1、2018 届内蒙古巴彦淖尔市第一中学高三 12 月月考数学（理）试题（解析版）第 I 卷 选择题（共 60 分）一、选择题（每小题只有一个正确答案。每小题 5 分，12 小题共 60 分）1. 若集合 ， ，则 等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ，又点睛：求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解在进行集合的运算时要尽可能地借助 Venn 图和数轴使抽象问题直观化一般地，集合元素离散时用 Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍2. 设 是虚数单位，若 ，则复数 的共轭复数是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析
2、】由题意可得 z=(2+i)(1i)=3i，则复数 z 的共轭复数是：3+i.本题选择 D 选项.3. 已知数列 满足 ， ，则 ( )A. 121 B. 136 C. 144 D. 169【答案】C【解析】由 可知，即 为等差数列，首项为 0，公差为 1故选：C4. 下列命题中真命题为（ ）A. ，使 B. ，C. D. ，【答案】B【解析】对于 A： .错；对于 B:令 ,因为 f(0)=0,所以 ， 成立。正确；5. 在 中， 分别为 的对边，如果 成等差数列， ， 的面积为 ，那么 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：由余弦定理得 ，又面积，因为 成等差数列，所以
3、 ，代入上式可得 ，整理得，解得 ，故选 B考点：余弦定理；三角形的面积公式6. 平面向量 满足 ， 在 上的投影为 ，则 的模为（ ）A. 2 B. 4 C. 8 D. 16【答案】B【解析】 在 上的投影为 ，又 ；，故选：B7. 已知 ，且 ，求 的最小值是A. 4 B. 6 C. 7 D. 9【答案】D【解析】由已知 ，且 ，则 当且仅当 即 时等号成立故选 D8. 四棱锥 的底面是一个正方形， 平面 是棱 的中点，则异面直线 与所成角的余弦值是 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】取 的中点 ，连接 . 为 的中点， ， 就是异面直线 与 所成的角. ，四边形 是正方形，
4、 .又 平面 ， ， .连接 ，与 交于 ，连接.四边形 是正方形， 为 的中点， ， 平面 ， .， .在 中， ， ，即异面直线 与 所成角的余弦值为 ；故选 B.点睛：本题是一道有关异面直线所成角的题目，在求解的过程中，首先要找到异面直线所成的平面角，根据题意取 的中点 ，连接 ，分析可知 就是异面直 线 与 所成的角；然后再由勾股定理可知， 为直角三角形，由此即可求出 的余弦值，进而求出结果.9. 定义 为 个正数 的“均倒数” ，已知数列 的前 项的“均倒数”为 ，又 ，则 为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由已知得 ，a1+a2+an=n（2n+1）=Sn当 n2
5、时，a n=SnSn1=4n1，验证知当 n=1 时也成立，an=4n1， ， 1 = 故选 C10. 函数 （其中 ）的部分图象如图所示，将函数 的图象（ ）可得的图象A. 向右平移 个长度单位 B. 向左平移 个长度单位C. 向左平移 个长度单位 D. 向右平移 个长度单位【答案】B【解析】依题意，知 A=1， T= = ，T= =，=2；又 +=2k+（kZ），=2k+ （kZ） ，又| ，= ，f（x）=sin（2x+ ），为了得到函数 ，可以将f（x）=sin（ ） 向右平移 个单位。故答案为 D。点睛：此题考查的是已知三角函数正弦图像，求解析式的知识方法，还考查了三角函数图像的平移
6、与变换。一般是先根据特殊点，比如最值点来求得 A，再根据零点找 w 值和周期，还有辅助角。图像变换满足的是左加右减。11. 若实数 满足不等式组 ，且 的最大值为 ，则 等于（ ）A. B. C. D. 1【答案】A【解析】实数 x，y 满足不等式组 ，的可行域如图：=3x+2y+23a 的最大值为：5，由可行域可知 z=3x+2y+23a，经过 A 时，z 取得最大值，由 ，可得 A（1，3）可得 3+6+23a=5，解得 a=2故选：A12. 设 、 分别是定义在 上的奇函数和偶函数，当 时， .且 .则不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因 .，即f（x）g（x
7、）0故 f（x）g（x）在（，0）上递增，又 f（ x） ，g（x）分别是定义 R 上的奇函数和偶函数，f（ x） g（x）为奇函数，关于原点对称，所以 f（x）g（ x）在（0，+ ）上也是增函数f（3）g（3）=0，f（3）g（3）=0所以 f（x）g（x）0 的解集为：x3 或 0x3故选 A点睛：本题根据导数的运算法则构造新函数 f（x）g（x），利用新函数的单调性与奇偶性，数形结合得到所求不等式的解集.本题的关键所在合理构造，易错点是新函数的奇偶性受原函数的影响.第 II 卷（非选择题）二、填空题（每小题 5 分，4 小题共 20 分）13. 某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体
8、积为_【答案】【解析】有三视图可知，该几何体由两部分构成，下方为三棱柱，上方为三棱锥.此几何体的体积为故答案为：点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.14. 若三棱锥 的底面是以 为斜边的等腰直角三角形， ，则该三棱锥的外接球的表面积为_【答案】【解析】由题意，点 S 在底面上的射影 D 是 AB 的中点，是三角形 ABC 的外心，令球心为 O，如图在直角三角形 ODC 中，由于 AD=1，SD= =
