1、2018 届吉林省长春市第十一高中、东北师范大学附属中学、吉林一中，重庆一中等五校高三 1 月联合模拟考数学（文）试题（解析版）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集 ，集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 故选 A2. 若复数 ，则的共轭复数所对应点在（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A【解析】 ，则的共轭复数 所对应点在第一象限故选 A3. 以下有关命题的说法错误的是（ ）A. 命题“若 ，则 ”的逆否命题为“若 ，则 ”B.
2、“ ”是“ ”成立的必要不充分条件C. 对于命题 ，使得 ，则 ，均有D. 若 为真命题，则 与 至少有一个为真命题【答案】D【解析】对于 A. 命题“若 ，则 ”的逆否命题为“若 ，则 ”正确：对于 B. “ ”则“ ”，故“ ”是“ ”成立的必要不充分条件，正确；对于 C. 对于命题 ，使得 ，则 ，均有正确；对于 D.若 为真命题，则 与 至少有一个为真命题，故 D 错误.故选 D4. 下列函数中既是偶函数又在 上单调递增的函数是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】A 是奇函数，故不满足条件； B 是偶函数，且在 上单调递增，故满足条件；C 是偶函数，在 上单调递减，不满足条
3、件；D 是偶函数但是在 上不单调。故答案为：B。5. 执行下面的程序框图，如果输入的 ， ，那么输出的 的值为（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】B【解析】第一次执行循环体后： 不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后： 不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后： ，满足退出循环的条件；故输出的 值为 4，故选 B【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答6. 将函数 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变） ，得到函数 的图像，则函数 的图像的一个对称中心是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】根据题意得到
4、，则函数的对称中心有 ，当 k=0 时，对称中心为 。故答案为：B。7. 设 ， 为空间两条不同的直线， ， 为空间两个不同的平面，给出下列命题：若 ， ，则 ； 若 ， ，则 ；若 ， 且 ， ，则 ； 若 ， 且 ，则 .其中所有正确命题的序号是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】若 ， ，则由平面与平面垂直的判定定理得 ，故正确；若 ， ，则 可能平行，相交或异面，故错误；若 ， 且 ， ，则 相交或平行，故 错误；若 m，mn，则 n 或 n，故错误；若 ， 且 ，则由直线与平面垂直的性质定理得 ，故正确故选 D8. 已知正项等比数列 的前 项和为 ，且 ， 与 的等差中项
5、为 ，则 （ ）A. B. 30 C. 31 D. 【答案】C. ，a4+2a6=3，即 ，解得 a1=16，q= 则 S5=31故答案为：C。9. 已知向量 ， ， ，且 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】向量 ， ，且 ，则 ，因为则 = 。故答案为：C。10. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由三视图可知该几何体为一个四棱锥和一个 球体的组合体，其中四棱锥的是以侧视图为底面，其体积为 而 球体的体积为 .故组合体的体积为故选 D11. 已知数列 的前 项和 ，则数列 的前 6 项和为（ ）A. B. C. D
6、. 【答案】A【解析】数列 的前 项和 ， ，两式作差得到 裂项求和得到 故答案为：A。点睛：这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和 的关系，求 表达式，一般是写出 做差得通项，但是这种方法需要检验 n=1 时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。12. 已知双曲线 的右焦点 到其一条渐近线的距离为 1，抛物线 的准线过双曲线的左焦点，则抛物线上的动点 到点 距离的最小值是（ ）A. 5 B. 4 C. D. 【答案】D【解析】双曲线 的右焦点 到其一条渐近线的距离为 1，可得到 ， ，抛物线 设抛物线上的点为 当
