2018届皖江名校高三12月份大联考数学（理）试题（解析版）.doc

1、2018 届皖江名校高三 12 月份大联考数学（理）试题一、选择题1下列四个命题：；1:0,23xxpx；211,logl；3 12:0,lxpx.4 131:,logx其中的真命题是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ，1p31p42p42p3【答案】C【解析】当 时， 在 上是增函数，当 时，0aayx0,0x恒成立，命题 是假命题，排除 A、B；当 时，123xx1p12， ，命题 是假命题，排除 D.故选 C.12logx2x3【考点】全称命题，特称命题真假判断.二、单选题2已知集合 ，则 （ ）20,2xMxNyMNA. B. C. D. 0,【答案】A【解析】依题意得 ，

2、1,20,0,2故选 A.3著名数学家欧拉发规了复数的三角形式： （其中 为虚数单位， cosinixexi） ，根据这个公式可知， 表示的复数在复平面中所对应的点位于（ ）21i3ieA. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】B【解析】 ，3 弧度的角终边在第二象限。3cosinie故选 B.4 “ ”是方程 有 2 个实数解得（ ）1k1xekA. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】作出函数 的图象，可知方程 有 2 个实数解时可得 .xyek1xek1k所以方程 有 2 个实数解，一定有 ，反之不

3、成立，如 只有一1xe个实数解。所以“ ”是方程 有 2 个实数解的必要不充分条件.kxek故选 B.5某多面体的三视图如图所示，则该多面体的外接球的表面积是（ ）A. B. C. D. 927274【答案】C【解析】该多面体为镶嵌在正方体中的四棱锥，故外接球直径即正方体的体对角线长， 。23R247SR故选 C.6已知 中， 的对边分别为 ，若 且ABCBC、 、 abc、 、 62，则 （ ）75bA. 2 B. C. D. 4342362【答案】A【解析】本题考查余弦定理。由 代入已知数据得，选 A。【点评】正确运用余弦定理即可。视频7若某程序框图如图所示，运行后输出 的值是 6，则输入

4、的整数 可能的取值是（ i k）A. 16，32 B. 5，64 C. 5，32 D. 5，16【答案】C【解析】由程序框图给出的数列 , 由 ，1ak1, 23nna当 为 偶 数 时 ，当 为 奇 数 时 。 61a一定有 。此时 ，否则输出 的值是 3,所以 ，此时542,a3i328或者 。131故选 C.8由直线 及曲线 所围成的封闭图形的面积为（ ）0,2yxey2yxA. 3 B. C. D. ln3e【答案】A【解析】如图所示，曲边四边形 OABC 的面积为.112ln2ln123eedx故选 A.点睛：本题考查了曲线围成的图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和定积分计算公式

5、等知识，属于基础题；用定积分求平面图形的面积的步骤：（1）根据已知条件，作出平面图形的草图；根据图形特点，恰当选取计算公式；（2）解方程组求出每两条曲线的交点，以确定积分的上、下限；（3）具体计算定积分，求出图形的面积9若函数 的图象在区间 上只有一个极值点，则 的取2sin0yx,36值范围为（ ）A. B. C. D. 3123492【答案】B【解析】结合题意，函数唯一的极值点只能是 ，所以有 2x326得 。32故选 B.点睛：本题考查由 的部分图象确定其解析式，考查余弦函数的性质，sinyAx考查规范分析与解答的能力，属于中档题由三角函数图象求解析式时，主要是通过图象最高点或最低点得到

6、振幅 ，通过图象的周期得到 ，最后代入特殊点得到 的值；在对于 ，易知(0,0)为对称中心，区间 ，对称轴左边2sin0yx,36的区间长，所以唯一的一个对称轴只能在 x=0 左边.10 在不等式组 所表示的平面区域上，点 在曲线M34 0xyN上，那么 的最小值是（ ）24xyMNA. B. C. D. 1132【答案】D【解析】如图,画出平面区域(阴影部分所示 ),由圆心 向直线 作垂线,20C， 340xy圆心 到直线 的距离为 ,20C， 340xy23402又圆的半径为 1,所以可求得 的最小值是 1MN故选 D.点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域(2

