1、宣城市 学年度第一学期期末调研测试高三数学试题（理科）考生注意事项：本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分 分，考试时间 分钟答题前，考生先将自己的姓名、考号在答题卷指定位置填写清楚并将条形码粘贴在指定区域考生作答时，请将答案答在答题卷上第卷每小题选出答案后，用 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；第卷请用毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效考试结束时，务必将答题卡交回第卷（选择题，共分）一、选择题（本大题共小题，每小题分，共分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）已知全集 ，集合 ， ，则下
2、列关系正确的是 瓓 瓓 设 是虚数单位， ，则 “复数 在复平面内对应的点在第四象限”是“ ” 的充分不必要条件 必要不充分条件充要条件 既不充分也不必要条件向量 ， （，），且 ，则 已知表示不超过 的最大整数 执行如图所示的程序框图，若输獉獉獉 獉獉入的值为，则输出的值为 第题图从如图所示的正方形 区域内任取一个点 （，），则点 取自阴影部分的概率为 第题图宣城市高三数学（理）试题第页（共页）某多面体的三视图是如图所示的三个斜边都是 的等腰直角三角形，则其外接球的体积为 槡 槡 已知数列 ， 满足 ，且 ， 是函数 （） 的两个零点，则 等于 第 题图 在直角坐标系 中，设 为双曲线 ：
3、（ ， ）的右焦点， 为双曲线 的 右支上一点，且为正三角形，则双曲线 的离心率为 槡 槡 槡 槡 已知平面 平面 ， ，且 ， 在正方形 内部有一点，满足， 与平面所成的角相等，则点的轨迹为圆的一部分 椭圆的一部分 双曲线的一部分 抛物线的一部分在 中， ， 槡 ，点 在 边上， ，则 的长为 槡 槡 槡 （ ）， 已知函数 （） （ ，且 ）的图象上关于 轴对称的点恰有 ， 对，则实数的取值范围是槡 槡 槡 （， ） （ ，） （， ） （ ， ） 已知定义在 上的函数 （），（）是其导数，且满足 （ ）（）， （） ，则不等式 （ ） （其中 为自然对数的底数）的解集为（，） （ ，）
4、（， ）（，） （ ，） （， ）第卷（非选择题，共分）本卷包括必考题和选考题两部分第（）（）题为必考题，每个题目考生都必须作答 第（）（）题为选考题，考生根据要求作答 二、填空题（本大题共 小题，每小题 分，共 分） 已知随机变量 服从正态分布 （， ）， （ ），则 （ ） ； 抛物线 在 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 （包含三角形内部和边界） 若点 （ ， ）是区域 内的任意一点，则 的取值范围是 ； 已知幂函数 的图象过点（，），则 槡 的展开式中 的系数为；宣城市高三数学（理）试题第页（共页） 南北朝时代的伟大科学家祖暅提出体积计算原理：“幂势既同，则积不容异” 意思是：夹在两
5、个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两 个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等图中阴影部分是由曲线 、直线以及轴所围成的平面图形，将图形绕轴旋转一周，得几何体 根据祖暅原理，从下列阴影部分的平面图形绕轴旋转一周所得的旋转体中合理选择一个求得 的体积为 三、解答题（共 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）（一）必考题：共 分（本小题满分 分）若数列 的前 项和 满足 ， （）求 的通项公式；（）设 （ ），求数列 的前 项和 （本小题满分 分）在五面体 中， ， ， ， ，平面平面（）证明：直线 平面 ；（）已知 为棱 上的点，试确定 点位置，
6、使二面角 的大小为 （本小题满分分）某一型号汽车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为 元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，具体浮动情况如表：浮动因素 浮动比率 上一个年度未发生有责任道路交通事故 下浮 上两个年度未发生有责任道路交通事故 下浮 上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故 下浮 上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故 上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故 上浮 上一个年度发生有责任道路交通死亡事故 上浮 宣城市高三数学（理）试题第页（共页）某机构为了研究该型号汽车的投保情况，随机抽取了辆车龄已满三年的该型号汽车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格
