1、2018届江苏省如东高级中学高三上学期期中考试数学试题（解析版）卷第卷（共 70分）一、填空题：（本大题共 14个小题,每小题 5分,共 70分将答案填在答题纸上 ）1. 已知全集为 ，且集合 ， ，则 _【答案】【解析】 ，点睛：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合2求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解3在进行集合的运算时要尽可能地借助 Venn图和数轴使抽象问题直观化一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍2. 已知向量 ， ，且
2、，则实数 _【答案】8【解析】 ， ，解得 .3. 已知 ， ，若 是 的必要不充分条件，则实数的取值范围是_【答案】【解析】由 解得 ，因为 是 的必要不充分条件，所以 .4. 函数 的单调递减区间是_【答案】【解析】由 ，解得 又所以减区间是 .5. 已知函数 的图象向右平移 个单位后与原图象关于 轴对称，则 的最小值是_【答案】【解析】函数 的图象向右平移 个单位后, 所得图象对应的函数解析式为, 再根据所得图象与原图象关于 轴对称, 可得 ,即 ,则 的最小值为 .6. 已知函数 ，则满足不等式 的 的取值范围是_ 【答案】【解析】函数 为偶函数，且在 上单调递增，不等式 等价于不等式
3、，可得 ，解得 点晴：本题主要考查函数的单调性与奇偶性.根据题意，函数 为偶函数，所以图像关于 轴对称，且在轴左右两侧单调性相反，即左减右增，距离对称轴越远，函数值就越大，所以原不等式比较两个函数值的大小，转化为比较两个自变量的绝对值的大小，绝对值大的，距离 轴远，函数值就大.如果函数为奇函数，则左右两边单调性相同.7. 若圆 关于直线 对称，由点 向圆 作切线，切点为 ，则线段的最小值为_【答案】3【解析】圆 关于直线 对称, 圆心 在直线 上, ,即 , 点 向圆所作的切线长为: , 当 a=2 时,点 向圆所作的切线长取得最小值 .8. 如图，在三角形 中，点 是边 上一点，且 ，点 是
4、边 的中点，过 作 的垂线，垂足为 ，若 ，则 _【答案】32【解析】由题 ，点睛：平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式 ab| a|b|cos ；二是坐标公式 ab x1x2 y1y2；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.9. 已知椭圆 与圆 ，若在椭圆 上存在点 ，过点 作圆的切线 ，切点为 使得 ，则椭圆 的离心率的取值范围是_【答案】【解析】连接 OA,OB,OP,根据题意,O、P、A、B 四点共圆, 在直角三角形 OAP中, , 得, , ,即 , ,即 , ,又 ,
5、, 椭圆 C的离心率的取值范围是10. 函数 图象上存在点 ，满足约束条件 ，则实数 的最大值为_【答案】1【解析】由题知 x0，且满足约束条件 的图象为由图可知当 与 交于点 B(2,1)，当直线 过 B 点时，m 取得最大值为 1.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.11. 已知 为正实数，直线 与曲线 相切，则 的取值范围为_【答案】【解析】 , ,切点为 ,代入 ,得 , 为正实数
6、, , 则 ,令 ,则 , 则函数 为增函数,12. 已知函数 当 时， ，若对任意实数 ，都有 成立，则实数的取值范围_【答案】【解析】当 时， , 当 时, ,时, ,由 ,可得到 大致图形为,如图所示由图可以看出, ，若 a0.若 a0, 向左平移，若对任意实数 ，都有 ，则 且13. 函数 ， ，对区间 上任意不等的实数 ，都有 恒成立，则正数的取值范围为_【答案】【解析】设任意 ， 在 上单调递增，等价于 ，即 ，设 ，则 在（ 1，2 ）上单调递增，在（1，2）上恒成立，又 a 为正实数，14. 已知函数 ，当 时，对任意 ，使恒成立，则实数 的最大值为_【答案】【解析】令 ，则
7、g（x）=x2+ax+2a2=（x+a）（x2a），令 g（x）=0，则 x=a 或 x=2a，因为 ，所以 ，所以当 x1，a和 x（2a，2时，g（x）0，函数 g（x）单调递减，当 x（a，2a）时，g（x） 0，函数 g（x）单调递增，所以函数 g（x）的极小值为 ，又 ，令 ，易知，当 时，函数 h（a）单调递增，故 ，所以 g（2）g（a ），即当 x1，2时， ， 又 ，其对应图象的对称轴为 ，所以 时， ，所以 ，故有 ，又 ，因为 ，所以 ，所以 所以 的最大值为 .第卷（共 90分）二、解答题 （本大题共 6小题，共 90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 15.
