1、2018 届河南省洛阳市高三年级第一次统考数学理试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集 UR，集合 2log1Ax， 20Bx，则 UACB（ ）A (0,1 B (, C (0,) D ,2.若 2miin（ mRi是虚数单位） ，则 nm等于（ ）A3 B2 C0 D-13.若函数同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美丽数”：（1）对 xR，都有 0fxf；（2）对 12,，且 12，都有 12()0xf sinfx； 3fx； f； 2ln(1)fxx以上四个函数中， “优
2、美函数”的个数是（ ）A0 B1 C2 D3 4.已知向量 ,am， ,6b，若 |ab，则实数 m的值是（ ）A-4 B-1 C. 1 D45.已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（ ）A求首项为 1，公差为 2 的等差数列前 2017 项和 B求首项为 1，公差为 2 的等差数列前 2018 项和 C. 求首项为 1，公差为 4 的等差数列前 1009 项和 D求首项为 1，公差为 4 的等差数列前 1010 项和6.设 ,xy满足约束条件301xy，则 2zxy的最小值与最大值的和为（ ）A7 B8 C. 13 D147.已知函数 sin3cosfxxR，先将 yfx的图象上所
3、有点的横坐标缩短到原来的13（纵坐标不变） ，再将得到的图象上所有点向右平移 0个单位长度，得到的图象关于 y轴对称，则 的最小值为（ ）A 9 B 3 C. 518 D 238.一个几何体的三视图如图所示，图中的三个正方形的边长均为 2，则该几何体的体积为（ ）A 283 B 43 C. 83 D 2439.若 0sinaxd，则二项式 61()ax的展开式中的常数项为（ ）A-15 B15 C. -240 D24010.在 C中，角 ,A的对边分别为 ,bc，若 ,a成等比数列，且 2acb，则sincb（ ）A 32 B 23 C. 3 D 311.已知 F是抛物线 21:0Cypx的焦
4、点，曲线 2C是以 F为圆心，以 2p为半径的圆，直线430xyp与曲线 2,从上到下依次相交于点 ,AB，则 |（ ）A16 B4 C. 83 D 512.已知函数 fx满足 11fxffxR，且当 01x时， 21xf，则方程 |cos()|(0xf在 1,3上的所有根之和为（ ）A8 B9 C. 10 D11第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知 sinco2，则 cos4 14.某校有 4 个社团向高一学生招收新成员，现有 3 名同学，每人只选报 1 个社团，恰有 2 个社团没有同学选报的报法数有 种（用数字作答） 15.在半径为
5、4 的球面上有不同的四点 ,ABCD，若 4AD，则平面 BC被球所截得图形的面积为 16.已知 12,F为双曲线2:1(0,)xyCab的左、右焦点， 0(,)Pxy是双曲线 右支上的一点，连接 1P并过 作垂直于 1PF的直线交双曲线左支于 ,RQ，其中 0,， 1QFPA为等腰三角形则双曲线 的离心率为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知各项均不为零的数列 na的前 项和为 nS，且对任意 N，满足 1()3nnSa（1）求数列 na的通项公式；（2）设数列 b满足 2lognn，数列 nb的前 项和为 nT，求证： 8
6、9n18.甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪 80 元，每单抽成 4 元；乙公司无底薪，40 单以内（含 40 单）的部分每单抽成 6 元，超出 40 单的部分每单抽成 7 元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其 50 天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表送餐单数 38 39 40 41 42天数 10 15 10 10 5乙公司送餐员送餐单数频数表送餐单数 38 39 40 41 42天数 5 10 10 20 5（1）现从甲公司记录的 50 天中随机抽取 3 天，求这 3 天送餐单数都不小于 40
7、 的概率；（2）若将频率视为概率，回答下列两个问题：记乙公司送餐员日工资为 X（单位：元） ，求 X的分布列和数学期望；小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由19.如图，在四棱锥 PABCD中， ,EF分别是 ,PCD的中点，底面 ABCD是边长为 2 的正方形，2PAD，且平面 平面 （1）求证：平面 AEF平面 PCD；（2）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值 20.已知短轴长为 2 的椭圆2:1(0)xyab，直线 n的横、纵截距分别为 ,1a，且原点到直线n的距离为 3（1）求椭圆 E的方程；（2）直线
