1、石家庄市 2018 届高中毕业班教学质量检测（一）文科数学一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ,选 C.2. 若复数满足 ，其中为虚数单位，则共轭复数 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ，故选 B.3. 已知命题 ， ，则 是 成立的（ ）条件A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分有不必要【答案】B【解析】 ,因为 ,所以 是 成立的必要不充分条件,选 B 4. 已知某厂的产品合格率为 0.8，现抽
2、出 10 件产品检查，则下列说法正确的是（ ）A. 合格产品少于 8 件 B. 合格产品多于 8 件C. 合格产品正好是 8 件 D. 合格产品可能是 8 件【答案】D【解析】由已知中某厂的产品合格率为 ，则抽出 件产品检査合格产品约为 件，根据概率的意义，可得合格产品可能是 件， 故选 D.5. 在 中，点 在边 上，且 ，设 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ， ， ，故选 B.6. 当 时，执行如图所示的程序框图，则输出的 值为 （ ）A. 9 B. 15 C. 31 D. 63【答案】C【解析】由程序框图可知， ， ，退出循环，输出的值为 ，故选 C.【方法点
3、睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数； (5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.7. 若 ，函数 的图像向右平移 个单位长度后与函数 图像重合，则 的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 向右平移 个单位可得， ，因为函数的图象向右平移 个单位长度后与函
4、数 图象重合， 时， 的最小值为 ，故选 B.8. 已知奇函数 ，当 时单调递增，且 ，若 ，则 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 为奇函数， 时，单调递增， 时，也单调递增，由 ，得 ， ， 的取值范围为 或 ，故选 A.9. 如图，网格纸上的小正方形的边长为 1，粗线条表示的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的四个面中面积最小是 （ ）A. B. C. 2 D. 【答案】C【解析】由三视图可知，三棱锥的直观图如图 ，图中正方体棱长为 ，由图知，四面中面积最小值是，故选 C.10. 双曲线 的左、右焦点分别为 ，过 作倾斜角为 的直线与 轴和双曲线的右支分别交于 两点
5、，若点 平分线段 ，则该双曲线的离心率是 （ ）A. B. C. 2 D. 【答案】B【解析】双曲线 的左焦点 为 ,直线的方程为 ，令 ，则 ，即 ，因为 平分线段 ，根据中点坐标公式可得 ，代入双曲线方程，可得 ，由于 ，则 ，化简可得 ，解得 ，由 ，解得 ，故选 B.【方法点晴】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关
6、系构造出关于的等式，从而求出的值.本题是利用点到直线的距离等于圆半径构造出关于的等式，最后解出的值.11. 已知 是函数 的所有零点之和，则 的值为（ ）A. 3 B. 6 C. 9 D. 12【答案】D【解析】因为 所以 关于 对称由图知, 有 8 个零点,所以所有零点之和为 12,选 D点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等12. 定义：如果函数 在区间 上存在 ，满足 ， ，则称函数 是在区间 上
7、的一个双中值函数，已知函数 是区间 上的双中值函数，则实数的取值范围是 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】在区间 存在 ，满足 ，方程 在区间 有两个解，令 ，则 ，解得 实数的取值范围是 ，故选 A【方法点睛】本题考查导数的运算法则、一元二次方程根的分布、新定义问题及数形结合思想，属于难题 .新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求， “照章
