1、2015-2016学年福建省厦门六中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分）1复数（i是虚数单位）的模等于( )AB10CD52设全集U是实数集R，M=x|x2或x2，N=x|x24x+30，则图中阴影部分所表示的集合是( )Ax|2x1Bx|2x2Cx|1x2Dx|x23sin2cos3tan4的值是( )A正数B负数C零D无法确定4某程序框图如图所示，该程序运行后输出的x值是( )A3B4C6D85设a=cos2sin2，b=，c=，则有( )AacbBabcCbcaDcab6数列an满足a1=1，a2=2，an+1an=n（为常数，nN*），则
2、a4等于( )A1B2C3D47已知，则AB的充要条件是( )A（，+）B0aC0a1Dal8已知等比数列an的公比为正数，且a3a9=2a52，a2=1，则a1=( )ABCD29若两个非零向量满足|+|+|=2|，则向量与的夹角为( )ABCD10已知数列an满足a2=102，an+1an=4n，（nN*），则数列的最小值是( )A25B26C27D2811将函数y=f（x）的图象先向左平移个单位，然后向上平移1个单位，得到函数y=2cos2x的图象，则f（x）是( )Asin2xB2cosxC2sinxD2cosx12已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（2x）=0，f（x）f（
3、2x）=0，在1，1上表达式为，f（x）=则函数f（x）与函数g（x）=的图象在区间3，3上的交点个数为( )A5B6C7D8二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13若（2x+）dx=3+ln2（a1），则a的值是_14若，则cos2=_15数列an的通项公式，其前n项和，则n=_16给出下列五个命题：函数f（x）=lnx2+x在区间（1，e）上存在零点；若f（x0）=0，则函数y=f（x）在x=x0处取得极值；“a=1”是“函数在定义域上是奇函数”的充分不必要条件函数y=f（1+x）的图象与函数y=f（1x）的图象关于y轴对称；满足条件AC=，AB=1的三角形ABC有两个其中正
4、确命题的是_三解答题（本大题有6小题，共70分；解答应写出文字说明与演算步骤）17已知an为等差数列，且满足a1+a3=8，a2+a4=12（）求数列an的通项公式；（）记an的前n项和为Sn，若a3，ak+1，Sk成等比数列，求正整数k的值18已知函数，（1）若，求函数f（x）的值；（2）求函数f（x）的值域19已知海岛B在海岛A的北偏东45方向上，A、B相距10海里，小船甲从海岛B以2海里/小时的速度沿直线向海岛A移动，同时小船乙从海岛A出发沿北偏15方向也以2海里/小时的速度移动（）经过1小时后，甲、乙两小船相距多少海里？（）在航行过程中，小船甲是否可能处于小船乙的正东方向？若可能，请求
5、出所需时间，若不可能，请说明理由20已知等差数列an满足：an+1an（nN*），a1=1，该数列的前三项分别加上1，1，3后顺次成为等比数列bn的前三项（）分别求数列an，bn的通项公式an，bn；（）设，若恒成立，求c的最小值21设函数y=f（x）在（a，b）上的导函数为f（x），f（x）在（a，b）上的导函数为f（x），若在（a，b）上，f（x）0恒成立，则称函数f（x）在（a，b）上为“凸函数”已知（）若f（x）为区间（1，3）上的“凸函数”，试确定实数m的值；（）若当实数m满足|m|2时，函数f（x）在（a，b）上总为“凸函数”，求ba的最大值【选修4-4：坐标系与参数方程】22在直
6、角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为（t为参数），以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系下，圆C2的方程为=2cos+2sin（）求直线C1的普通方程和圆C2的圆心的极坐标；（）设直线C1和圆C2的交点为A，B，求弦AB的长【选修4-5：不等式选讲】23已知函数f（x）=|x+a|+|x2|（1）当a=3时，求不等式f（x）3的解集；（2）若f（x）|x4|的解集包含1，2，求a的取值范围2015-2016学年福建省厦门六中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分）1复数（i是虚数单位）的模等于( )AB10CD5【考点】复数代数