7、)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形常见的类型有截距型（ 型）axby、斜率型（ 型）和距离型（ 型） ybxa22xayb(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形。11已知正项等比数列 的前 项和为 ，且 ，则nanS8425的最小值为（ ）91012aA. 10 B. 15 C. 20 D. 25【答案】C【解析】由题意可得： ，由 可得910128aaS425S，845S由等比数列的性质可得： 成等比数列，48128,S则： ，综上可得：24128，24910128

8、445251010aaSSS当且仅当 时等号成立.45综上可得，则 的最小值为 20.91012aa本题选择 C 选项.12设函数 在 上存在导函数 ，对任意的实数 都有fxRfxx，当 时， .若24f,0142fx，则实数 的取值范围是( )312mfmA. B. C. D. ,2,1,2,【答案】A【解析】构造函数法令 ，则 ，函数 在 上2Fxfx1402FfxFx,0为减函数，因为 ，即 ，故为奇函数，于是 在 上为减函数，而不等式xx,可化为 ，则 ，即312fmf1Fm1m.选 A.2三、填空题13如图甲所示，在直角 中， ， 是垂足，则有ABC,ABDC，该结论称为射影定理.如

9、图乙所示，在三棱锥 中， 2ABD B平面 ， 平面 ， 为垂足，且 在 内，类比直角三OO角形中的射影定理，则有_【答案】 2CCDSSA【解析】结论： .证明如下在BCD 内，延长 DO 交 BC 于 E，连接 AE，AD平面 ABC，BC平面 ABC，BCAD，同理可得：BCAOAD、AO 是平面 AOD 内的相交直线，BC平面 AODAE、 DE平面 AODAEBC 且 DEBCAED 中，EAAD，AO DE根据题中的已知结论,得 AE2=EOED两边都乘以 得21(),BC211()2AEBCOEDAE、 EO、ED 分别是ABC、BCO、 BCD 的边 BC 的高线 0,22AB

10、CBCBCDSSSAA有 ().故答案为： .2CCDA14已知函数 ，其中 且 ，若函数 的图象log,0 34axfx0a1fx上有且只有一对点关于 轴对称，则 的取值范围是_ y【答案】 0,1,（ ）【解析】将 在 轴左侧的图象关于 轴对称到右边，与 在 轴右侧的图象有且只fxyyfxy有一个交点。当 时一定满足，01a当 时必须 ，解得 .log4a4综上 的取值范围是 .0,1,（ ）点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数

11、形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解15已知点 是 的外接圆圆心，且 若存在非零实数 ，使得，且 ，则 .【答案】【解析】试题分析：设 AC 中点为 M， ,所以 B,O,M 三点共线，所以 【考点】向量共线16已知数列 ， 是其前 项的和且满足 ，则nanS*32naSN_nS【答案】 31234n【解析】当 时， ， ，1aS1a当 时， ， 2n3n 2n-得： ，即 ， 1n 13n1322nna，又123na1302a数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，n得 ， ，132na132na代入得： 。4nS答案为： 3n四、解答题17在

12、中.设内角 的对边分别为 ，向量 ，向量ABC,B,abccos,inmA， .2sin,co 2mn（1）求角 的大小；（2）若 ，且 ，求 的面积.4baABC【答案】 （1） ；（2） .A16【解析】试题分析：（1）由 ，可222cosinsicomnAA得 从而可解得角 的大小；cos0,4A（2）由余弦定理可建立一个关于 的方程为a，这样解出 ，从而确定了ABC 的边222442cos4aaaa长，再根据三角形的面积公式即可得出ABC 的面积试题解析：（1） 222cosinsicmnAA，4i4co又因为 ，cos,As0,A0,故 ， ；424（2）由余弦定理得 ，22cosa

13、b即 ，4aa解得 ， ，48c .12162ABCS18等差数列 和等比数列 的各项均为正整数，且 的前 项和为nanb13,abn，数列 是公比为 16 的等比数列， .nSb2S（1）求 ；,n（2）求证 .12134nSS【答案】 （1） ；（2）证明见解析.1,nab【解析】试题分析：（1）设 的公差为 ， 的公比为 ，依题意有nadnbq，从而根据 都是正整数，解方程即可；13126 62nndabqSq，（2）由 ，得 ，利用裂项相消求和即可.n1122nSn试题解析：（1）设 的公差为 ， 的公比为 ，则 都是正整数， nadnbqd， 3n1nbq依题意有 13126 62n

14、ndabqS注意 为正整数，可得 ，所以dq， 4dq1321,4nnab（2） 3521nSn 12 13452n n .13452n 134n点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中 是各项均不为零的1ncana等差数列，c 为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和，还有一类隔一项的裂项求和，如 或 .13n219如图 是圆柱体 的母线， 是底面圆的直径， 分别,ABCOAB,MN是 的中点， .1,AB（1）求证: 平面 ；/MNABC（2）求点 到平面 的距离；（3）求二面角 的大小.

