1、天津市第一中学 20172018 学年度高三年级二月考试卷数 学（文史类）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ，则 （ ）A. 0,1,2 B. 1,2 C. 0 D. 0,1【答案】D【解析】集合 A=0，1，2，B=x|x25x+40=x|1 x4，故选：B点睛：本题考查集合的运算，主要是交集、补集的求法，考查真子集的求法，属于基础题2. 是 的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】A【解析】因为 ，所以 ，两边
2、同乘以 得： ，当 时，可得 ，推不出 ，综上是 的充分不必要条件，故选 A.3. 执行如图所示的程序框图，若输入 的值为 2，则输出的 值为（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】C【解析】模拟执行程序，可得A=2，S=0，n=1不满足条件 S2，执行循环体，S=1，n=2不满足条件 S2,执行循环体,S=32，n=3不满足条件 S2,执行循环体,S=116，n=4不满足条件 S2,执行循环体,S=2512，n=5满足条件 S2，退出循环，输出 n 的值为 5.故选：C点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括顺序结构、条件结构、循
3、环结构，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.4. 设 为空间两条不同的直线， 为空间两个不同的平面，给出下列命题：若 ，则 ； 若 ，则 ；若 ，则 ； 若 ，则 .其中所有正确命题的序号是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】对于，若 m，m，则 与 可能相交；故 错误； 对于，若 m，mn 则 n 可能在 内；故错误；对于，若 m，m，根据线面垂直和线面平行的性质定理以及面面垂直的判定定理得到；故正确； 对于，若 m，则根据线面垂直的性质定理以及面面平行的性质定理得到 m；故正确；故选 B点睛：本题考查了空间
4、线面平行、线面垂直面面垂直的性质定理和判定定理的运用；熟练掌握定理是关键5. 已知奇函数 在 上是增函数， 若 ， ，则 的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为 是奇函数且在 上是增函数，所以在 时， ，从而 是 上的偶函数，且在 上是增函数，又 ，则 ，所以即 ，所以 ，故选 C【考点】 指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.6. 已知函数 当 时， ，则的取值范围
5、是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】当 x1x2 时， 0， f（x）是 R 上的单调减函数，f（x）= ， ，0a ，故选：A7. 设函数 ，若 在区间 上单调，且 ，则 的最小正周期为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】函数 f（x）=sin（x+），A0，0，若 f（x）在区间 ， 上单调， = = ，即 ，03 f（ ）=f（ ）=f（ ），x= = ，为 f（x）=sin（x+）的一条对称轴，且（ ，0）即（ ，0）为 f（x）=sin（x+）的一个对称中心， = = = ，解得 =2（0，3，T= =，故选：D点睛：本题考查三角函数的周期性及其求法，确定
6、x= 与（ ，0）为同一周期里面相邻的对称轴与对称中心是关键，也是难点，属于难题8. 已知 均为正数，且 ，则 的最小值为（ ）A. 6 B. 7 C. 8 D. 9【答案】B【解析】a，b 均为正数，且 aba2b=0， =1则 = +b21（ +b2）（1+1） 16，当且仅当 a=4，b=2 时取等号 +b28， = +b217故选 B.点睛：本题考查“ 乘 1 法” 、基本不等式的性质、柯西不等式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）9. 已知是实数， 是纯虚数，则 _.【答案】【解析】设 =bi（b0） ，则 ai=（2+
7、i）bi=b+2bi， ，解得 a= 故填： 10. 曲线 在点 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积是 _.【答案】【解析】 ，在点 P（1，0）处的切线斜率为 k=1，在点 P（1，0）处的切线 l 为 y0=x1，即 y=x1，y=x1 与坐标轴交于（ 0，1），（1，0）切线 y=x1 与坐标轴围成的三角形面积为 S= 11= 故答案为： 点睛：本题考查了导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，以及三角形的面积计算，属于基础题11. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为_.【答案】【解析】根据三视图知几何体是组合体，中间是长宽高分别为 1，2，2 的长方体、两边是两个半圆
8、锥，半径为 1，高为 2，该几何体的体积 V=122+ 122=4+ ，故答案为 4+ 点睛：本题考查由三视图求几何体的体积，以及几何体的体积公式，考查空间想象能力，三视图正确复原几何体是解题的关键12. 圆心在直线 ，且与直线 相切于点 的圆的标准方程为_.【答案】【解析】圆心在直线 y=4x 上，设圆心 C 为（a， 4a） ，圆与直线 x+y1=0 相切于点 P（3，2），则 kPC= =1，a=1即圆心为（1，4）r=|CP|= =2 ，圆的标准方程为（x1） 2+（y+4）=8故答案为：（x1） 2+（y+4）=8点睛：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，
9、圆的标准方程，以及直线的点斜式方程，当直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径属于基础题13. 在 中，已知 ,若点 满足 ,且 ,则实数的值为_【答案】1 或【解析】 中， ，点 满足 ， ， ，又 ，整理得 ，解得或 ，故答案为 或 .14. 已知函数 若函数 有三个零点，则实数 的取值范围为_【答案】【解析】函数 ,若函数 有三个零点，就是 与 有 3 个交点，画出两个函数的图象如图：,当 x6，可得 b6；当 时, 当 时取得最大值,满足条件的 .综上, .给答案为： .点睛：已知函数有零点求参数常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确