7、形式的乘除运算 【专题】数系的扩充和复数【分析】首先将复数化简为a+bi的形式，然后求模【解答】解：=1+=3+i，故模为；故选：A【点评】本题考查了复数的混合运算以及复数模的求法；属于基础题2设全集U是实数集R，M=x|x2或x2，N=x|x24x+30，则图中阴影部分所表示的集合是( )Ax|2x1Bx|2x2Cx|1x2Dx|x2【考点】Venn图表达集合的关系及运算 【专题】计算题【分析】由韦恩图表示集合的方法，分析图形中表示的阴影部分表示的几何意义，我们不难分析出阴影部分表示集合（CUM）N，然后结合M=x|x2或x2，N=x|x24x+30，我们不难求出阴影部分所表示的集合【解答】
8、解：由图知，阴影部分表示集合（CUM）N，由于M=x|x2或x2，CUM=x|2x2，N=x|1x3，所以（CUM）N=x|1x2故选C【点评】韦恩图是分析集合关系时，最常借助的工具，其特点是直观，要分析韦恩图分析阴影部分表示的集合，要先分析阴影部分的性质，先用自然语言将其描述出来，再根据集合运算的定义，将共转化为集合语言，再去利用集合运算的方法，对其进行变形和化简3sin2cos3tan4的值是( )A正数B负数C零D无法确定【考点】三角函数值的符号 【专题】计算题；三角函数的求值【分析】判断出角2、3、4的范围，然后由三角函数的象限符号得答案【解答】解：，sin20，cos30，4，tan
9、40sin2cos3tan40故选：B【点评】本题考查了三角函数值的符号，关键是判断出角的范围，是基础题4某程序框图如图所示，该程序运行后输出的x值是( )A3B4C6D8【考点】程序框图 【专题】算法和程序框图【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，k的值，当s=103时，不满足条件s100，退出循环，x=8，输出x的值为8【解答】解：执行程序框图，可得k=1，s=1满足条件s100，s=4，k=2；满足条件s100，s=22，k=3；满足条件s100，s=103，k=4；不满足条件s100，退出循环，x=8，输出x的值为8故选：D【点评】本题主要考查了程序框图和算法，准确判断退出循
10、环时k的值是解题的关键，属于基础题5设a=cos2sin2，b=，c=，则有( )AacbBabcCbcaDcab【考点】二倍角的正切 【专题】三角函数的求值【分析】由两角差的正弦公式求a，由二倍角的正切公式求b，由二倍角的正弦公式求c，即可根据正弦函数的单调性和三角函数线的知识比较大小【解答】解：a=cos2sin2=sin（302）=sin28，b=tan（14+14）=tan28，c=sin25，正弦函数在（0，90）是单调递增的，ca又在（0，90）内，正切线大于正弦线，ab故选：D【点评】本题主要考查了两角差的正弦公式，二倍角的正切公式，二倍角的正弦公式，正弦函数的单调性和三角函数线
11、的知识应用，属于基础题6数列an满足a1=1，a2=2，an+1an=n（为常数，nN*），则a4等于( )A1B2C3D4【考点】数列递推式 【专题】计算题【分析】根据题中已知条件先求出的值，然后根据an+1an=2n求出a3的值，即可求得a4的值【解答】解：由题意可知；a1=1，a2=2，an+1an=n，则：a2a1=21=，an+1an=2n，故a3a2=22=4，解得a3=2，a4a3=23=6，解得a4=3，故选C【点评】本题主要考查了由递推公式推导数列的通项公式，是高考的热点，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，属于基础题7已知，则AB的充要条件是( )A（，+）B0aC0a
12、1Dal【考点】集合的包含关系判断及应用 【专题】计算题；集合【分析】化简集合A，B，利用AB，即可得出结论【解答】解：由题意，2x10，x0；x2+lgalga，AB时，lga0，0a1故选：C【点评】本题考查集合的包含关系，考查学生的计算能力，比较基础8已知等比数列an的公比为正数，且a3a9=2a52，a2=1，则a1=( )ABCD2【考点】等比数列的性质 【专题】等差数列与等比数列【分析】设等比数列的公比为q，根据等比数列的通项公式把a3a9=2a25化简得到关于q的方程，由此数列的公比为正数求出q的值，然后根据等比数列的性质，由等比q的值和a2=1即可求出a1的值【解答】解：设公比
13、为q，由已知得a1q2a1q8=2（a1q4）2，即q2=2，又因为等比数列an的公比为正数，所以q=，故a1=故选B【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的性质及等比数列的通项公式化简求值，是一道中档题9若两个非零向量满足|+|+|=2|，则向量与的夹角为( )ABCD【考点】数量积表示两个向量的夹角 【专题】平面向量及应用【分析】将满足|+|+|=2|，将各项平方转化，能得=0，=3，利用夹角余弦公式计算，注意等量代换【解答】解：由已知得由得出=0，将展开并代入整理得：=3，（）（）=2，cos=所求夹角是，故选B【点评】本题考查向量的数量积、模、夹角的运算，本题的关键是将已知转化，得出 的
