1、试卷第 1 页，总 11 页绝密启用前 试卷类型：A2018 年茂名市高三级第一次综合测试数学试卷（文科） 2018.1本试卷分选择题和非选择题两部分，共 6 页，23 小题，满分 150 分，考试时间 120 分钟.注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上.2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内. 写在试题卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂
2、黑. 答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5考试结束后，请将答题卡上交.第一部分 选择题（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1若集合 A=x|1x 3，B=1, 0, 1, 2，则 AB=( )A. 1, 0, 1, 2 B. x|1x 3 C. 0,1, 2 D. 1, 0, 12已知复数 z 满足 zi=2+i，i 是虚数单位，则|z|=( )A. B. C. 2 D. 353在 1, 2, 3, 6 这组数据中随机取出三个数，则数字 2 是这三
3、个不同数字的平均数的概率是( )A. B. C. D. 1411344已知变量 满足约束条件 则 的最小值为( ) ,xy2,41yxzxyA. 11 B. 12 C. 8 D. 35设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 a2+a8=10，则 S9= ( )A. 20 B.35 C. 45 D. 906已知抛物线 的准线与 x 轴交于点 D,与双曲线 交于 A, B 两点，点 F 为抛物线的焦点，28yx21xym若ADF 为等腰直角三角形，则双曲线的离心率是( )A. B. C. D. 552127已知函数 f(x)=sin(x+) (0, 0 )，f(x 1)=1，f(x 2)=0，
4、若|x 1x2|min= ，且 f( ) = ，则 f(x)的 12单调递增区间为( )A. B. 512,6kZ5+,.6kZC. D. +k 7128函数 的部分图象大致为( )|e()3xf9 算法统宗是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一栋七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有 381 盏灯，则该塔中间一层有（ ）盏灯.A.24 B.48 C.12 D.6010执行如图所示的程序框图，那么输出 S 的值是( )A.2 018 B. 1C. D.21211右图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列
5、四个命题：AFGC；BD 与 GC 成异面直线且夹角为 60；BDMN；BG 与平面 ABCD 所成的角为 45.其中正确的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.412定义在 R 上函数 的图象关于直线 x=2 对称，且函数 是偶函数. 若当 x0,1时，(2)yfx (1)fx，则函数 在区间2018,2018上零点的个数为( )()sin2fx|()gfeA. 2017 B. 2018 C. 4034 D. 4036B11O xy-111ODxy11OAxy-111OCxy-1否S= 2是结束输出 Sk2018?开始 1Sk=0k=k+1 第 10 题图A BDENCGFM第 11 题图
6、试卷第 3 页，总 11 页第二部分 非选择题（共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置.13已知 则 (2,1)(,1)abab14曲线 在点(1, ln2)处的切线方程为 lnyx15从原点 O 向圆 C: 作两条切线，则该圆被两切点所分的劣弧与优弧之比为 2270xy16如图，三棱锥的所有顶点都在一个球面上，在ABC 中，AB= ，3ACB=60，BCD=90，AB CD，CD= ，则该球的体积2为 三、解 答 题 ： 本 大 题 共 7 小 题 ， 共 70 分 .其 中 17 至 21 题 为 必 做 题 ， 22、 23