7、x=1 时，有最小值 .故答案为：D。二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知实数 满足 ，则 的最大值为 _【答案】-2【解析】根据题意得到可行域是封闭的四边形，顶点是 A( ),B(2,0),C(0,1),D(0,0),目标函数 ， 可得到当目标函数过点 A( )，有最大值-2，故得到答案为：-2.点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域 (2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形常见的类型有截距型（ 型）、 斜率型（ 型）和距离型（ 型）(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解(4)求最值：将最优解代入
8、目标函数即可求出最大值或最小值。14. 直线 与圆 相交于 两点，若 ，则 _【答案】 或，所以 故答案为 15. 已知下列命题：在线性回归模型中，相关指数 表示解释变量 对于预报变量 的贡献率， 越接近于 1，表示回归效果越好；两个变量相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于 1；在回归直线方程 中，当解释变量 每增加一个单位时，预报变量 平均减少 0.5 个单位；对分类变量 与 ，它们的随机变量 的观测值 来说， 越小， “ 与 有关系”的把握程度越大其中正确命题的序号是_【答案】【解析】相关指数 表示解释变量 对于预报变量 的贡献率， 越接近于 1，表示回归效果越好；是正确的；两个变量相
9、关性越强，则相关系数 r 的绝对值就越接近于 1，是正确的；在回归直线方程中，当解释变量 每增加一个单位时，预报变量 平均减少 0.5 个单位是正确的，因为回归方程，并不是样本点都落在方程上，故只能是估计值，所以说是平均增长；对分类变量 与 ，它们的随机变量 的观测值 来说， 越小， “ 与 有关系”的把握程度越小；故原命题错误；故答案为：.16. 函数 满足对任意 ，都有 ，且 ， ，则函数在 上的零点之和是 _【答案】5【解析】根据题干条件 ，当 x=-1,得到 ，根据图像得到函数是关于点 中心对称的，直线 和曲线的交点有四个，根据点的对称性得到每对的根之和为 4，故得到和为5.故答案为：
10、5.点睛：这个题目考查了导数在研究函数的极值和零点问题中的应用；对于函数的零点问题，它和方程的根的问题，和两个函数的交点问题是同一个问题，可以互相转化；在转化为两个函数交点时，如果是一个常函数一个非常函数，注意让非常函数式子尽量简单一些。三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知函数 .（）求函数 的最小正周期和单调递减区间；（）在 中， ， ，分别是角 ， ， 的对边，若 ， ， 的面积为 ，求边的长.【答案】()最小正周期 ，单调递减区间是 ；() .【解析】试题分析：（）由三角函数公式化简可得 ，易得最大值和 的取值；（）由（
11、）即已知 可得 ，又 由 的面积为 可得 ，结合 由余弦定理可得边的长试题解析：（） 所以 的最小正周期令 ，解得所以 的单调递减区间是 （） ， ，又 ， 的面积为 18. 某企业有甲、乙两条生产线生产同种产品，现随机从这两条生产线上各抽取 20 件产品检测质量（单位:克），质量值落在 ， 的产品为三等品，质量值落在 ， 的产品为二等品，质量值落在的产品为一等品下表为从两条生产线上各抽取的 20 件产品的质量检测情况，将频率视为概率，从甲生产线上随机抽取 1 件产品，为二等品的概率为 0.2.（1）求 的值；（2）现从两条生产线上的三等品中各抽取 1 件，求这两件产品的质量均在 的概率；（3
12、）估算甲生产线 20 个数据的中位数（保留 3 位有效数字） 【答案】(1) ；(2) ；(3)39.6【解析】试题分析：（1）根据从甲生产线上随机抽取 1 件产品，为二等品的概率为 0.2，得到式子为，进而得到值； （2）根据古典概型的计算公式得到，先得到从两条生产线上的三等品中各抽取 1件，所有可能情况是共 9 种情况，这两件产品的质量均在 上的可能情况是： ，共 2 种情况，进而得到概率值；（3）根据中位数的概念得到 ，进而求出参数值、解析：（1）由题意 所以 ， ，（2）甲生产线产品质量在 上的数据记为 ，在 上的数据记为 ，乙生产线产品质量在 上的数据记为 ，在 上的数据记为从两条生