10、定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成函数的值域问题解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 在 中，角 所对的边分别为 ，且 ，已知 , ， .（I）求和的值 （II）求 的值【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）由向量的数量积运算 及三角形余弦定理可求得 a,c 的关系式，解方程可求得其值；由正弦定理可求得角 B,C 的正余弦值，代入公式可求得 的值试题解析：（1）由 ，得： ，又 ，所以 .由余弦定理，得 .又
11、 ，所以 .解 ，得 或 .因为 ， .（2）在 中， .由正弦定理，得 ，又因为 ，所以 为锐角，因此 .于是 .考点：正余弦定理解三角形及三角函数基本公式16. 某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告，广告总费用不超过 9 万元甲、乙电视台的广告收费标准分别为 500 元/分钟和 200 元/分钟甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为 0.3 万元和 0.2 万元设该公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别为 分钟和 分钟.（）用 列出满足条件的数学关系式，并画出相应的平面区域;（）该公司如何分配在甲、乙两个电视台做广告的时间使公司的收益最
12、大，并求出最大收益是多少?【答案】(1)详见解析(2) 该公司在甲电视台做 100 分钟广告，在乙电视台做 200 分钟广告使公司的收益最大，最大收益是 70 万元.【解析】试题分析：（I）根据广告费用和收益列出约束条件，作出可行域；（II）列出目标函数 z=3000x+2000y，根据可行域判断最优解的位置，列方程组解出最优解得出最大收益试题解析：（I）设该公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别为 分钟和 分钟，则 ， 满足的数学关系式为该二次元不等式组等价于做出二元一次不等式组所表示的平面区域（II）设公司的收益为元，则目标函数为：考虑 ，将它变形为 .这是斜率为 ，随变化的一族平行直线，
13、当截距 最大，即最大 .又因为 满足约束条件，所以由图可知，当直线 经过可行域上的点 时，截距 最大，即最大.解方程组 得 ,代入目标函数得 .答：该公司在甲电视台做 100 分钟广告，在乙电视台做 200 分钟广告使公司的收益最大，最大收益是 70万元.17. 如图，边长为 的正方形 与梯形 所在的平面互相垂直，其中的中点.（）证明: 平面（）求二面角 的正切值（）求 与平面 所成角的余弦值【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：（）推导出 OMAC，由此能证明 OM|平面 ABCD（）取 AB 中点 H，连接 DH，则EHD 为二面角 DABE 的平面角，由此能求出二面角 DABE的正切
14、值（）推导出 BDDA，从而 BD平面 ADEF，由此得到BFD 的余弦值即为所求试题解析：（I） 分别为 的中点平面 平面平面（II）取 中点 ，连接, 又 为二面角 的平面角又 平面 平面 ，平面 平面 平面平面 的余弦值即为所求在 中， 与平面 所成角的余弦值为点睛：本题考查线面平行的证明，考查二面角的正切值的求法，考查线面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养18. 已知数列 的前 项和为 ，（）求数列 的通项公式（II）设 ， 为 的前 项和，求【答案】 （1）详见解析（2）【解析】试题分析：（1）利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出；（2）当 n
15、为奇数时，b n= = ；当 n 为偶数时， bn= = 分别利用“裂项求和 ”、“错位相减法” 即可得出试题解析：（1） 又 数列 是以 2 为首项，公比为 2 的等比数列由（1）知所以设 ，则 ，两式相减得 ，整理得 ，所以 .点睛：本题考查了递推关系、等比数列的通项公式前 n 项和公式、 “裂项求和”方法、 “错位相减法” ，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19. 已知数列 中， （I）求证：数列 是等比数列（II）求数列 的通项公式（III）设 ，若 ，使 成立，求实数 的取值范围.【答案】 （1）详见解析（2） （3）【解析】试题分析：（I）由 ，变形为 利用等比数列的定义即可证
16、明（II）由（I）可得： ，利用“累加求和”方法、等比数列的求和公式即可得出（III） ，可得 利用“裂项求和”方法可得 Sn，再利用数列的单调性、不等式的解法即可得出试题解析：（I）证明： ，.， ， .数列 是首项、公比均为 2 的等比数列（II）解： 是等比数列，首项为 2，通项 ，故，当 时， 符合上式，数列 的通项公式为（III）解： ，故若 ,使 成立，由已知，有 ，解得 ，所以 的取值范围为点睛：本题考查了递推关系、等比数列的定义及其通项公式、 “裂项求和”方法、 “累加求和” 方法、数列的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题20. 已知函数 ，其中为自然对数
17、的底数，（I）若 ，函数求函数 的单调区间若函数 的值域为 ,求实数 的取值范围（II）若存在实数 ,使得 ，且 ，求证：【答案】 （1）详见解析实数 的取值范围是 ；（2） ；【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；求出函数的导数，通过讨论 m 的范围得到函数的值域，从而确定 m 的具体范围即可；（2）求出函数 f（x）的导数，得到 a0 且 f（x）在（， 递减，在 ，+）递增，设 ，则有 ，根据函数的单调性得到关于 m 的不等式组，解出即可试题解析：（1）当 时， . .由 得 ，由 得 .所以函数 的单调增区间为 ，单调减区间为 .当 时，
18、 ，所以 在区间 上单调递减；当 时， ，所以 在区间 上单调递增.在 上单调递减，值域为 ,因为 的值域为 ，所以 ，即 . 由可知当 时， ，故 不成立.因为 在 上单调递减，在 上单调递增，且所以当 时， 恒成立，因此 .当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，所以函数 在 上的值域为 ，即 .在 上单调递减，值域为 .因为 的值域为 ，所以 ，即 .综合 1,2可知，实数 的取值范围是 .（2） .若 时， ，此时 在 上单调递增.由 可得 ，与 相矛盾，同样不能有 .不妨设 ，则有 .因为 在 上单调递减，在 上单调递增，且 ，所以当 时， .由 ，且 ，可得故 .又 在 单调递减，且 ，所以 ，所以 ，同理 .即 解得 ，所以 .点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.
