1、2018 届广东省揭阳市惠来县第一中学高三下学期第一次阶段考试数学（理）试题一、选择题：本大题共 12 小题每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设 为虚数单位，复数 ，则 的共轭复数 在复平面中对应的点在（ ）i (2)1izizzA第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2.设集合 ， ，则 （ ）1|xe2|log0xABIA 或 B C D|x|1|01x|1x3. 甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后，甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正
2、确的是（ ）A. 丙被录用了 B. 乙被录用了 C. 甲被录用了 D. 无法确定谁被录用了4.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学典籍，其中第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果 （ ）nA. 5 B. 4 C. 3 D. 25.本学期王老师任教两个平行班高三 A 班、高三 B 班、两个班都是 50 名学生,如图反映的是两个班在本学期 5 次数学测试中的班级平均分对比,根据图表判断下列结论不正确的是（ ）历次数学测试班级平均分跟踪A.A 班的数学成绩平均水平好于 B 班 B.B
3、班的数学成绩没有 A 班稳定C.下次考试 B 班的数学平均分数高于 A 班 D.在第 1 次考试中,A,B 两个班的总平均分为 986.等差数列a n和等比数列b n的首项均为 1，公差与公比均为 3，则 ab1ab 2ab 3( )A.64 B.32 C.38 D.337. 在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的上、下顶点分别为 、 ，左顶点为xOy210xyab1B2，左焦点为 ，若直线 与直线 互相垂直，则椭圆的离心率为AF1AB2FA. B. C. D. 21325528.某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为( )A. B. C. D.6193 203 1639.奇函数 满足 ，
4、且 在 上是减函数，()fx()f()fx0,)则 的解集为（ ） 210()fxA. B. C. D.,(,1)(,(,1)(1,)10已知三棱锥 的各顶点都在一个半径为 的球面上， ，SABCr1ACBS，则球的表面积为2SBA B C D34381211在 C中，角 ,A的对边分别为 ,abc，且 2osBab，若 ABC的面积为 3Sc，则ab的最小值为（ ）A. 28 B. 36 C. 48 D. 5612. 定义: 如果函数 的导函数为 ,在区间 上存在 使得fxfx,ab1212,xaxb, ,则称 为区间 上的“双中值函数“.已知函数1fbfafx2bfaf,是 上的“双中值函
5、数“,则实数 的取值范围是32mgx0, mA. B. C. D. 48,48,34,3,二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13. 设 ，则 展开式的常数项为 20cosaxd6(2)ax14. 已知向量 ，若 （ 为实数），则 _.1,brrbrrabr15已知函数 若不等式 5fxm恒成立，则实数 的取值范围是2,ln12,xf_.16. 已知数列 ，若*2,1,Nnka2468102nfnaaaL，则 的表达式为： =_.*Nf f三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程。17. （12 分）在 中，内角 、 、 的
6、对边分别为 、 、 ，且 ABCBCabc2cosAaC（）求角 的大小； （）若点 满足 ，且 ，求 的取值范围D2ur3D2bc18.（本小题满分 12 分）2018 年某市政府出台了“2020 年创建全国文明城市（简称创文）”的具体规划，今日，作为“创文”项目之一的“市区公交站点的重新布局及建设”基本完成，市有关部门准备对项目进行调查，并根据调查结果决定是否验收，调查人员分别在市区的各公交站点随机抽取若干市民对该项目进行评分，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图，相关规则为：调查对象为本市市民，被调查者各自独立评分；采用百分制评分， 内认定为满意，80 分及以上认定为非常满意；市民对公
7、交站60,8)点布局的满意率不低于 60%即可进行验收；用样本的频率代替概率.（1）求被调查者满意或非常满意该项目的频率；（2）若从该市的全体市民中随机抽取 3 人，试估计恰有 2人非常满意该项目的概率；（3）已知在评分低于 60 分的被调查者中，老年人占 ，13现从评分低于 60 分的被调查者中按年龄分层抽取 9 人以便了解不满意的原因，并从中选取 2 人担任群众督察员，记 为群众督查员中老年人的人数，求随机变量 的分布列及其数学期望 . E19. （12 分）如图, 在四棱锥 中，平面 平面 ，PABCDPABCD， ， ， ，点 在棱 上，且ADBCP1PA2D90AE.E（）求证： ；
8、CDAE（）是否存在实数 ，使得二面角 的余弦值为 ？若存在，求出实数 的值；若不存在，CAED105请说明理由.20已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 轴上，离心率等于 ，它的一个顶点恰好是抛物线 的x3224xy焦点。（I）求椭圆 的标准方程；（II）若圆 与椭圆 交于 四点，当半径 为多少时，四边形 的面积22:OxyrC,ABDrABCD最大？并求出最大面积。21.（本小题满分 12 分）已知函数 2()xfea（）若曲线 在点 处的切线斜率为 1，求函数 在 上的最值； ()yfx0()fx0,1（）令 ，若 时， 恒成立，求实数 的取值范围；21()gfax()0gxa（）当 且
