1、2017秋期终高三数学试题（理）及答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1、已知：如图，集合 U为全集，则图中阴影部分表示的集合是A、 U CB)( B、 U AC)(C、 U ）（ B D、 U CBA)(解析：略2、已知 i1是关于 x的方程 022bxa（ Rba,）的一个根 ， 则 baA、 B、 C、 3 D、解析：实系数的一元二次方程虚根成对（互为共轭复数）.易得： 2,ba3、已知双曲线 的一条渐近线的方程是： xy2，且该双曲线 C经过点 )2,(，则双曲线 C的方程是A 1472yxB 1472xC 14 D 142yx
2、解析：由题可设双曲线的方程为： 2y，将点 ),(代入，可得 ，整理即可得双曲线的方程为 142yx4、已知： xbafcossin)(， 1)3sin(2)(xg，若函数 )(xf和 g有完全相同的对称轴，则不等式 2xg的解集是A )(,6(zkkB )(2,6(zkkC D 解析：由题意知，函数 )(xf和 g的周期是一样的，故 1，不等式 2)(xg，即 21)3sin(x，解之得： )2,62(zkkx5、已知各项均为正数的等比数列 na， 253，若 )()()( 721axaxf ，则 )0(f=_A 28B C 128 D 18解析：令 )()(xgf，其中 )()()( 72
3、axax，则 )()( xgxf，故 74321)0( aagf ，由 253可得， 24a，故 2806、已知： 6231xy，则目标函数 yxz32A 7maz， 9minzB 31x， 7iC maz， z无最小值D x， 无最小值解析：如图： )3,0(A, )52B, 4(C,显然 7maxz7、设 xxefsin1si， 1、 2,2，且 )(21xff，则下列结论必成立的是A. 1 2 B. 1+ 20 C. 1x 2D. 1 2解析： )(xf，故 )(f是偶函数，而当 2,0x时， 0)(coscoscos sin1sisin1sin1 xxxx eee ，即 )(f在 是单
4、调增加的.由 )(21ff，可得 |)21ff，即有 |21，即21x8、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积 S=A 0B 4 C 21 D 2解析：方法一：该多面体如图示，外接球的半径为 AG,H为 BC外接圆的半径， 1HG， 45A，故 4112HAGR，42S方法二：只考虑三棱锥 BCE的外接球即可，而此三棱锥的侧棱 EB与底面 AC是垂直的，故其外接球的半径： 412)(rBR（其中 r是三角形 AB外接圆的半径）9、执行如图的程序框图，若输出 S的值是 2，则 a的值可以为A 2014B 5C 2016 D 7解析： 2S，
5、 0k； 1S， k； 21S， k； 2S， 3k；，故 a必为 3的整数倍。10、我们把顶角为 36的等腰三角形称为黄金三角形。其作法如下：作一个正方形 ABCD；以 的中点 E为圆心，以 C长为半径作圆，交 AD延长线于 F；以 D为圆心，以 F长为半径作 ；以 A为圆心，以 D长为半径作 交 于 G，则 为黄金三角形。根据上述作法，可以求出36cosA 415B C 435 D 435解析：不妨假设 2AD，则 15G，故 41536cos11、已知抛物线 E： pxy（ 0），过其焦点 F的直线 l交抛物线 E于 A、 B两点（点 在第一象限），若 OBSOABtan23，则 的 值
6、 是A 2B C 4 D 5解析： AOB sin|1t ，即 3，不妨设 ),(1yx，),(2yx，则 321yx，即有 34)(2121yp，又因为 21py，故： 12、已知： 0m，若方程 0lnmx有唯一的实数解，则 mA 41B 2C D 1解析：方法一：验证，当 2时， xfln)(与 xg2)(在点 )0,1(处有共同的切线 1xy。方法二：将方程整理得 mx1ln，设 lf，则由题意，直线 m2是函数 )(f的一条切线，不妨设切点为 ),(0y，则有：1ln2ln100020xymx，解之得： 10x， 0y， 21二、填空题：13、 802.1_（小数点后保留三位小数）。
7、答案： 172.解析： 172.0.2.0.1)0.( 388888 CC14、已知向量a(1,2)，b( 2，4)，|c| ，若(ab) c ，则a与c的夹角的大小是_.552答案：120解析：由条件知|a| ，| b|2 ，ab(1，2)，| ab| ，(ab)c ， cos ，其中5 5 552 5 5 52为ab与c的夹角，60.aba，ab与a方向相反， a与c的夹角为120.15、已知： 23cosin，则 2os的取值范围是_【答案】 ,23解析： )sin(co3)sin)(cos(in1cssin1cs22 由osin得， 3o，易得 ,，故 2,si2ic， 23,cos.
