1、河南省中原名校（即豫南九校）2018 届高三第六次质量考评理科数学试卷第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题得 ,所以 .故选 C.2. 已知复数 ，则 （ ）A. 1 B. C. D. 【答案】A3. 已知双曲线 的渐近线与圆 有公共点，则双曲线 的离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题得双曲线的渐近线方程为 ，即 .所以 ，故选 B.4. 若向量 ，向量 ，则 （ ）A. 2 B. C.
2、D. 【答案】A【解析】由题得,故选 A.5. 已知命题 ，命题 .若 为真命题，且 为假命题，则函数的解析式可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为 为假命题,所以函数 不是偶函数,故选项 B 不满足题意. 对于选项 A，如果满足，则 ，显然不满足题意，所以选项 A 不满足题意. 对于选项 C，如果满足 ，则，满足题意.对于选项 D,如果满足，则所以 ，而 ，所以选项 D 不满足题意，故选 C.6. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则这几何体的表面积为（ ）A. 31 B. 52 C. D. 【答案】B【解析】由三视图可知几何体原图为如图所
3、示的几何体 ,所以,所以几何体的表面积=52，故选 B.7. 我国东汉时期的数学名著九章算术中有这样个问题：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六.问人数、鸡价各几何？设总人数为 ，鸡的总价为 ，如图的程序框图给出了此问题的一种解法，则输出的 的值分别为（ ）A. 7,58 B. 8,64 C. 9,70 D. 10,76【答案】C【解析】按照程序框图运行，所以 x=9,y=70. 故选 C.8. 已知函数 ，若集合 含有 4 个元素，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题得解得： ，所以 （kZ），设直线 y=1 与 y=f（x）在（ 0，+）上从左到
4、右的第四个交点为 A，第五个交点为 B，则， 由于方程 f（x）=1 在（0，）上有且只有四个实数根，则 xAx B，即 ，解得 ，故选 D9. 函数 与 在同一坐标系内的图象不可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为 的图像过原点,所以图像中过原点的抛物线是函数 的图像,在选项 C 中,上面的图像是函数 的图像, 下面的是函数 的图像,所以 ,所以 ,由题得 ,因为 a0,所以恒成立，所以函数 f(x)在定义域内单调递增，不是选项 C 中的图像，故选 C.10. 已知 是球 表面上四点，点 为 的中点，若 ,，则球 的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】
5、由题意可知 与 都是边长为 2 的正三角形，如图，过与 的中心 M,N 分别作所在平面的垂线，两垂线的交点就是球心 O，在 Rt 中，MEO = 60， ,所以 OE=2ME= ,所以球 O 的半径,所以求 O 的表面积为 .故选 B.11. 已知抛物线 的焦点为 ，过点 且斜率为 1 的直线与抛物线 交于点 ，以线段 为直径的圆上存在点 ，使得以 为直径的圆过点 ，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题得直线 AB 的方程为 即 y=x-1,设 A ，联立所以 ，|AB|=所以 AB 为直径的圆 E 的圆心为（3,2） ，半径为 4.所以该圆 E 的方程为 .