7、 题 为 选 做 题 . 解 答 过 程 应 写 出文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .17. （本小题满分 12 分）已知ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c,且 .osBba（）求角 C 的大小； （）设角 A 的平分线交 BC 于 D，且 AD= ，若 b= ，求ABC 的面积. 3218. （本小题满分 分）12在四棱锥 PABCD 中，AD BC，平面 PAC平面 ABCD，AB=AD=DC=1，ABC=DCB=60，E 是 PC 上一点.（）证明：平面 EAB平面 PAC；（）若PAC 是正三角形，且 E 是 PC 中点，求三棱锥 AE
8、BC 的体积.19 （本小题满分 12 分）一只药用昆虫的产卵数 y 与一定范围内的温度 x 有关, 现收集了该种药用昆虫的 6 组观测数据如下表：DCBA第 16 题图BAPEDC第 18 题图温度 x/C 21 23 24 27 29 32产卵数 y/个 6 11 20 27 57 77经计算得： ， ， ， ，612i613iy61()57iixy621()84ix，线性回归模型的残差平方和 ，e 8.06053167，其中 xi, yi 分别为观测621()390iiy 23.4ii数据中的温度和产卵数，i=1, 2, 3, 4, 5, 6.()若用线性回归模型，求 y 关于 x 的回
9、归方程 = x+ （精确到 0.1）；yba()若用非线性回归模型求得 y 关于 x 的回归方程为 =0.06e0.2303x，且相关指数 R2=0.9522.( i )试与() 中的回归模型相比，用 R2 说明哪种模型的拟合效果更好.( ii )用拟合效果好的模型预测温度为 35C 时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）. 附：一组数据(x 1,y1), (x2,y2), .,(xn,yn ), 其回归直线 = x+ 的斜率和截距的最小二乘估计为yba= ；相关指数 R2= 12),(niiiiibxab21()niiiiiy20 （本小题满分 12 分）已知椭圆 C1 以直线 所过的定点为一
10、个焦点，且短轴长为 4.50mxy（）求椭圆 C1 的标准方程；（）已知椭圆 C2 的中心在原点，焦点在 y 轴上，且长轴和短轴的长分别是椭圆 C1 的长轴和短轴的长的倍( 1)，过点 C(1,0)的直线 l 与椭圆 C2 交于 A，B 两个不同的点，若 ，求OAB 的面2AB积取得最大值时直线 l 的方程 .21.（本小题满分 12 分）已知函数 (aR).()ln2gxx（）讨论 的单调性；（）若 . 证明：当 ，且 时， 11()()fgxx0x 1ln()1xf请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时，请用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的
11、题号涂黑22 （ 本 小 题 满 分 10 分 ） 选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中，直线 l 经过点 P(2,0)，其倾斜角为 ，在以原点 O 为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中（取相同的长度单位） ，曲线 C 的极坐标方程为 4cos0（）若直线 l 与曲线 C 有公共点，求倾斜角 的取值范围；（）设 M(x,y)为曲线 C 上任意一点，求 的取值范围3xy试卷第 5 页，总 11 页23 （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 ()|3|5|fxx（）求不等式 的解集；2（）设函数 的最大值为 M，若不等式 有解，求 m 的取值范围f 2xM
12、绝密启用前 试卷类型：A2018 年茂名市高三级第一次综合测试数学试卷（文科）参考答案及评分标准一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C D A C C D B C A C B D提示：2 【 解析】 ， |z|= ，故选 D.2i1iz53 【 解析】在 1, 2, 3, 6 这组数据中随机取出三个数，基本事件总数(1, 2, 3), (1, 2, 6), (1, 3, 6),(2, 3, 6)共 4 个，则数字 2 是这三个不同数字的平均数所包含的基本事件只有 (1, 2, 3) 1 个.因此，数字