8、 已知 都是锐角，且 ， .（1）求 的值；（2）求 的值.【答案】 （1） ；（2） .试题解析：（1）因为 ，所以 ，又因为 ，所以 .利用同角三角函数的基本关系可得 ，且 ，解得 .（2）由（1）可得， .因为 为锐角， ，所以 .所以 .16. 已知函数 在区间 上有最大值 5，最小值 2.（1）求 的值；（2）若 ， 在 上是单调函数，求实数 的取值范围.【答案】 （1） 或 ；（2） .【解析】试题分析：(1)函数对称轴为 x=1,分 和 讨论,可得函数在区间 上的单调性判断函数最值,代入可求出 a,b的值;(2)若 ,则根据(1)中求得值,即可确定 a,b的值,从而求出函数 解析
9、式,根据函数的单调性,可求出 m的取值范围.试题解析：（1） .当 时， 在 上为增函数，故 所以 解得当 时， 在 上为减函数，故 所以 解得故 或（2）因为 ，所以 ，即 ，.若 在 单调，则 或所以 或 ，即 或 .故实数 的取值范围是 .17. 已知圆 .（1）直线 与圆 相交于 两点，求弦 的长度；（2）如图，设 ， 是圆 上的两个动点，点 关于原点的对称点为 ，点 关于 轴的对称点为 ，如果直线 与 轴分别交于 和 ，问 是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】 （1）2；（2）见解析.【解析】试题分析：(1)先求出圆心(0,0)到直线 的距离,再利用弦长公式求得弦
10、长 AB 的值.(2)先求出 的坐标,用两点式求直线 的方程,根据方程求得他们在 y 轴上的截距 m,n 的值,计算 mn 的值,可得结论.试题解析：（1）由于圆心 到直线 的距离 .圆的半径 ，所以 .（2）由于 ， 是圆 上的两个动点，则可得 ， ，且 ， .直线 的方程为 ，令求得 .直线 的方程为 ，令求得 .显然 为定值.18. 某综艺频道举行某个水上娱乐游戏，如图，固定在水面上点 处的某种设备产生水波圈，水波圈生产秒时的半径（单位： ）满足 ； 是铺设在水面上的浮桥，浮桥的宽度忽略不计，浮桥两端 固定在水岸边.游戏规定：当点 处刚产生水波圈时，游戏参与者（视为一个点）与此同时从浮桥
11、的 端跑向端；若该参与者通过浮桥 的过程中，从点 处发出的水波圈始终没能到达此人跑动时的位置，则认定该参与者在这个游戏中过关；否则认定在这个游戏中不过关，已知 ， ，浮桥 的某个桥墩处点 到直线 的距离分别为 ，且 ，若某游戏参与者能以 的速度从浮桥端匀速跑到 端.（1）求该游戏参与者从浮桥 端跑到 端所需的时间？（2）问该游戏参与者能否在这个游戏中过关？请说明理由.【答案】 （1） ；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）设 ，由 ，解得 或 （舍）.求得直线 的方程为，与 联立可得 ，求得 AB,进而可得所需时间；（2）求得 时，点 坐标为 ，其中 . ， .构造函数，求导计算可得 时，
12、恒成立，所以该参与者在这个游戏中过关.试题解析：（1）建立如图所示的直角坐标系，则 ，直线 的方程为 .设 ，由 ，解得 或 .当 时， ，符合；当 时， ，不符合.所以 ，直线 的方程为 .由 解得 即 .所以 .所以，该游戏参与者从浮桥 端跑到 端所需的时间为 .（2）在 中， ， .设 时，该参与者位于点 ，则 ， .则 时，点 坐标为 ，其中 .， .令 ，则 时 ， 在 上为增函数，时 ， 在 上为减函数，故当 时， 取得最大值 .由于 ，所以 时， 恒成立.即该游戏参与者通过浮桥 的过程中，从点 处发出的水波圈始终没能到达此人跑动时的位置，所以该参与者在这个游戏中过关.点晴：本题考
13、查的是函数模型的应用。解决函数模型应用的解答题，要注意以下几点：读懂实际背景，将实际问题转化为函数模型对涉及的相关公式，记忆要准确在求解的过程中计算要正确.另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解 19. 已知椭圆 的离心率为 ，其左、右焦点分别为 ，点 是坐标平面内一点，且 ， （ 为坐标原点）.（1）求椭圆 的方程；（2）过点 且斜率为 的动直线交椭圆于 两点，在 轴上是否存在定点 ，使以 为直径的圆恒过该点？若存在，求出点 的坐标，若不存在，说明理由.【答案】 （1） ；（2）点 的坐标为 .【解析】试题分析：（1）设 的坐标，利用 和 求得 c，通过椭圆的离