14、两条关系，在解题过程中进行等量代换属于中档题10已知数列an满足a2=102，an+1an=4n，（nN*），则数列的最小值是( )A25B26C27D28【考点】数列递推式；数列的函数特性 【专题】综合题；点列、递归数列与数学归纳法【分析】利用累加法可求得an，表示出后利用基本不等式可求得其最小值，注意求通项时验证n=1的情形【解答】解：由an+1an=4n得，a3a2=8，a4a3=12，a5a4=16，anan1=4（n1），以上各式相加得，ana2=，所以an=102+（n2）（2n+2）（n2），而a2a1=4，所以a1=a24=98，适合上式，故an=102+（n2）（2n+2）（
15、nN*），=2=26，当且仅当即n=7时取等号，所以数列的最小值是26，故选B【点评】本题考查由数列递推式求数列通项、基本不等式求最值，考查学生综合运用知识解决问题的能力11将函数y=f（x）的图象先向左平移个单位，然后向上平移1个单位，得到函数y=2cos2x的图象，则f（x）是( )Asin2xB2cosxC2sinxD2cosx【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换；导数的运算 【专题】计算题；函数思想；数学模型法；三角函数的图像与性质【分析】由函数图象平移结合倍角公式可得f（x+）=cos2x，利用换元法求出f（x），则f（x）可求【解答】解：由题意可得，f（x+）+1=2cos2
16、x，f（x+）=2cos2x1=cos2x，令x+=t，则x=t，f（t）=cos（2t）=sin2t，即f（x）=sin2x，f（x）=sin（2x7）=sin2x故选：A【点评】本题考查y=Asin（x+）型函数的图象变换，训练了函数解析式的求法，是基础题12已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（2x）=0，f（x）f（2x）=0，在1，1上表达式为，f（x）=则函数f（x）与函数g（x）=的图象在区间3，3上的交点个数为( )A5B6C7D8【考点】函数的图象 【专题】函数的性质及应用【分析】先根据知函数的对称中心和对称轴，再分别画出f（x）和g（x）的部分图象，由图象观察交点的
17、个数【解答】解：f（x）+f（2x）=0，f（x）f（2x）=0，f（x）图象的对称中心为（1，0），f（x）图象的对称轴为x=1，结合画出f（x）和g（x）的部分图象，如图所示，据此可知f（x）与g（x）的图象在3，3上有6个交点故选B【点评】本题借助分段函数考查函数的周期性、对称性以及函数图象交点个数等问题，属于中档题二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13若（2x+）dx=3+ln2（a1），则a的值是2【考点】微积分基本定理 【专题】计算题【分析】根据题意找出2x+的原函数，然后根据积分运算法则，两边进行计算，求出a值；【解答】解：=（x2+lnx） =a2+lna（1+
18、ln1）=3+ln2，a1，a2+lna=4+ln2=22+ln2，解得a=2，故答案为：2；【点评】此题主要考查定积分的计算，解题的关键是找到被积函数的原函数，此题是一道基础题14若，则cos2=【考点】诱导公式的作用；二倍角的余弦 【分析】由sin（+）=cos及cos2=2cos21解之即可【解答】解：由可知，而故答案为：【点评】本题考查诱导公式及二倍角公式的应用15数列an的通项公式，其前n项和，则n=30【考点】数列的求和 【专题】计算题；等差数列与等比数列【分析】将通项化简，再利用叠加法，即可求得结论【解答】解：，Sn=a1+a2+an=+=，n=30故答案为：30【点评】本题考查
19、数列的求和，考查叠加法的运用，考查学生的计算能力，属于基础题16给出下列五个命题：函数f（x）=lnx2+x在区间（1，e）上存在零点；若f（x0）=0，则函数y=f（x）在x=x0处取得极值；“a=1”是“函数在定义域上是奇函数”的充分不必要条件函数y=f（1+x）的图象与函数y=f（1x）的图象关于y轴对称；满足条件AC=，AB=1的三角形ABC有两个其中正确命题的是【考点】命题的真假判断与应用 【专题】探究型【分析】利用根的存在性定理进行判断利用函数极值和导数之间的关系进行判断利用函数的奇偶性性的定义和充分条件和必要条件进行判断利用函数的对称性进行判断利用正弦定理或余弦定理进行判断【解答