8、办事” ，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题定义“双中值函数”达到考查导数的运算法则、一元二次方程根的分布的目的.二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 抛物线 的准线方程是_【答案】【解析】因为 准线方程是 ,所以抛物线 的准线方程是14. 若 满足约束条件 ，则 的最大值是_【答案】【解析】 ,画出约束条件 表示的可行域，如图，平移直线 ，当直线经过点 时，直线在 轴上的截距最小， 有最大值，由 可得 ， 有最大值为 ，故答案为 .【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（
9、1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15. 直三棱柱 的各顶点都在同一球面上，若 ， ， ， ，则此球的表面积等于_【答案】【解析】设三角形 ABC 外接圆圆心为 O1,半径为 r，则因此球半径为 点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解(2)若球面上四点 构成的三条线段 两两互相垂直
10、，且 ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用 求解16. 如图所示，平面四边形 的对角线交点位于四边形的内部， ， ， ， ，当 变化时，对角线 的最大值为_【答案】【解析】设 ，则由余弦定理可得 ，由正弦定理可得 ，时， 有最大值 ， 取得最大值为 ，故答案为 .三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列 是各项均为正数的等比数列，若 ， .（1）设 ，求数列 的通项公式；（2）求数列 的前 项和 .【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）先根据待定系数法求出等比数列 通项公式,代入 得数列 的通项公式（2
11、）根据错位相减法求和: 利用错位相减法求和时，注意相减时项的符号变化，中间部分利用等比数列求和时注意项数，最后要除以试题解析：（）由数列 是各项均为正数的等比数列（）由（）可知则 -点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形； (2)在写出“ ”与“ ”的表达式时应特别注意将两式 “错项对齐”以便下一步准确写出“ ”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解.18. 某学校为了解高三复习效果，从高三第一学期期中考试成绩中随机抽取 50 名考生的数学成绩，分成 6组制成频率分布直方图
12、如图所示：（1）求 的值及这 50 名同学数学成绩的平均数 ；（2）该学校为制定下阶段的复习计划，从成绩在 的同学中选出 3 位作为代表进行座谈，若已知成在 的同学中男女比例为 2：1，求至少有一名女生参加座谈的概率.【答案】(1) ，121.8(2) 【解析】试题分析：（1）先根据频率分布直方图中小长方形面积等于对应区间的概率，所以小长方形面积和为 1，因此求得 m;根据组中值与对应区间概率乘积的和等于平均值得 ；（2）先根据比例得男生 4 人，女生 2 人，再利用枚举法得从 6 名同学中选出 3 人的所有事件数，确定其中不含女生的事件数，得至少有一名女生事件数，最后根据古典概型概率公式求概
13、率试题解析：（）由题 解得 （）由频率分布直方图可知，成绩在 的同学有 （人） ， 由比例可知男生 4 人，女生 2 人，记男生分别为 A、B、C、D；女生分别为 x、y，则从 6 名同学中选出 3 人的所有可能如下：ABC、ABD、ABx、ABy、ACD、ACx、ACy、ADx、ADy、BCD、BCx、BCy、BDx、BDy、CDx、CDy、Axy、Bxy、Cxy、Dxy共 20 种其中不含女生的有 4 种 ABC、ABD、ACD、BCD 设：至少有一名女生参加座谈为事件 A则19. 已知四棱锥 ，底面 为正方形，且 底面 ，过 的平面与侧面 的交线为 ，且满足 （ 表示 的面积）.（1）证
14、明： 平面 ；（2）当 时，求点 到平面 的距离.【答案】(1)见解析(2) 【解析】试题分析：（1）利用平几知识由 SPEF：S 四边形 CDEF=1:3 知 E 为 PC 的中点，连接 BD 交 AC 与G，则 G 为 BD 中点，由三角形中位线性质得 EG/PB，再根据线面平行判定定理得结果（2）先根据中点得,再根据等体积法得 ,根据 CD平面 PAD，得高 CD，利用锥体体积公式得，即得 ，最后根据高等于点 到平面 的距离 试题解析：（）证明：由题知四边形 ABCD 为正方形AB/CD，又 平面 PCD，AB 平面 PCDAB/平面 PCD 又 AB 平面 ABFE，平面 ABFE平面