6、所以点 D 恒在圆 E 外，圆 E 上存在点 P,Q，使得以 PQ 为直径的圆过点 D(-2,t)，即圆 E 上存在点 P,Q，使得 DPDQ，显然当 DP,DQ 与圆 E 相切时，PDQ 最大，此时应满足PDQ ，所以 ，整理得 .解之得，故选 D.点睛：本题的难点在于分析转化，本题的分析转化，主要是利用了数形结合的思想，通过数形结合把问题转化得简洁明了. 如果不用数形结合，本题解题会很复杂.12. 已知函数 ，若 与 的值域相同，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题得所以函数 f(x)在（ 0,1）上是增函数，在（ 1，+ ）是减函数.所以 ，f(x)的值域为
7、 .设 中，f(x)=t ，则 ，所以 y=f(t)与 y=f(x)值域相同.因为函数 f(x)在（ 0,1）上是增函数，在（ 1，+ ）是减函数，所以所以 ，故选 A.点睛：本题的难点主要是难在转化， 与 的值域相同如何转化？这里要结合函数的单调性和函数的值域分析.转化的数学思想是高中数学中很重要的数学思想，要理解掌握和灵活运用.函数的分析转化，主要是分析函数的图像和性质.第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 的展开式中 的系数为_【答案】【解析】对于 ,它的通项公式为 .所以 的系数为 2 =-12. 故填-12.14. 已知不等式组 表
8、示的平面区域为 ，若对任意的 ，不等式 恒成立，则实数的取值范围是_【答案】【解析】由题得不等式组对应的可行域如图所示，当直线 经过点 A(3，4)时，直线的纵截距最大，z 最小，且 z 的最小值为 .当直线 经过点 C（1,0）时，直线的纵截距最小，z 最大，且 z 的最大值为 .所以 ，所以 ，故填 .15. 已知函数 ，由 是奇函数，可得函数 的图象关于点 对称，类比这一结论，可得函数 的图象关于点_对称.【答案】【解析】由题得所以 是奇函数，所以函数 的图象关于点 对称.故填 .16. 在 中，角 的对边分别为 ，设 的面积为 ，若 ，则 的最大值为_【答案】【解析】由题得由题得所以
9、,当且仅当 时取等号.所以 的最大值为 ,故填点睛:本题的难在解题思路,第一个难点就是把 中的分母化简成 ,第二个难点是得到 后，如何求 tanA 的最大值. 转化成利用基本不等式求 cosA 的最大值.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知等差数列 的公差 ，其前 项和为 ，且 成等比数列.（1）求数列 的通项公式；（2）若 ，数列 的前 项和为 ，求证： .【答案】(1) (2)见解析【解析】试题分析：（1）第（1）问，先通过已知条件求出 d 的值，再写出数列 的通项.(2) 第（2）问，先化简 ，再利用裂项相消求和，最后证
10、明.试题解析：（1）由 得 ， ，因为 成等比数列，所以 ，即 ，整理得 ，即 ，因为 ，所以 ， 所以 .（2）由（1）可得 ，所以 ，所以 ，所以 .18. 下表为 2014 年至 2017 年某百货零售企业的线下销售额(单位：万元） ，其中年份代码 年份 .（1）已知 与 具有线性相关关系，求 关于 的线性回归方程，并预测 2018 年该百货零售企业的线下销售额；（2）随着网络购物的飞速发展，有不少顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长表示怀疑，某调査平台为了解顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长的看法，随机调查了 55 位男顾客、50 位女顾客(每位顾客从“持乐观态度”和“持不乐
11、观态度”中任选一种） ， 其中对该百货零售企业的线下销售额持续增长持乐观态度的男顾客有 10 人、女顾客有 20 人，能否在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续增长所持的态度与性别有关？参考公式及数据：， ， ，【答案】(1) 预测 2018 年该百货零售企业的线下销售额为 377.5 万元，(2) 以在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续増长所持的态度与性别有关.【解析】试题分析：（1）第（1）问，直接利用公式求出线性回归方程，再根据线性回归方程预测. (2)第（2）问，先完成 22 列联表，再求出 的观测值 ，
12、最后下结论.试题解析：（1）由题意得 ， ，所以 ，所以 ，所以 关于 的线性回归方程为 .由于 ，所以当 时， ，所以预测 2018 年该百货零售企业的线下销售额为 377.5 万元.（2）由题可得 列联表如下：故 的观测值 ，由于 ，所以可以在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续増长所持的态度与性别有关.19. 如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形， .（1）求证：平面 平面 ；（2）若 ，试判断棱 上是否存在与点 不重合的点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)见解析(2) 棱 上不存在