20、】解：f（x）=lnx2+x在区间1，e上单调递增，且f（1）=12=10f（e）=lne2+e=e2+1=e10，所以根据根的存在性定理可知在（1，e）上函数存在零点，所以正确函数f（x）=x3的导数为f（x）=3x2，因为f（0）=0，但函数f（x）=x3单调递增，没有极值，所以错误若函数在定义域上是奇函数，则f（x）=f（x），即，整理得，即a2e2x1=e2xa2，所以a2=1，解得a=1或a=1，所以“a=1”是“函数在定义域上是奇函数”的充分不必要条件所以正确设A（a，b）是y=f（1+x）上的任意一点，则满足b=f（1+a），则点A（a，b）关于y轴对称的点的坐标为（a，b），在
21、函数y=f（1x）上，当x=a时，y=f1（a）=f（1+a）=b，即（a，b）在函数y=f（1x）上，所以函数y=f（1+x）的图象与函数y=f（1x）的图象关于y轴对称，所以正确由正弦定理得，即，解得sinC=，因为ACAB，所以BC，即C600，所以满足条件的三角形只有一个，所以错误故正确的命题是故答案为：【点评】本题主要考查各种命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强，难度较多三解答题（本大题有6小题，共70分；解答应写出文字说明与演算步骤）17已知an为等差数列，且满足a1+a3=8，a2+a4=12（）求数列an的通项公式；（）记an的前n项和为Sn，若a3，ak+1，Sk成等
22、比数列，求正整数k的值【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式 【专题】等差数列与等比数列【分析】（）由题意可得首项和公差的方程组，解方程组可得通项公式；（）由（）可得Sn，进而可得a3，ak+1，Sk，由等比数列可得k的方程，解方程即可【解答】解：（）设数列an的公差为d，由题意可得，解方程组可得a1=2，d=2，an=2+2（n1）=2n；（）由（）可得，a3=23=6，ak+1=2（k+1），a3，ak+1，Sk成等比数列，（2k+2）2=6（k2+k），化简可得k2k2=0，解得k=2或k=1，kN*，k=2【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，涉及等
23、比数列的通项公式，属中档题18已知函数，（1）若，求函数f（x）的值；（2）求函数f（x）的值域【考点】三角函数的化简求值；正弦函数的定义域和值域 【专题】计算题【分析】（1）先利用同角三角函数的基本关系求得cosx的值，代入到函数解析式，利用两角和公式展开后求得答案（2）利用两角和公式对函数解析式化简整理，然后利用x的范围和正弦函数的单调性求得函数的值域【解答】解：（1），cosx=sinx+cosx2cosx=sinxcosx=+=（2）=sinx+cosx2cosx=sinxcosx=2sin（x）xsin（x）1f（x）的最大值为2，最小值为1，值域为1，2【点评】本题主要考查了三角函
24、数化简求值，两角和公式的化简，同角三角函数的基本关系的应用解题时注意角的范围，判断三角函数的正负19已知海岛B在海岛A的北偏东45方向上，A、B相距10海里，小船甲从海岛B以2海里/小时的速度沿直线向海岛A移动，同时小船乙从海岛A出发沿北偏15方向也以2海里/小时的速度移动（）经过1小时后，甲、乙两小船相距多少海里？（）在航行过程中，小船甲是否可能处于小船乙的正东方向？若可能，请求出所需时间，若不可能，请说明理由【考点】解三角形的实际应用 【专题】解三角形【分析】（）利用余弦定理求|MN|的长度即可（）设经过t（0t5）小时小船甲处于小船乙的正东方向利用正弦定理建立条件关系进行求解即可【解答】
25、解：（）经过1小时后，甲船到达M点，乙船到达N点，|AM|=102=8，|AN|=2，MAN=60，2分A岛B岛北EF|MN|2=|AM|2+|AN|22|AM|AN|cos60=64+42=52，|MN|=25分（）设经过t（0t5）小时小船甲处于小船乙的正东方向则甲船与A距离为|AE|=102t海里，乙船与A距离为|AF|=2t海里，EAF=60，EFA=45，6分则由正弦定理得=，即，9分则t=511分答：经过小时小船甲处于小船乙的正东方向12分【点评】本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理建立方程关系是解决本题的关键20已知等差数列an满足：an+1an（nN*），a1=1