8、16、在四边形 ABCD中， 90， BCA， AD为等边三角形，则 ABC的外接圆与的内切圆的公共弦长=_.【答案】1解析：解析法：以 为 x轴， 的中点为坐标原点建立坐标系，利用解析法即可得。作图法：可以看出的公共弦即 A的中位线。三、解答题：17、（本小题满分12分）已知数列 na的前 项和为 nS，且满足 12nSa（ *N）（1）求数列 的通项公式；（2）若 nnb)12(，求数列 nb的前 项和 nT解：（1）当 时， ，解得 当 时， ， ，两式相减得 ，化简得，所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，可得 6分（2）由（1）得 ，当 为偶数时， ， ；当 为奇数时， 为偶数，
9、 所以数列 的前 项和 12分18、（本小题满分12分）如图1，在平行四边形 1AB中， 601， 4AB， 21， C、 1分别为 AB、 1的中点，现把平行四边形 1沿 C折起如图2所示，连接 、 A、 （1）求证： 1A；（2）若 61B，求二面角 1AB的正弦值证明：（1）取 1C的中点 O，连接 A， 1B， C，在平行四边形 AB中， 601， 4， 21A， C、 1分别为 、 1的中点， ， 为正三角形，则 1CO， 1，又 OBA1， 平面 AB， 1平面 1 C； 4分（2） 601AB， 4， 21A， C、 1分别为 AB、 1的中点， ， 3O， 6B，则 22O，则
10、三角形 1AOB为直角三角形，则 1OBA，6分以 为原点，以 C， 1， 为 zyx,轴建立空间直角坐标系，则C（1，0，0），B 1（0， 3，0），C 1（1，0，0），A（0，0， 3），则 )0,2(1C则 ),2(A， 1B=（0， ， 3）， C=（1，0， ），设平面AB 1C的法向量为 ),(zyxn，则 03zxAnyB， 令 1，则 y， 3x， 则 )1,3(n，设平面A 1B1A的法向量为 ),(zyxm，则 021zyAB，令 z，则 0x， 1，即 ,0，8分则 5,cosn10分二面角 1ABC的正弦值是 51.12分19、（本小题满分12分）为评估设备 M生产
11、某种零件的性能，从设备 M生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：直径/mm 58 59 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 合计件数 1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1 2 1 100经计算，样本的平均值 ，标准差 .2，以频率值作为概率的估计值（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为 X，并根据以下不等式进行评判（ p表示相应事件的频率）： 682.0)(Xp954.0)22(X 97433评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙
12、，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁试判断设备M的性能等级（2）将直径小于等于 或直径大于 2的零件认为是次品从设备 的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数 Y的数学期望 EY；从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数 Z的数学期望 Z解析：（1） 682.0).678.()( XpXp ，9540)496.0()2(，974.08.)6714.58()33( XpXp因为设备 M的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙；4分（2）易知样本中次品共6件，可估计设备M生产零件的次品率为0.06由题意可知 )106,2(BY，于是 25310EY8分由题意可知 Z的
13、分布列为：故 21094CEZ 210946C53210612分20、（本小题满分12分）平面直角坐标系 xoy中，已知椭圆 :C12byax（ 0a）的左焦点为F，离心率为 2，过点F且垂直于长轴的弦长为 2（1）求椭圆C的标准方程；（2）设点A，B分别是椭圆的左、右顶点，若过点P（2，0）的直线与椭圆相交于不同两点 M、 N求证： BFNM；求 面积的最大值解：（1）由题意可得 2ace， 令 cx，可得 by，即有 ，又 22cba，所以 2a， 1b所以椭圆的标准方程为 12x；4分（2）当 0MNk时，显然 0BFNA，满足题意；当 时，设 ),(1yx， ),(2y，直线 M方程为
14、 2myx，代入椭圆方程，整理得 42m，则 068)(162 m，所以 20 1 2p21094C21094610624212my，则 )1(2112121 mymyxykNFM0)(4212my则 NFMk，即 BFNA；8分 |2121yPSSMFP 4221682 mm当且仅当 422m，即 62（此时适合0的条件）取得等号则 MNF面积的最大值是 412分21、（本小题满分12 分）已知函数 xebaxfln)()3，且函数 )(xf的图象在点 ),1(e处的切线与直线 01)2(yex垂直（1）求 ,；（2）求证：当 )1,0(x时， 2)(xf解析：（1）因为 ef，故 eba，
15、故 1ba；依题意， 2)(f；又 223ln)() xxf ，故 14ebae，故 4，联立解得 ， ； 4分（2）由（1）得 xxfln)2()3，要证 2)(xf，即证 e(l3；令 xeg3， x) 6分)2)(1)23()( 2xxexexgx令 0， ,， 0， ，故 31，)(x在 )1,上单调增加， ),3(在单调减少。而 2g， e(，当 )3,0(x时， 2)0(gx当 1时， e1故当 ),(x时， )(x； 10分而当 0时， 0ln，故函数 2ln)(x所以，当 )1,(x时， )(xg，即 f. 12分【选修4-4：极坐标与参数方程选讲 】（本小题满分10分）22、
16、在直角坐标系 xoy中，直线 l的参数方程为 sin2co1tyx（ t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点 O为极点，以 轴非负半轴为极轴）中，圆 C的方程为 sin6（1）求圆 C的直角坐标方程；（2）若点 )2,(P，设圆 与直线 l交于点 BA,，求 |PB的最小值解：（1）由 sin6得 sin62，化为直角坐标方程为 9)3(22yx5分（2）将 l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得 07sin(co2tt （*）由 028)cos(i4，故可设 21,是方程（*）的两根， 7n21t又直线过点 ),(P，故结合 t的几何意义得： 21212121 4)(| tttBA 72sin43 |的最小值为 710分【选修4-5：不等式选讲】（本小题满分 10分）23、已知 0a， b，函数 |)(bxaxf的最小值为 2（1）求 的值；（2）证明： 2与 不可能同时成立解析：（1） 0a， b， babxaxxf |)(|)( min由题设条件知 2)(inxf， 2ba5分证明：（2） ，而 ab，故 1.假设 与 2b同时成立即 0)(2与 0)1(2b同时成立, 0a， ，则 1a， ， ，这与 矛盾，从而 2与 2不可能同时成立10分