9、时，证明: 0ax2(ln1fe请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 .（22 ）（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与 轴非负半轴重合，直线 的参数方程为：xl为参数， )，曲线 的极坐标方程为： .1cos(inxtty0,C4cos（）写出曲线 的直角坐标方程;C（）设直线 与曲线 相交于 两点, 若 ，求直线 的斜率.lPQ7l（23 ）（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲设函数 .12fxx（）求不等式 的解集；f（
10、）当 时， 恒成立，求 的取值范围.0,2xm惠来一中 2017-2018 学年度第二学期第一次阶段考试高三理科数学答案1-6.DCCBCD 7-12.CBBBCB13. 14. . 1550,216. 16021423n17. 解：（） cosbAaC根据正弦定理得 1 分2insincoB3 分2sincosci sinAB又 5 分1i0,2A0,3（）在 中，根据余弦定理得 6 分BD 22cosADBADB即 7 分2192bcbc8 分23又 10 分22bc2293cbc11 分36又 , 12 分2bc26bc18. 解（1）根据题意：60 分或以上被认定为满意或非常满意，在频
11、率分布直方图中，评分在 的频率为： ；0,1(0.28.3016.4)0.782 分（2）根据频率分布直方图，被调查者非常满意的频率是 ，1(0.16.4)0.25用样本的频率代替概率，从该市的全体市民中随机抽取 1 人，该人非常满意该项目的概率为 ， 3 分15现从中抽取 3 人恰有 2 人非常满意该项目的概率为： ；23412()5PC5 分（3）评分低于 60 分的被调查者中，老年人占 ，又从被调查者中按年龄分层抽取 9 人， 13这 9 人中，老年人有 3 人，非老年人 6 人， 6 分随机变量 的所有可能取值为 0，1，2， 7 分8 分0236915()CP9 分136298()1
12、0 分036291()CP的分布列为：0 1 2P15362111 分的数学期望 . 12 分15120363E19. 解：（）过点 作 交 于 ，CFABD， ，1AB290C四边形 为正方形，且 ， 1 分12在 中， ，在 中， RtFD A 24ADCA2 分90,PA又平面 平面 ，平面 平面BCPDBC平面 3 分A平面 ，且,PA平面 CD4 分E（） 90PADA又平面 平面 ，平面 平面BCPDBCAD平面 ， 以点 为坐标原点， 、 、 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系， 5 分0,1,0,21,0,20APCDCAD6 分假设存在实数 使得二面角 的余弦值为 ，令AE5
13、CEP点 在棱 上， EPC0,1设 , ,1,xyzxyz则 ， 7 分1,AE平面 ， 平面 的一个法向量为 CDPC1,0nCD8 分设平面 的一个法向量为AE1,mxyz由 得 令 得0mD110yz1,0,01m取 10 分,2210cos, 51mn化简得 又 11 分23840,123存在实数 使得二面角 的余弦值为 . CAED10512 分来源:20. 解：（I）设焦距为 ，由已知 ， 1 分2c32cea2 分baab32即抛物线 的焦点为 ， 3 分24xy(0,1) ， ， 4 分1b椭圆 的标准方程为 . 5 分C214xy（II）联立 , 6 分22()xyr （1
14、）-（2）可得: ，得出： 7 分2234yr2243rxy由圆与椭圆的对称性可知：四边形设 为矩形，ABCD不妨设点 为圆与椭圆在第一象限的交点，那么 8 分A2243 Arxy9 分222 424616539BCDrrSr设 10 分222,ABCDtrt则当 11 分2max5,16ABtS则即当 12 分max10,42ABCDrS则21.解（） ， ， ， 1 分()2xfea(0)1fa0 ， ，记 ， ，2()xfexf 2xhe()2xhe令 得 2 分0hln当 时， ， 单减；当 时， ， 单增， l2x()0hx()xln21x()0hx()x ，故 恒成立，min()(
15、ln2h0f所以 在 上单调递增， 3 分fx0,1 ， 4 分min()()ffmax()(1)ffe（2） ， 21()()xgea()xgea令 ， ，xm1xm当 时， ， 在 上单增， 0()0()0,)min()(0)1xa5 分当 即 时， 恒成立，即 ， 在 上单增，1a1()x()0g()g,) ，解得 ，所以 6 分2min()(0)agx2a21a当 即 时， 在 上单增，且 ， 1a1()mx0,)(0)m当 时， ，2e(lnlna ，使 ，即 0(,ln)x0)x0xea当 时， ，即 ， 单减；(m(g()当 时， ，即 ， 单增 0(,l2)xa)xxgx ，
16、8 分0 0022min11)(xgeae 可得 ，由 ， 02xe0ln0x 0xae记 ， ，()xt(,l2 ， 在 上单调递增，10xte)tx(0,ln ， ， ()ln2ltx12lna上， 9 分,la（3）证明： 等价于 ，2()ln1fxex22ln1xexx即 ln1xe ，等价于 10 分 0xln10xee令1()lnxeh则 ， 2)(x 0x10xe当 时， ， 单减；当 x1 时， ， 单增01xh() ()0hx()x 在 处有极小值，即最小值， ()h ， 11 分110xe 且 时，不等式 成立 12 分0a2()ln1fxex22.解：（ ） ， 1 分2
17、4cos,4cos由 ,得 . 3 分 22,xyxyx所以曲线 的直角坐标方程为 . 4 分C2（）把 代入 ，整理得 1cosinty24xy26cos50t5 分设其两根分别为 ，则 6 分12,t12126cos,5,tt7 分22121143cs07PQttt得 ， ， 9 分 3cos256或所以直线 的斜率为 . 10 分 l23.解：（）当 时， ， ； 1 分2x125,x3x23x当 时， ； 2 分1,当 时， ， 3 分xx2x1x综上所述， ，即不等式 的解集为 . 4 分23()5f|23（）当 时， ， 5 分0,x123fx，即 ，即 . 6 分2fm23xm230x也就是 ，在 恒成立， 7 分10x,当 时， 取得最小值 ， 8 分22由 ，得 ，即 m 的取值范围是 . 10 分20m|