13、2 是这三个不同数字的平均数的概率是 . 故选 A.14p4 【 解析】由约束条件 作出可行域如图，,41yx联立 ，解得 A(2, 2)，2,4yx化目标函数 z=3x+y 为 y= 3x+z，由图可知，当直线 y= 3x+z 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最小，z 有最小值为 z=32+2=8故选 C.5 【 解析】由等差数列的性质得， a1+a9=a2+a8=10，S 9= .故选 C.19()0452a41OAxy-1 x+y=4y=2xy=142z=3x+y6 【 解析】抛物线的准线方程为 ，准线与 x轴的交点为 ， ADF为等腰直角三角形，得2x(2,0)，故点 A 的坐标为
14、，由点 A在双曲线 上，可得 ，解得|4ADF(,4) 1xym2()41m，即 ，所以 ，故双曲线的离心率 .故选 D.17m217a217cm4cea7 【 解析】：设 f(x)的周期为 T，由 f(x1)=1，f(x 2)=0，|x 1 x2|min= ,得 ,22T由 f( ) = ，得 sin( +)= ，即 cos= ，又 0 ， = ，f (x)=sin(x ).2233由 ，得 .+k3xk5+,6kxkZ f(x)的单调递增区间为 故选 B.1,2,.Z8 【 解析】由 f(x)为奇函数，排除 B， 1，排除 A. 当 x0 时，()3ef， ，在区间(1,+)上 f(x)单
15、调递增，排除 D，故选 C.e()3f2)e3x9 【 解析】由题意可知从上至下每层灯盏数构成公比为 2 的等比数列,设首项为 ,则 ,解之a7(21)38得 a=3，则该塔中间一层灯盏数有 323=24. 故选 A.10【解析】依题意，执行如图所示的程序框图可知初始 S2，当 k=0 时，S 01，k=1 时，S 1 ，同2理 S22，S 31，S 4 ，可见 Sn 的值周期为 3.当 k2017 时，S 2017S 1 ，12 2此时k2018，退出循环. 输出 S . 故选 C.11 【 解析 】：将正方体纸盒展开图还原成正方体， 如图知 AF 与 GC异面垂直，故正确；显然 BD 与
16、GC 成异面直线,连接 EB，ED.则 BMGC，在等边BDM 中， BD 与 BM 所成的 60角就是异面直线 BD 与 GC 所成的角，故 正确； 显然 BD 与 MN 异面垂直，故错误；显然 GD平面 ABCD，所以在 RtBDG 中，GBD 是BG 与平面 ABCD 所成的角，RtBDG 不是等腰直角三角形 .所以 BG 与平面 ABCD 所成的角不是为 45 ，故 错误. 故选 B.12 【 解析 】函数 在区间2018,2018 上零点的个数，就是函数 的图象与|()xgxfe ()sin2fx的图象交点个数. 由 的图象关于直线 x= 2对称，得 是偶函数，即 .又|xye(2)
17、yff()fx函数 是偶函数， ，故 ，因此， 是周期为 2 的偶函数.(1)f1(2)()ff()当 x0,1时， ，作出 与 图象如下图，(sinfx)fx|1xye可知每个周期内有两个交点，所以函数 在区间2018,2018上零点的个数为|()xgxfe20182=4036. 故选 D.第二部分 非选择题（共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置.A BDM(E)NCGFxO2 1 211y试卷第 7 页，总 11 页13 1 14. 15. 16. 21ln0xy1243提示：13 【 解析 】 ，(,)(,)ab (,),
18、(1),0ba ， .(,0)2b1014 【 解析 】由所求切线斜率 ，得曲线在点 (1, ln2)11|2xxky处的切线方程为 ，即 .ln2()yln0y15 【 解析 】把圆的方程化为标准方程为 ，得到圆心 C22(6)9x的坐标为(0, 6),圆的半径 ,由圆切线的性质可知,CBO =CAO=90，3r且 AC=BC=3，OC=6，则有ACB=ACO+BCO=60+60 =120所以该圆被两切点所分的劣弧与优弧之比为 (写成 1:2 也对).1216 【 解析 】以ABC 所在平面为球的截面，则由正弦定理得截面圆的半径为 ，依题意得 CD平面 ABC，312sin60故球心到截面的