13、产线上的三等品中各抽取 1 件，所有可能情况是： ， ， ， ， ，共 9 种情况这两件产品的质量均在 上的可能情况是： ，共 2 种情况所以，从两条生产线上的三等品中各抽取 1 件，求这两件产品的质量均在 的概率（3）设甲生产线 20 个数据的中位数是则由题意解得 （克）所以甲生产线 20 个数据的中位数约是 39.6 克19. 如图，已知 ， ， ，平面 平面 ， ， ，为 中点（1）证明： 平面 ；（2）求三棱锥 的体积【答案】(1)证明见解析；(2) .【解析】试题分析：（1）构造平行四边形，证明线线平行，进而得到线面平行；（2）。解析：（1）证明：设 中点为 ，连 为 中点 ，又由题
14、意 ， ，且 四边形 为平行四边形 ，又 平面 ， 平面 平面（2）平面 所在平面垂直平面 ，平面 平面平面 ， 平面 为 中点， 所以，三棱锥 的体积是 .20. 已知椭圆 的两个焦点与短轴的一个端点连线构成等边三角形，且椭圆 的短轴长为 （1）求椭圆 的标准方程；（2）是否存在过点 的直线与椭圆 相交于不同的两点 ，且满足 （ 为坐标原点）若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由【答案】(1) ；(2)答案见解析.【解析】试题分析：（1）根据椭圆的几何意义， 得到椭圆方程；（2）联立直线和椭圆，得到二次方程，向量坐标化得到 ，进而求得参数值。解析：（1）由题意得： ，解得椭圆 的标准方
15、程是（2）当直线的斜率不存在时， ，不符合题意当直线的斜率存在时，设直线的方程为 ， ，由 消 整理得：，解得 或， 解得 ，满足所以存在符合题意的直线，其方程为点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用21. 已知函数 .（1）当 时，求 在点 处的切线方程；（2）当 时，求函数 的单调递增区间；（3）当 时，证明： （
16、其中为自然对数的底数） 【答案】(1) ；(2) 答案见解析；(3)证明见解析【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义得到 ；（2）对函数求导，分类讨论导函数的正负，得到单调区间；（3）由 知需证明 .，对函数求导，研究函数的最值即可。解析：（1）当 时， ， 在点 处的切线方程是 .（2） 的定义域为当 ，即当 时，由 解得 或当 时， ，当 ，即当 时，由 解得 或综上：当 时， 的单调递增区间是 ，当 时， 的单调递增区间是当 时， 的单调递增区间是 ，（3）当 时，由 知需证明令 ，设 ，则当 时， ， 单调递减当 时， ， 单调递增当 时， 取得唯一的极小值，也是最小值的最小值是
17、另解：证明 （“ ”不能同时成立）点睛：点睛：（1）导数综合题中对于含有字母参数的问题，一般要用到分类讨论的方法，解题时要注意分类要不重不漏；（2）对于导数中的数列不等式的证明，解题时常常要用到前面的结论，需要根据题目的特点构造合适的不等式，然后通过取特值的方法转化成数列的问题解决，解题时往往用到数列的求和。请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 在直角坐标系 中，直线的方程是 ，曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，以 为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（）求直线和曲线 的极坐标方程；（）射线 （其中 ）与曲线 交于 ， 两点，与直线交于点 ，求
18、 的取值范围.【答案】()直线的极坐标方程是 ，曲线 的极坐标方程是 ；() .【解析】试题分析：（I）直线的方程是 ，利用 可得极坐标方程圆 的参数方程为（ 为参数） ，利用 可得普通方程，进而化为极坐标方程（II）将 分别带入 ， 得 ，试题解析：（） ，直线 的极坐标方程是由 消参数得曲线 的极坐标方程是（）将 分别带入 ， 得 ， ，讨论 ， 的范围，可得 的取值范围 ， 的取值范围是23. 已知函数 （ ）（）当 时，求不等式 的解集；（）设函数 ，当 时，函数 的最小值为，且 （ ） ，求 的最小值.【答案】() ；() .【解析】试题分析：（）把 写成分段函数的形式，分类讨论，分别求得不等式 的解集，综合可得结论（）求出 的最小值，得到 根据基本不等式的性质求出 的最小值试题解析：（）当 时， 化为当 时，不等式化为 ，解得当 时，不等式化为 ，解得当 时，不等式化为 ，解得综上不等式 的解集是（）当 时，当且仅当 时，即 时，等号成立所以，函数 的最小值所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立所以 的最小值是 .【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式的应用，考查基本不等式的应用.其中灵活应用分类讨论的思想是解题的关键.
