()0ftftm，求实数 的取值范围。解（1） 22()cosinsico+fxxx3cos2in+i6，函数 ()fx的最小正周期 T。 由
8、26kxk（ Z） ，得 3kk（ Z） ，单调递增区间为 ,3（ ） 。（2 ）当 ,123t时， 0,62t， ()sin2+2,16ftt6 分()(),1Fffft。存在 ,123t满足 0Ftm的实数 的取值范围为 ,。22 （本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 6 分。设函数 1)(xg，函数 )(xh， ,3(a，其中 为常数，且 0a。令函数 )(xf为函数 )(x与 h的积。（1 ）求函数 )(f的表达式，并求其定义域； （2 ）当 4a时，求函数 )(xf的值域；（3 ）是否存在自然数 a，使得函数 )(f的值
9、域恰为 21,3？若存在，试写出所有满足条件的自然数 a所构成的集合；若不存在，试说明理由。解：（1）由条件，函数 31)(xf，因为 )(xg的定义域为 ),0，故 )(xf的定义域为 )0(,a。（2 ）令 tx1，则有 2,2tt，得 241()ttFf 。当 t4时， 23,1t。所以 23,t时， t4递减，于是函数 )(t单调递增。所以， 136,)(tF。（3 ）假设存在这样的自然数 a，满足条件。令 tx1，代换可得 24ttxf 。因为 )(xf的定义域为 ,0，则有 ,at。要满足值域为 21,3，则要满足 21)(mxF。由于当且仅当 t4等号成立，此时 t恰好取得最大值
10、，则由 1,2at，故 12a。又 )(tF在区间 2,t上是减函数，在区间 1,2at上是增函数，由于 3， 31)(a。则有 3a，由于 0，得 91a。故满足条件的所有自然数 的集合为 9,876,54,2。23 （本题满分 18 分）第 1 小题满分为 4 分，第 2 小题满分为 7 分，第 3 小题满分为 7 分。已知函数 2()(,0)fxaRx。（1 ）设 0mn，判断函数 )f在 mn上的单调性，并加以证明；（2 ）设 且 时， (的定义域和值域都是 ,mn，求 的最大值；（3 ）若不等式 2|()|afx对 1恒成立，求实数 a的取值范围。解：（1）设 12mn，则 1212
11、21()xfxfx。0n， 12x， 1220,。12()ff，即 ()ffx函数 x在 ,m上的单调递增 。（2 ） 由及 ()f的定义域和值域都是 ,n，得 (),()fmfn。因此 ,n是方程 21xa的两个不相等的正数根。等价于方程 2()0x有两个不等的正数根，即：22120()40axa1a。 212234163()nmxa，(,)a， 时， max4n。（3 ） 221()(0)afxax，则不等式 2|()|afx对 1恒成立，即 21xax， 21ax，对 1恒成立。令 1()2()hxx， (2()gx，易知： 在 ,递增，同理 1在 ,)递减。minmax()(1)3)()x。201a,0,12。