19、距离为 ，则球的半径为=2CD.所以球的体积为 .221()334()三、解答题：本 大 题 共 7 小 题 ， 共 70 分 .其 中 17 至 21 题 为 必 做 题 ， 22、 23 题 为 选 做 题 .解 答 过程 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .17.解 : ()法一：由已知及余弦定理得 ，整理得 . 2 分2acba2abca， 3 分221cosabcaC又在ABC 中，0C ， 4 分 ，即角 C 的大小为 . .5 分33法二：由已知及正弦定理得 ，2sincosin2iBA又在ABC 中，sinA=sin( B+C)=sinBcos
20、C+cosBsinC, . 2 分2sinCcosB sinB=2sinBcosC+2cosBsinC， 即 2sinBcosC= sinB，又 sinB0， 3 分 ，又 0C ， 4 分1cos2 ，即角 C 的大小为 . .5 分323()由( ) ，依题意得如图，在ADC 中，AC=b= ，AD= ，23由正弦定理得 ， .7 分3sinsin2AD在 ADC 中，0 ，C 为钝角， 8 分 ，故 . .9 分4CA2341在 ABC 中，AD 是角 A 的平分线， , .10 分6ABABC 是等腰三角形， . .11 分B故ABC 的面积 . .12 分3211sin223SC18
21、.解：( ) 证明：依题意得四边形 ABCD 是底角为 60的等腰梯形，1 分OCxyB AOO1 DCBABADCBAD=ADC=120. .2 分 AD=DC，DAC= DCA=30， .3 分BAC=BADDAC=12030=90，即 ABAC.4 分平面 PAC平面 ABCD, 平面 PAC平面 ABCD=AC，AB平面 PAC， .5 分又平面 AB平面 EAB，平面 EAB平面 PAC； .6 分()解法一：由( )及已知得，在 RtABC 中，ABC =60，AB =1，AC= ABtan60= ，BC=2 AB=2，且 AB平面 PAC，.7 分3AB 是三棱锥 BEAC 的高
22、，正PAC 的边长为 . .8 分3E 是 PC 的中点，S EAC SPAC . 10 分12231sin60()448CP三棱锥 AEBC 的体积为 .12 分1AEBAEAVS()解法二：过 P 作 POAC 于 点 O，平面 PAC平面 ABCD, 平面 PAC平面 ABCD=AC，PO平面 ABC， 过 E 作 EFAC 于点 F，同理得 EF平面 ABC，EF 是三棱锥 EABC 的高，且 POEF， 7 分又 E 是 PC 中点， EF 是POC 的中位线，故 .12EFPO由()及已知得，在 RtABC 中，ABC =60，AB=1，BC=2AB=2, AC= ABtan60=
23、 3, 即正PAC 的边长为 , .8 分3PO= , 故 EF= . .9 分324在 RtABC 中， SABC . .10 分1122ABC三棱锥 AEBC 的体积为 . .12 分313248EABABCVSEF19.解：( ) 依题意，n =6， .2 分612()57 6.,84iiixyb33 6.626=138.6， .3 分ay 关于 x 的线性回归方程为 =6.6x138.6 4 分y() ( i )利用所给数据 , , 得, 线性回归方程 =6.6x138.6621()36.4ii 21()390iiyy的相关指数 R2= .6 分6216.890()iiiiiy0.93
24、980.9522， .7 分因此，回归方程 =0.06e0.2303x 比线性回归方程 =6.6x138.6拟合效果更好. 8 分yy( ii )由( i )得温度 x=35C 时， =0.06e0.230335=0.06e8.0605. 9 分y又 e8.06053167， .10 分 0.063167190（个）. .11 分y所以当温度 x=35C 时，该种药用昆虫的产卵数估计为 190 个. .12 分20.解：( ) 所给直线方程变形为 , 1 分5ymx可知直线所过定点为 . .2 分(0,5)O FBAPEDCBAPEDC试卷第 9 页，总 11 页椭圆焦点在 y 轴, 且 c=