14、心率求得 a，最后利用 a,b和 c的关系求出 b，则椭圆的方程可得.（2）设出直线 l 的方程，与椭圆方程联立消去 y，设 ， ，则可根据韦达定理表示出 和，假设在 y 轴上存在定点 ，满足题设，则可表示出 ，利用 ，求出 m 的值试题解析：（1）设 ， ， ，则由 ，得 ；由 得 ，即 .所以 .又因为 ，所以 .因此所求椭圆的方程为： .（2）设动直线的方程为： ，由 得 .设 ， ，则 ， .假设在 轴上是否存在定点 ，满足题设，则 ， .由假设得对于任意的 ， 恒成立，即 解得 .因此，在 轴上存在定点 ，使以 为直径的圆恒过该点，点 的坐标为 .20. 已知函数 恰有两个极值点 ，
15、且 .（1）求实数的取值范围；（2）若不等式 恒成立，求实数的取值范围.【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：()求出 , ， ,令 ， ,由此利用导数性质能求出实数 a的取值范围. ()由()得 ， ,两式相减,得 , ,从而,令 ，,得 ,令 ,则,令 ,则 ,由此利用分类讨论思想,结合导数性质能求出实数的取值范围.试题解析：（1）因为 ，依题意得 为方程 的两不等正实数根， ， ，令 ， ，当 时， ；当 时， ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减， ，当 时， ，所以解得 ，故实数的取值范围是 .（2）由（1）得， ， ，两式相加得，故两式相减可得 ，故所以 等价于 ，所以
16、所以 ，即 ，所以 ，因为 ，令 ，所以即 ，令 ，则 在 上恒成立， ，令 ，当 时， 所以 在 上单调递减，所以 在 上单调递增，所以 符合题意当 时， 所以 在 上单调递增故 在 上单调递减，所以 不符合题意；当 时，所以 在 上单调递增，所以 所以 在 上单调递减，故 不符合题意综上所述，实数的取值范围是 .2018届高三年级第二次学情检测数学加试试卷（物理方向考生作答）解答题（共 4小题，每小题 10分，共 40分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21. 已知向量 ， 夹角为锐角，求实数的 范围.【答案】 （ .【解析】试题分析：若 ， 夹角为锐角，则 且 不平行，可得 且
17、，可解得 的取值范围.试题解析： 且 不平行，所以 且解得： 且 ，所以，求实数 的取值范围为22. 定义域为 的函数 .若对于任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围.【答案】 .【解析】试题分析:根据函数 为奇函数且函数 为实数 上的减函数， 可化为,将不等式进行转化进行求解即可.试题解析:任取 ，不妨设则 ，则函数 为实数 上的减函数易知 又为 上的奇函数故不等式 可化为：即 恒成立，而 的最小值为所以23. 在 中，角 所对的边分别为 ，且 .（1）求边长 ；（2）若 的面积为 ，求边长.【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：本题主要考查正弦定理、余弦定理、特殊角的三角函数值、
18、三角形面积公式等基础知识，同时考查考生的分析问题解决问题的能力和运算求解能力. 第一问，利用正弦定理将边换成角，消去，解出角 C，再利用 解出边 b 的长；第二问，利用三角形面积公式 ，可直接解出 a边的值，再利用余弦定理 解出边 c 的长.试题解析：（）由正弦定理得 ，又 ，所以 ， 因为 ，所以 6 分（）因为 ， ，所以 据余弦定理可得 ，所以 12 分考点：正弦定理、余弦定理、特殊角的三角函数值、三角形面积公式.24. 已知 .（1）当 时，求 在 处的切线方程；（2）若存在 ，使得 成立，求实数的取值范围.【答案】 （1） ；（2 ） .【解析】试题分析: （1）求出 f（x）的导数，可得切线的斜率，由斜截式方程即可得到所求切线的方程；（2）由题意可得存在 x 00，+） ，使得 ，设 ,两次求导，判断单调性，对 a讨论，分 和 时，通过构造函数和求导，得到单调区间，可得最值，即可得到所求a的范围试题解析:（1） 时， ， ，所以 在 处的切线方程为（2）存在 ， ，即： 在 时有解；设 ，令 ，所以 在 上单调递增，所以1当 时， ， 在 单调增，所以 ，所以2当 时，设 ，令 ，所以 在 单调递减，在 单调递增所以 ，所以所以 设 ， ，令 ，所以 在 上单调递增，所以所以 在 单调递增， ，所以 ，所以所以，当 时， 恒成立，不合题意综上，实数的取值范围为 .