13、与点 不重合的点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 .【解析】试题分析：（1）第（1）问，把平面 平面 平面 (2)第（2）问，先利用向量法得到直线 与平面 所成角的方程，再探究方程的解的情况，从而得到解答.试题解析：（1）因为四边形 是平行四边形， ，所以 ，又 ，所以 ，所以 ，又 ，且 ，所以 平面 ，因为 平面 ，所以平面 平面 .（2）由（1）知 平面 ，如图，分别以 所在直线为 轴、 轴，平面 内过点 且与直线 垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系 ，则 由 ， ，可得 ，所以 ，假设棱 上存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ，设 ，则 ， ，设平面 的法向量为 ，则
14、,即 ，令 ，可得 ，所以平面 的一个法向量为 ，设直线 与平面 所成的角为，则，整理得 ，因为 ，所以 ，故 无解，所以棱 上不存在与点 不重合的点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 .20. 已知椭圆 的离心率 ，且椭圆 与圆 的 4 个交点恰为一个正方形的4 个顶点.（1）求椭圆 的标准方程；（2）已知点 为椭圆 的下顶点， 为椭圆 上与 不重合的两点，若直线 与直线 的斜率之和为 ，试判断是否存在定点 ，使得直线 恒过点 ，若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1) (2) 存在定点 ，使得直线 恒过点【解析】试题分析：（1）第（1）问，直接根据已知条件得到关于
15、a,b 的一个方程组，再解方程组即可. (2)第（2）问，对直线 的斜率分两种情况讨论.每一种情况都要先根据已知条件求直线 DE 的方程，再判断其方程是否过定点.试题解析：（1）因为椭圆 的离心率 ，所以 ，即 ，因为椭圆 与圆 的 4 个交点恰为一个正方形的 4 个顶点，所以直线 与圆 的一个交点 在椭圆 上，所以 ，由 解得 ，所以椭圆 的标准方程为 .（2）由（1）知 ，当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，代入 得， ，所以 ，即 .设 ，则 ，因为直线 与直线 的斜率之和为 ，所以 ， 整理得 ，所以直线 的方程为 ，显然直线 经过定点 .当直线 的斜率不存在时，设直线 的方程为
16、 ，因为直线 与直线 的斜率之和为 ，设 ，则 ，所以 ，解得 ，此时直线 的方程为 ，显然直线 经过定点 .综上，存在定点 ，使得直线 恒过点 .点睛：本题的关键是计算，先要把直线 DE 的方程和椭圆的方程联立，得到比较复杂的韦达定理，再把韦达定理代入 = ，化简得到 ,计算量比较大，如果计算出错，则结果出错.所以我们在计算时要认真细心.21. 已知函数 .（1）当 时，试判断函数 的单调性；（2）若 ，求证：函数 在 上的最小值小于 .【答案】(1) 函数 在 上单调递増(2)见解析【解析】试题分析：（1）第（1）问，直接求导，再利用二次求导求函数的单调性. (2)第（2）问，对 a 分类
17、讨论，再利用导数求出求每一种情况下函数的单调性，从而证明函数 在 上的最小值小于 .试题解析：（1）由题可得 ，设 ，则 ，所以当 时 ， 在 上单调递增，当 时 ， 在 上单调递减，所以 ，因为 ，所以 ，即 ，所以函数 在 上单调递増.（2）由（1）知 在 上单调递増，因为 ，所以 ，所以存在 ，使得 ，即 ，即 ，所以函数 在 上单调递减，在 上单调递増，所以当 时，令 ，则 恒成立，所以函数 在 上单调递减，所以 ，所以 ，即当 时 ，故函数 在 上的最小值小于 .点睛：本题的难点在 后，要证明 f(t) .这时，要再构造函数，求它的单调性和最值，从而找到突破口.在导数解答里，构造函数
18、是一个常规技巧，我们要理解掌握和灵活运用.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线 的参数方程为 （ 为参数)，以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 经过点 ，曲线 的极坐标方程为 .（1）求曲线 的极坐标方程；（2）若 是曲线 上两点，求 的值.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）第（1）问，先把参数方程化成普通方程，再把普通方程化成极坐标方程.(2)第（2）问，先根据已知条件求出 ，再代入 化简求值.试题解析：（1）将曲线 的参数方程 化为普通方程为 ，即 ，由 ，
19、可得曲线 的极坐标方程为 ，因为曲线 经过点 ，所以 ，解得 (负值舍去） ，所以曲线 的极坐标方程为 .（2）因为 在曲线 上，所以 ， ，所以 .23. 选修 4-5：不等式选讲已知函数 .（1）当 时，若 的最小值为 3，求实数的值；（2）当 时，若不等式 的解集包含 ，求实数的取值范围.【答案】(1) 或 4 (2) 【解析】试题分析：（1）第（1）问，直接利用绝对值不等式求函数的最小值从而得到 a 的值. (2)第（2）问，先求出不等式的解集，再比较它们的关系得到实数 a 的取值范围.试题解析：（1）当 时， ， 因为 的最小值为 3，所以 ，解得 或 4.（2）当 时， 即 ，当 时， ，即 ，因为不等式 的解集包含 ，所以 且 ，即 ，故实数的取值范围是 .