25、 ，依题意可知 b=2，a 2=c2+b2=9. 3 分5椭圆 C1 的方程标准为 . 4 分2194x()依题意，设椭圆 C2 的方程为 ，A(x 1,y1), B(x2,y2)，6 分2y1，点 C(1, 0)在椭圆内部，直线 l 与椭圆必有两个不同的交点.当直线 l 垂直于 x 轴时， (不是零向量)，不合条件；AB故设直线 l 为 y=k(x+1) (A，B，O 三点不共线，故 k0), 7 分由 得 .22)4936，22291849360y由韦达定理得 . 8 分18ky ，而点 C(1, 0)，ACB(1x1, y1)=2(x2+1, y2)，y 1= 2y2， 9 分即 y1+
26、y2= y2 故 . 10 分894kOAB 的面积为OABCBOSS1212|2yyy. .11 分23|y8|94k794|k9436上式取等号的条件是 ，即 k= 时， OAB 的面积取得最大值 . 2|=294所以直线的方程为 或 . 12 分3(1)yx(1)yx21. ()解：由已知得 的定义域为(0, +)，. .1 分g 2axag方程 的判别式 . 2 分20xa8a当 时，0， ，此时, 在(0, +)上为增函数；3 分18()0x()x当 时，设方程 的两根为 ， 212818,44aax若 , 则 , 此时, , 在(0, +)上为增函数； 4 分0a1x()gx ()
27、若 a0，则 x10x 2，此时, g(x)在(0, x2上为减函数，在(x 2, +)上为增函数，5 分综上所述：当 时， 的增区间为(0, +)，无减区间；当 时， 的减区间为 ，增区间为 . .6 分 ()g0,2,)()证明：由题意知 7 分ln1fxx ， .8 分 22ln1lxf 考虑函数 ， ()(0)hx则 .9 分22()1x所以 x1时， ，而 10 分0 (h故 时， ，可得 ，(0,1)2(),01x ln()1xf时， ，可得 ，.11 分(1)x， 21()0,hxx ln()1xf从而当 ，且 时， 12 分 ln()f请考生在第 22、23 两题中任选一题做答
28、，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时，请用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑22.解：( ) 法一： 由曲线 C 的极坐标方程得 ，又24cos0cos,sin,xy曲线 C 的直角坐标方程为 ，即 1 分20xy2()4xy曲线 C 是圆心为 C(2, 0)，半径为 2 的圆.直线 l 过点 P(2,0)，当 l 的斜率不存在时，l 的方程为 x= 2 与曲线 C 没有公共点，2 分直线 l 的斜率存在，设直线 l： ，即 . ()k0k直线 l 与圆有公共点，则圆心 C 到直线 l 的距离 .3 分2|1kd解得 .4 分3k ， 的取值范围是 5 分0,)50,)6法二：
29、由曲线 C 的极坐标方程得 ，又24cos0cos,sin,xy曲线 C 的直角坐标方程为 ， 1 分xy直线 l 经过点 P(2,0)，其倾斜角为 ，直线 l 的参数方程为 （ 为参数） ， 2 分sint， t将 代入 整理得： . .3 分2cosinxty， 240xy28cos120t直线 l 与曲线 C 有公共点， 即 或 4 分26cos33cos2 ， 的取值范围是 . .5 分0,)50,)()法一：由( )曲线 C 的直角坐标方程为 ，2(4xy故其参数方程为 （ 为参数） . .7 分2cosinxy，M(x,y)为曲线 C 上任意一点， 8 分3cos3in2si()6
30、xy ， ，1sin)1624si()6因此， 的取值范围是 . .10 分3xy,6法二：设 . 6 分m由()知曲线 C 即圆 C: , 依题意, 圆 C 与直线 有交点，7 分2()4xy30xym圆心 C 到直线 的距离 ， .9 分3022|0|1(3)md解得 , 即 的取值范围是 . . .10 分26,623. 解：( ) 当 时， ，此时 无解； .1 分3x()8fx()fx当 时， ，由 解得 ；.3 分5 2252x 当 时， ，此时 恒成立. 4 分 ff综上，不等式 的解集是 . .5 分()x|x试卷第 11 页，总 11 页()由( )可知 .6 分8,3()25,xf易知函数 的最大值 M=8， 7 分x若 有解，得 有解. 8 分28m28x即 . .9 分2ax(1)9因此，m 的取值范围是 . .10 分