26、，该数列的前三项分别加上1，1，3后顺次成为等比数列bn的前三项（）分别求数列an，bn的通项公式an，bn；（）设，若恒成立，求c的最小值【考点】数列与不等式的综合；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和 【专题】综合题【分析】（）设d、q分别为数列an、数列bn的公差与公比，a1=1由题可知，a1=1，a2=1+d，a3=1+2d，分别加上1，1，3后得2，2，+d，4+2d是等比数列bn的前三项，从而可得（2+d）2=2（4+2d），根据an+1an，可确定公差的值，从而可求数列an的通项，进而可得公比q，故可求bn的通项公式（）表示出，利用错位相减法求和，即可求得c的最小值
27、【解答】解：（）设d、q分别为数列an、数列bn的公差与公比，a1=1由题可知，a1=1，a2=1+d，a3=1+2d，分别加上1，1，3后得2，2，+d，4+2d是等比数列bn的前三项，（2+d）2=2（4+2d）d=2an+1an，d0d=2，an=2n1（nN*）由此可得b1=2，b2=4，q=2，bn=2n（nN*）（），得=+2（+），Tn=3Tn+=32，满足条件恒成立的最小整数值为c=2【点评】本题以等差数列与等比数列为载体，考查数列通项公式的求解，考查数列与不等式的综合，考查错位相减法求数列的和，综合性强21设函数y=f（x）在（a，b）上的导函数为f（x），f（x）在（a，b
28、）上的导函数为f（x），若在（a，b）上，f（x）0恒成立，则称函数f（x）在（a，b）上为“凸函数”已知（）若f（x）为区间（1，3）上的“凸函数”，试确定实数m的值；（）若当实数m满足|m|2时，函数f（x）在（a，b）上总为“凸函数”，求ba的最大值【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用 【专题】综合题；新定义【分析】（）函数在区间（1，3）上为“凸函数”，所以f（x）0，即对函数y=f（x）二次求导，转化为不等式问题解决即可；（）利用函数总为“凸函数”，即f（x）0恒成立，转化为不等式恒成立问题，讨论解不等式即可【解答】解：由函数得，f（x）=x2mx3（）若f（x）为区间（1，3）
29、上的“凸函数”，则有f（x）=x2mx30在区间（1，3）上恒成立，由二次函数的图象，当且仅当，即m=2（）当|m|2时，f（x）=x2mx30恒成立当|m|2时，mxx23恒成立当x=0时，f（x）=30显然成立当x0，m的最小值是2从而解得0x1当x0，m的最大值是2，从而解得1x0（13分）综上可得1x1，从而（ba）max=1（1）=2（14分）【点评】本题考查函数的导数与不等式恒成立问题的解法，关键是要理解题目所给信息（新定义），考查知识迁移与转化能力，属于中档题【选修4-4：坐标系与参数方程】22在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为（t为参数），以该直角坐标系的原点O为极点，
30、x轴的正半轴为极轴的极坐标系下，圆C2的方程为=2cos+2sin（）求直线C1的普通方程和圆C2的圆心的极坐标；（）设直线C1和圆C2的交点为A，B，求弦AB的长【考点】参数方程化成普通方程 【分析】（）把参数方程化为直角坐标方程，求出圆心的直角坐标，再把它化为极坐标（）由（）求得（1，）到直线xy+1=0 的距离d，再利用弦长公式求得弦长【解答】解：（）由C1的参数方程消去参数t得普通方程为 xy+1=0，圆C2的直角坐标方程（x+1）2+=4，所以圆心的直角坐标为（1，），所以圆心的一个极坐标为（2，）（）由（）知（1，）到直线xy+1=0 的距离 d=，所以AB=2=【点评】本题主要考
31、查把参数方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于基础题【选修4-5：不等式选讲】23已知函数f（x）=|x+a|+|x2|（1）当a=3时，求不等式f（x）3的解集；（2）若f（x）|x4|的解集包含 1，2，求a的取值范围【考点】绝对值不等式的解法；带绝对值的函数 【专题】计算题；压轴题【分析】（1）不等式等价于，或，或，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求（2）原命题等价于2xa2x在1，2上恒成立，由此求得求a的取值范围【解答】解：（1）当a=3时，f（x）3 即|x3|+|x2|3，即，或，或解可得x1，解可得x，解可得x4把、的解集取并集可得不等式的解集为 x|x1或x4（2）原命题即f（x）|x4|在1，2上恒成立，等价于|x+a|+2x4x在1，2上恒成立，等价于|x+a|2，等价于2x+a2，2xa2x在1，2上恒成立故当 1x2时，2x的最大值为21=3，2x的最小值为0，故a的取值范围为3，0【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题19