15、 PCD=EFEF / AB，又 AB/CDEF /CD， 由 SPEF：S 四边形 CDEF=1:3 知 E、F 分别为 PC、PD 的中点连接 BD 交 AC 与 G，则 G 为 BD 中点，在PBD 中 FG 为中位线， EG/PB EG/PB，EG 平面 ACE，PB 平面 ACEPB/平面 ACE. （） PA=2，AD=AB=1， , CDAD，CDPA，ADPA=A，CD平面 PAD，CDPD在 RtCDE 中， 在ACE 中由余弦定理知 ，SACE=设点 F 到平面 ACE 的距离为 ，则 由 DGAC，DGPA，ACPA=A，得 DG平面 PAC，且E 为 PD 中点，E 到
16、平面 ACF 的距离为又 F 为 PC 中点，S ACF SACP ，由 知点 F 到平面 ACE 的距离为 .20. 已知椭圆 的离心率为 ，左、右焦点分别为 ，过 的直线交椭圆于 两点.（1）若以 为直径的动圆内切于圆 ，求椭圆的长轴长；（2）当 时，问在 轴上是否存在定点 ，使得 为定值？并说明理由.【答案】(1) 长轴长为 6 (2) 在 X 轴上存在定点 ，使得 为定值【解析】试题分析：（1）设 的中点为 ，可得 ,当两个圆相内切时 ，两个圆的圆心距等于两个圆的半径差，即 ，所以 ，椭圆长轴长为 ；（2）先求得椭圆方程为 ， 设直线 AB 方程为： ，联立可得 ，设 根据韦达定理及平
17、面向量数量积公式可得 ，当即 时 为定值.试题解析：（）设 的中点为 M，在三角形 中，由中位线得：当两个圆相内切时 ，两个圆的圆心距等于两个圆的半径差，即所以 ，椭圆长轴长为 6. （）由已知 ， ，所以椭圆方程为 当直线 AB 斜率存在时，设直线 AB 方程为：设由 得恒成立 设当 即 时 为定值 当直线 AB 斜率不存在时，不妨设当 时 ，为定值综上：在 X 轴上存在定点 ，使得 为定值 21. 已知函数 .（1）若 ，求函数 的图像在点 处的切线方程；（2）若函数 有两个极值点 ，且 ，求证： .【答案】(1) (2)见解析【解析】试题分析：（1）根据导数几何意义得切线斜率等于 ，再根
18、据点斜式求切线方程（2）先分离得 ，利用导数可得 在 单调递增，在 单调递减，因此 ，再根据单调性得 ，最后根据零点存在定理可得 a 范围，根据 a 的取值范围可证不等式试题解析：（1）由已知条件， ，当 时， ，当 时， ，所以所求切线方程为 （2）由已知条件可得 有两个相异实根 ，令 ，则 ，1）若 ，则 ， 单调递增， 不可能有两根； 2）若 ，令 得 ，可知 在 上单调递增，在 上单调递减，令 解得 ，由 有 ，由 有从而 时函数 有两个极值点 当 变化时， ， 的变化情况如下表单调递减 单调递增 单调递减因为 ，所以 ， 在区间 上单调递增，另解：由已知可得 ，则 ，令 ，则 ，可知
19、函数 在 单调递增，在 单调递减，若 有两个根，则可得 ， 当 时， ，所以 在区间 上单调递增，所以 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程是 （为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线 的极坐标方程为 .（1）求直线的极坐标方程；（2）若直线与曲线 相交于 两点，求 .【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）由 消去得： ，把 代入 ，得直线的极坐标方程；（2）利用 将曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程可得 ，利用点到直线距离公式以及勾股定理可得
20、 的值.试题解析：（）由 消去得： ，把 代入 ，得 ，所以曲线 C 的极坐标方程为 （） 即圆 C 的圆心 C（0，-1）到直线的距离 所以 23. 选修 4-5：不等式选讲已知函数 .（1）当 时，求不等式 的解集；（2）若函数 的图像与 轴没有交点，求实数的取值范围.【答案】(1) 或 (2) 【解析】试题分析：（1） 时，不等式可化为 或 ，从而可得结果；（2）讨论三种情况， 时， 时， 时，利用分段函数的图象及零点存在定理，排除不合题意的情况，可得符合题意的实数的取值范围.试题解析：（1） 时，不等式可化为或 ， 即 或 （2）当 时， ，要使函数 与 轴无交点，只需 即 当 时， ，函数 与 轴有交点. 当 时， ，要使函数 与 轴无交点，只需 此时 a 无解. 综上可知，当 时，函数 与 轴无交点.