9、，则（ R）2+12=R2，解得 R= ，则 S 球 =4R2=故答案为： 15. 若 ，则 =_【答案】【解析】 ，f（x）+f（1x）= += += =1，=500 + =500故答案为：50016. 下面有关函数 的结论中，正确的序号是_ 的周期为 在 上是减函数 的一个对称中心是 的图象向右平移 个单位得到函数 的图象.【答案】【解析】对于函数 ，它的周期等于 = 故 正确令 ，kz，解得 + xk+ ，故函数的减区间为k+ ，k+ ，kz，故 f（x）在 上是减函数，故正确令 =k，可得 x= ，kz，故 f（x）的一个对称中心是 ，故正确将 的图象向右平移 个单位得到函数 y=3s
10、in2（x ）+ = 的图象，故不正确故答案为：三、解答题17. 已知 分别为 三个内角 的对边， （）求角 ; （）若 , 的面积为 ，求 两边.【答案】 （1） ;（2） .【解析】试题分析：（1） 利用正弦定理得 ，把写成 ，整理得出 ， （2） 的面积为 ，得出 ，利用余弦 cosA，联立得出 b,c.试题解析：（1） ，（2） ,，.点睛：在解三角形的问题中使用正弦定理与余弦定理进行边角互化，A+B+C= 也经常使用.18. 在四棱锥 中， 底面 ，底面 是直角梯形, ， ， （）求证： ；（）求证： 平面 ；【答案】(1) 见解析(2)见解析【解析】试题分析：（1）由 ABCD，利
11、用直线与平面平行的判定定理即可得证；（2）可求 BD= ，由勾股定理的逆定理知，CBBD，又由 PD底面 ABCD，CB平面 ABCD，可证 CBPD，即可证明 BC平面 PBD试题解析：（1） , ， ；（2）在直角梯形 中， ， ， ，在 中，由勾股定理的逆定理知，是直角三角形，且 ， 又 底面 ， , ， ， 平面 点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.19. 已知单调递增的等比数列 满足 ，且 是 , 的等差中项.（）求数列 的通项公式；
12、（）若数列 满足 ，求数列 的通项公式；【答案】 （） ;（） .【解析】试题分析：（）设此等比数列为 ， ， ， ，其中 ， 由已知列式求得首项和公比，则通项公式可求；（）由（1）可知， ，代入 ，得（ ），两式作差得 （n2） 求出首项，可得数列b n的通项公式试题解析：（）设此等比数列为 ， ， ， ，其中 ， .由题意知： ，. 得 ，即 ，解得 或 . 等比数列 单调递增， ， ， ；（）由（）可知 （ ），由 （ ），得 （ ），故 ，即 （ ），当 时， ， ，20. 已知数列 满足 ， ，其中 .（）设 ，求证：数列 是等差数列，并求出 的通项公式；（）设 ，数列 的前 项和为
13、 ，是否存在正整数 ，使得 对于 恒成立，若存在，求出 的最小值，若不存在，请说明理由 .【答案】(1) ;(2) 的最小值为 3.试题解析：（1）证明： ，所以数列 是等差数列，因此 ，由 .（2）由 ，所以 ，所以 ，因为 ，所以 恒成立，依题意要使 对于 ，恒成立，只需 ，且 解得 ， 的最小值为 .【方法点晴】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，掌握一些常见的裂项技巧： ； ； ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.21. 已知函数 .（）求函数 的单调区间； （）若函数 的
14、图象在点 处的切线的倾斜角为 ，对于任意的 ,函数在区间 上总不是单调函数，求 的取值范围；（）求证： .【答案】 （1）当 时，单调增区间为 ，减区间为 ，当 时，单调增区间为 ，减区间为 ，当 时， 不是单调函数；（2） ；（3）证明见解析.【解析】试题分析：（1）由 ，然后对 、 和 分三种情况进行讨论；（2）由题知可得 一定有两个不等的实根 ,不妨设 在 上递减， 在上递增 ；（3）由（1）知当 时，在 上递增 试题解析：（1）由 ， 当 时，显然 时， ；当 时， ，所以此时 的单调增区间为 减区间为 ； 同理当 时， 的单调增区间为 ， 减区间为； 当 时， 不是单调函数（2）由题
15、知 ，得 ，所以 ，所以.因为 ,所以 一定有两个不等的实根,又因为 .不妨设 ,由已知 时 时 ，即 在 上递减，在 上递增， 依题意知 ，于是只需 得 .（3）由（1）知当 时， 在 上递增，所以.在上式中分别令 得，以上不等式相乘得 ，两边同除以 得，即证考点：1、函数的单调性；2、函数与不等式.【方法点晴】本题考查函数的单调性、函数与不等式，涉及分类讨论思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数
16、，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想的应用.22. 选修 4-5：不等式选讲已知函数 .（）解不等式 ；（）若不等式 有解，求实数 的取值范围 .【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：（1）分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后求并集即可得结果；（2）不等式 有解等价于不等 有解，根据基本不等式求出 解不等式即可.试题解析：（1） ，则当 时，不成立；当 时， ，解得 ；当 时， 成立，故原不等式的解集为 .（2）由 即 有解，转化为求函数 的最小值，恒成立.当且仅当 即 或 时，上式取等号，故 的最小值为 ，即 ，即 或 ， 或 ，故实数 的取值范围是 .23. 选修 4 5：不等式选讲已知函数 （）求不等式 的解集 ；（）当 时，证明： 【答案】 （1） ；（2）见解析【解析】试题分析：（1）由 ，得 ，解出即可； （2）利用作差法可得结论.试题解析：（1）由 ，得 ，即 ，解得 ，所以 ；（2）法一：因为 ，故 ， ， ， ，故 ，又显然 ，故 法二：因为 ，故 ， ，而，即 ，故
