1、2017-2018 学年内蒙古集宁一中高三上学期第二次月考数学（理）一、选择题：共 12 题1. 已知集合 ,集合 ,则A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ， ，则 ，选 D.2. 设复数满足 ,则A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ，所以 ，选 C.3. “ ”是“ ”的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】 等价于 ，也就是 或者 ， ，故“”是 的必要不充分条件.4. 圆 的圆心到直线 2 的距离为 1,则A. B. C. D. 【答案】A5. 若 是两个单位向量,且 ,则A. B. C. D. 【答案】
2、A【解析】因为 ，所以 ，故 ，所以 ，又 ，故 ，选 A.6. 已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为A. B. C. D. 【答案】C【解析】由三视图可知：该几何体由圆锥的 与一个三棱柱组成的。该几何体的体积 ；故选 D.7. 等差数列 的前 项和为 ,已知 ,则 的值为A. B. C. D. 【答案】C【解析】由等差数列的性质可知 即 故本题答案选 8. 若将函数 的图象向左平移 个单位长度,则平移后图象的对称轴为A. B. C. D. 【答案】B【解析】 的对称轴为 ，左移 个单位长度后，对称轴为 ，选 B.9. 变量 满足条件 ,则 的最小值为A. B. C. D. 【答案
3、】C【解析】由约束条件画出可行域，如下图，可知当过 A(0,1)点时，目标函数取最小值 5，选 C.10. 已知 且 ,则 的最小值为A. 8 B. 5 C. 4 D. 6【答案】A【解析】 ，又因为 ，故 ，也就是 ，所以 ，当且仅当时等号成立，故选 A.11. 过双曲线的一个焦点 作垂直于实轴的弦 是另一焦点,若 是等腰直角三角形,则双曲线的离心率等于A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意得 选 C.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 的方程或不等式，再根据 的关系消掉 得到 的关系式，而建立关于 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质
4、、点的坐标的范围等.12. 设函数 ,若关于 的方程 有四个不同的解 ,且 ,则的取值范围是A. B. C. D. 【答案】D【解析】由图像可以知道 ， ，故 ，其中 ，考虑函数为单调减函数，所以其值域为 ，选 D.点睛：此问题为多变量问题，我们需要通过函数的图像找出各个变量的之间的关系，把目标函数转化为一元函数，注意 的取值范围.二、填空题：共 4 题13. 已知偶函数 在区间 上单调递减,则满足 的 的取值范围是_.【答案】【解析】由题设有 ，解得 ，填 .14. 一个圆经过椭圆 的三个顶点,且圆心在 轴的正半轴上,则该圆的标准方程为_.【答案】 .【解析】设圆心为（，0） ，则半径为 ，
5、则 ，解得 ，故圆的方程为 .考点：椭圆的几何性质；圆的标准方程15. 在正方体 ABCDA 1B1C1D1中,若棱长 AB=3,则点 B 到平面 ACD1的距离为_.【答案】 .【解析】考虑三棱锥 的体积，设所求距离为 ，因 为等边三角形且其边长为 ，故面积为， 到平面 的距离为 ， ，故 ，故 ，故填 .点睛：立体几何中，求点到平面的距离，可以利用题设中已有的线面垂直或面面垂直或者利用等积法，找出合适的底面和易求的高.16. 定义在 上的连续函数 满足 ,且 在 上的导函数 ,则不等式 的解集为_.【答案】 .点睛：本题的解答过程中，充分借助题设条件，巧妙地构造函数 ，从而借助导数的求导法