8、l经过椭圆的右焦点 2F且与椭圆 E交于 ,AB两点，若椭圆 E上存在一点 C满足320OABC，求直线 l的方程21.已知函数 lnmxf， 21()()agxf（ ,mnR） ，且曲线 yfx在点(1,)f处的切线方程为 1y（1）求实数 ,n的值及函数 fx的最大值；（2）当 1()ae时，记函数 g的最小值为 b，求 的取值范围请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy中，曲线 1C的参数方程为 xtym（ t为参数， R） ，以原点 O为极点， x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C的极坐标
9、方程为 2230cos（1）写出曲线 1C的普通方程和曲线 的直角坐标方程；（2）已知点 P是曲线 2上一点，若点 P到曲线 1的最小距离为 ，求 m的值23.选修 4-5：不等式选讲已知函数 1|3fxaR.（1）当 2a时，解不等式 1|3xf；（2）设不等式 |xf的解集为 M，若 1,32，求实数 a的取值范围试卷答案一、选择题1-5: CABDC 6-10: DCADB 11、12：AD二、填空题13. 78 14. 36 15. 12 16. 102三、解答题17.（1）当 n时， 2111()33aSaa， 10a， 14. ()3nS，当 2n时， 114(a)3nnS，两式相
10、减得 1a4n，数列 a是首项为 4，公比为 4 的等比数列， n.（2） 2lognnb， nb， 13644T ，241+n n，两式相减得 2341324n nT 234112()44n11()nA1168nnAA. 8694nnT.18.（1）记抽取的 3 天送餐单数都不小于 40 为事件 M，则 2530()16CPM.（2）设乙公司送餐员送餐单数为 a，则当 8a时， 28X，当 39时， 6234X，当 0a时，406，当 1时， 406174，当 2a时， 075.所以 的所有可能取值为 228，234，240，247，254.故 的分布列为：X228 234 240 247
11、254P1015152510 ()2834E220474.80.依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为30.91139.所以甲公司送餐员日平均工资为 804728元.由得乙公司送餐员日平均工资为 241.8 元.因为 238.41.，故推荐小王去乙公司应聘.19.（1）由题 PAD， F为 P的中点，可得 AFPD，平面 平面 BC， A， C平面 .又 F平面 ， DA. PD 平面 .平面 EF平面 C.（2）取 AD的中点 O， BC的中点 F，连接 ,OP， P， PAD.平面 平面 ,平面 ， 平面 B.分别以 ,OAFP为 ,xyz轴建立空间直角坐标系，则 (1,0)， (,20)C
12、， 13(,)2E， 13(,0)2F，3(,)AF， (,)F设平面 E的法向量为 ,mxyz，则 0mFA.即320xzy.可取 =1,03)（ .同理，可得平面 ACE的法向量 (,)n.cos,|mnA132172.所以平面 EF与平面 C所成锐二面角余弦值为 .20.（1）因为椭圆 E的短轴长为 2，故 1b.依题意设直线 n的方程为： xya，由 23a.解得 a，故椭圆的方程为213xy.（2）设 123(,)(,)(,)ABCxy当直线 l的斜率为 0 时，显示不符合题意.当直线 的斜率不为 0 时， 2(,0)F，设其方程为 2xty，由213xyt，得 2(3)1tyt，所
13、以 123ty， 12,3t，因为 0OABC，所以 312xx， 312yy又点 在椭圆 E上，2 231()xyx21()y2213()()44xxyy123()xy又21， 2 1203xy，将 t， 2xty及代入得 21t，即 t或 1.故直线 l的方程为 或 0xy.21.（1）函数 fx的定义域为 0,， 2lnmxf，因不 f的图象在点 (1,)f处的切线方程为 1y，所以(1)ln0mf.解得 1,0n.所以 lxf故 2lxf令 0，得 e，当 x时， 0fx， fx单调递增；当 e时， ， 单调递减所以当 x时， fx取得最大值 1fe（2）221()lnaxgf， ll
14、nxxa， 1e， ()f， 1fea，所以存在 ,)0tgt即 lnt，当 0x时， x， 单调递减，当 (,xte时， 0gx， x单调递增，所以 g的最小值为 2llatbtt，令 ln2tbht，因为 10t，所以 t在 1(,)e单调递减，从而 3(),)e，即 b的取值范围是 3,)222.（1）由曲线 1C的参数方程，消去参数 t，可得 1C的普通方程为： 0xym由曲线 2的极坐标方程得 223cos3， 0,，曲线 2的直角坐标方程为 210xy（2）设曲线 2C上任意一点 P为 (3cos,in),0,，则点 P到曲线 1的距离为 |i|2md2cos()|6m 0, 3cos()1,6， cos(),36，当 3m时， 4，即 m；当 20时， 2，即 4或 623.（1）当 a时，原不等式可化为 |31|2|3x当 3x时，原不等式可化为 ，解得 0x，所以 x；当 2时，原不等式可化为 x，解得 1，所以 2；当 x时，原不等式可化为 3123，解得 2x，所以 x综上所述，当 a时，不等式的解集为 |0x或 （2）不等式 1|3xf可化为 |ax，依题意不等式 |3ax在 1,2恒成立，所以 1|x，即 |，即 1ax，所以132a解得 423，故所求实数 a的取值范围是 14,23