7、：类 型 数 量 以这辆汽车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：（）某同学家里有一辆该型号汽车且车龄刚满三年，记 为该车在第四年续保时的费用，求的分布列；（）某二手车销售商专门销售该型号汽车的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保獉獉费的车辆记为事故车假设购进一辆事故车亏损元，一辆非事故车盈利元： 若该销售商购进三辆（车龄已满三年）二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率； 若该销售商一次购进 辆（车龄已满三年）二手车，求他获得利润的期望值 （本小题满分 分）已知圆 ：（） ，定点 （，）， 是圆 上的一动点，线段 的垂直平分线交半径 于点（）求 点的轨迹 的方程；（）
8、四边形 的四个顶点都在曲线 上，且对角线 ，过原点 ，若 ， 求证：四边形 的面积为定值，并求出此定值 （本小题满分 分）已知函数 （ ）（），（）（） （）当 时，求函数 （）在（，）上的零点个数；（）如果当 时，（ ）（），求 的取值范围（二）选考题：共 分请考生在第 、题中任选一题作答 如果多做，则按所做的第一题计分选修 ：坐标系与参数方程（本小题满分 分）在直角坐标系 中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线的 槡 参数方程为 （ 为参数），直线 的极坐标方程为 （ ） 槡 （）写出曲线 的普通方程和直线 的直角坐标方程；（）求曲线 上的点到直线 的最大距离，并求出这个
9、点的坐标选修 ：不等式选讲（本小题满分 分）已知函数（） （）求不等式 （）的解集；（）设 （） ，若关于 的不等式 （ ） （ ）的解集非空，求实数 的取值范围宣城市高三数学（理）试题第页（共页）宣城市 学年度第一学期期末调研测试高三数学（理科）参考答案一、选择题题 号 答 案 二、填空题 ， 三、解答题（ ） 时， ，得 ， 分当 时，根据题意得： ， 分所以 （ ）（ ） ，即 分 数列 是首项为 ，公比为 的等比数列 （） 分（）由（）得： （ ） 分 ， 分 （ ） 分 （）， 四边形 为菱形， 分平面 平面，平面 平面 ， 平面 分，又 直线 平面 分（）， 为正三角形，取 的中点
10、 ，连接 ，则 ，由（）知，平面 ， ， ，两两垂直，以 为原点，的方向为 ，轴，建立空间直角坐标系 分， （，），（，）槡 槡由（）知（，）是平面 的法向量 分槡宣城市高三数学（理）参考答案第页（共页） （， 槡 ）， （，），设（ ，）（ ）， 则 （ ， ，） 设平面 的法向量为 （ ， ， ） 槡 ， ，（）令 槡 ，则 槡 （）， ，（ ），） 分槡 槡二面角 为 ， 槡 ， ， 槡 槡 （ ） 解得 ，即点 为 的一个靠近 的三等分点 分（ ）由题意可知 的可能取值为 ， ， ， ， ， 由统计数据可知： （） ，（） ，（） ，（ ） ， （） ，（） 所以的分布列为： 分（ ）
11、 （ ） 由统计数据可知任意一辆该型号汽车 车龄已满三年 的二手车为事故车的概率 为 ，三辆车中至多有一辆事故车的概率为 分 设 为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，的可能取值为 ，所以的分布列为： 所以 （） 分宣城市高三数学（理）参考答案第页（共页）所以该销售商一次购进辆该型号汽车（车龄已满三年）的二手车获得利润的期望为 （）万元 分（）因为 在线段 的中垂线上，所以 所以 ，所以轨迹是以 ， 为焦点的椭圆，且 ，所以 槡 ， 故轨迹的方程 分 （ ）证明：不妨设点 、 位于 轴上方，则直线 的斜率存在，设 的方程为 ， （ ， ）， （ ， ） 由 得（ ） 当 即 时 则 ， 分 （
12、）（） （） 由 ，得 由得 分 设原点到直线的距离为 ，槡 槡 （ ） 槡 槡 ， 槡 （ ）四边形 ， 分 由得 四边形 槡 ，故四边形 的面积为定值，且定值为 槡 分（ ） 时， （ ） （ ） ， （ ），则 （ ）在（， ）上单调递增， 分 又 （），（ ） 故函数 （ ）在（， ）上只有 个零点 分 （）当 时，（） （），即 （），当 时上式成立，得 分下证当 时， （ ） （ ），即 （ ），又 分宣城市高三数学（理）参考答案第页（共页）设（），（） ，易知 （ ）在（，）上单调递增，在（，）上单调递减，所以，（） （） 分 （）设 （ ） （ ）， （ ） ，易知 （ ）在（，）上单调递减， 在（， ）上单调递增，则 （ ） （）， 分所以 （ ） （ ），即 （），当且仅当 时等号成立，综上， 分（ ）解：曲线 的方程为 ，直线 的方程为 分 槡 （ ）在 ： 上任取一点（ 槡 ， ），则点 到直线 的距离为 （ ） 槡 槡 ， 分槡 槡 当 （ ）时， 槡 ，此时这个点的坐标为（ ， ） 分 （ ）原不等式可化为： ，即 或 ， 由得 或，由 得或 ，综上，原不等式的解集为 或 分（）原不等式等价于其解集非空，令（ ），即（） ，由 ，所以 （ ） ，由 ，解得 分宣城市高三数学（理）参考答案第页（共页）