6、则及导数与函数单调性的关系，判断出该函数的单调递减函数，进而为解不等式创造出模型。解答本题的难点在于怎样观察并构造出函数，然后再用导数知识判断其单调性，进而将不等式进行等价转化。三、解答题：共 5 题17. 在 中,边, 分别是角 的对边,且满足等式 = .(1)求角 的大小 ;(2)若 ,且 ,求 .【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）题设中的条件是边角的关系，利用正弦定理把它转化为角的三角关系，化简可得 ，从而求出 .（2）中利用构建关于 的关系式， ，配凑后得到 .解析：(1)由 ，得 ，则 ，因为,所以 ，因为 ,所以 .(2)由 , 得 ,由余弦定理得 ，且 得 ，即
7、 ,所以 .18. 已知直线 与椭圆 有且只有一个公共点 .(1)求椭圆 C 的标准方程;(2)若直线 交 C 于 A,B 两点,且 OA OB(O 为原点),求 b 的值.【答案】(1) ;(2)b=2 或-2.【解析】试题分析：（1）因为直线与椭圆相切，故可联立方程组消元得到的一元二次方程的判别式为 0，得到 ，再利用点椭圆上得到 ，从而解出 ，也就是椭圆方程为 .（2）设 ，直线 ，把 转化为 ，联立方程，利用韦达定理进一步转化可解出 或 .解析：(1)由 在椭圆上,可得 ,由直线与椭圆有且只有一个公共点,则,消去 可得 ,由题意可得 ,即为 ,由,且 ,解得 ,即有椭圆方程为 ;(2)
8、设 消去 ,可得 ,判别式由 即为 ,则 解得 或 ，代入判别式符合要求,则 或 .19. 已知数列 满足 ,且 .(1)证明数列 是等差数列;(2)求数列 的前 项和 .【答案】(1)见解析；（2） .【解析】试题分析：（1）对题设中的递推关系变形为 ，从而得到一个新的等差数列 ，其通项为 ，由此得 .（2）利用错位相减法求 .解析：(1)由 ,等式两端同时除以 到,即 ,(2) ,数列 是首项为 ,公差为 的等差数列, ，数列 的前 项和:,得:，即 .20. 如图,在菱形 ABCD 中, ABC=60,AC 与 BD 相交于点 O,AE平面 ABCD,CF/AE,AB=AE=2.(1)求
9、证: BD平面 ACFE;(2)当直线 FO 与平面 BDE 所成的角为 45时,求二面角 BEFD 的余弦值.【答案】 （1）见解析；（2）余弦值为 .【解析】试题分析：（1）因为底面是菱形，故 ，而由 平面 可得 ，故 平面.（2）取 的中点为 ，以 为坐标原点,以 为 轴,以 为 轴，以 为轴,建立空间直角坐标系，利用空间向量计算二面角的余弦值.解析：(1)证明: 在菱形 中,可得 ，又因为 平面 , ，且平面 .(2)取 的中点为 ，以 为坐标原点,以 为 轴,以 为 轴，以 为轴,建立空间直角坐标系，则，则 ,设平面 的法向量 ，由 ，也就是 ，可取 则 ，解得 ，故设平面 的法向量
10、为设平面 的法向量为 ,同理可得 则 ，则二面角 的余弦值为 .点睛：求二面角的余弦值时，如果不易构造二面角的平面角，则考虑用空间向量的方法求两个平面的法向量，通过向量的夹角来计算二面角的平面角的余弦值.21. 已知抛物线 的焦点为 F,直线 与 x 轴的交点为 P,与抛物线的交点为 Q,且 .(1)求抛物线的方程;(2)过 F 的直线 l 与抛物线相交于 A,D 两点,与圆 相交于 B,C 两点( A,B 两点相邻),过 A,D 两点分别作抛物线的切线,两条切线相交于点 M,求 ABM 与 CDM 的面积之积的最小值.【答案】 （1） x2=4y;（2）1.【解析】试题分析：（1）利用 构建
11、关于 的方程，解得 ，也就是抛物线的方程为 .（2）设直线 ，利用焦半径公式可以得到 ，其中 为 到直线的距离，联立直线和抛物线的方程，消去 后可以得到 ，利用导数可以求出过 的切线方程，从而求出 ，故 ，从而求出面积乘积的最小值为 .解析：（1）由题意可知 ,由 ,则 ,解得 ，抛物线 .（2）设 ，联立 ，整理得: ， 则 ，由 ，求导，直线 同理求得 ，则 ,解得: ,则 ,到的距离 , 与 的面积之积为：点睛：圆锥曲线中的最值，往往需要构建目标函数，其自变量是斜率，截距或角等.在目标函数构建的过程中，应关注问题是否有焦点或准线有关以判断是否可以利用几何性质.另外，求抛物线 的切线，可以考虑利用导数来求切线的斜率.