15、【答案】(1)证明见解析；(2) ；(III) 36【解析】试题分析：以 为原点， 分别为 轴的正方向建立空间坐,BAC,xyz标系，（1）平面 的法向量可取 ，由 ，从而得证；ABC0,1e0eMN（2）求出平面 的法向量 ，利用 求解即可；M,3mmd（3）求出平面 的法向量 ，平面 的法向量可取12,nC，由 求解二面角的余弦值即可.21,0n12cos,试题解析：因为 是直径，所以 , ,ABCA3又母线 ,所以 , 。 BC以 为原点， 分别为 轴的正方向建立空间坐标系，可得各点坐标Cxyz如下：.10,2,30,1,0,3,02CABAMN (1)平面 的法向量可取 ， ,因为 ，

16、且,e,3eM不在平面 内，所以MNABC/NABC平 面(2)设平面 的法向量 ，则 ，,mxyz00 3xyz取 得1y0,3点 到平面 的距离即向量 在法向量上的投影，CBMC.23md(3)设平面 的法向量 ，则 ，B1,nxyz 200 3xzmBCMy取 得1y23,n平面 的法向量可取 ，所以 ，CM 21,0n12cos,4n易见二面角是锐角，所以二面角 的大小是BCM620已知 （其中 ） .2ln,6fxgxaR（1）求函数 在 上的最小值；10tt（2）对一切 恒成立，求实数 的取值范围.0, 0xfxga【答案】 （1） ；（2 ）min1, ,tefl5ln2【解析】

17、试题分析：（1）函数求导得 ， ，即可l1fx 10fxe得单调性，利用单调性求函数最值即可；（2）由 恒成立得 对一切 恒成立，只需0fxg6lna,即可，设 ，求 最小即可.minahl(0)hxxminhx试题解析：（1 ）求导得 令l1,f1fe当 时， 是减函数，0,xe0,fxf当 时， 是增函数。1,ffx当 ，即 时， ；0te10temin1ffe当 时，即 时， 在 增， 。1ttfx,tminlfxft.min1,0 ,tefxl（2 ）由 ，可得fgx2ln60xa6lnax设 ，则6ln(0)hx23,h当 时 是减函数，当 时 是增函数，0,2,x,x0,hx.mi

18、n5ln2hx因为对一切 恒成立， .0, 0fxgmin5l2ahx点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转0fx化为 ，若 恒成立，转化为 ;min0fxmax0f（3）若 恒成立，可转化为 .（需保证最值同时成立）fxginfg21如图所示，四棱锥 的侧面 底面 ，底面 是直角PABCDPABCD梯形，且 , , 是 中点./,AB12EP（1）求证： 平面 ；CEPAB（2）若 ，求直线 与平面 所成角的大小.3,4CEPD【答案】 （1）证明见解析；（2） 6【解析】

19、试题分析：（1）取 的中点 ，连结 ，易得 ， AF,EFAP，从而得 平面 ，只需证得 即可；ABDFPB/C（2）设点 O， G 分别为 AD， BC 的中点，连结 ，则 ，可证得 平面OGBO，故 两两垂直，可以点 O 为原点，分别以 的方向为C, ,G轴的正方向，建立空间直角坐标系 ，求出平面 的法向量 ，利用,xyz xyzPDn即可得解.sinco,E试题解析：（1）证明：取 的中点 ，连结 ，如图所示APF,DE因为 ，所以 D因为侧面 , 且 ,BC底 面 =ABAD所以 平面 ，又 平面 ，所以 BPF又因为 ，所以 平面 APF因为点 是 中点，所以 ，且 E/E2又因为

20、，且 ，所以 ，且 ，/CD2AB/CDE所以四边形 为平行四边形，所以 ，所以 平面 FFPAB（2）设点 O， G 分别为 AD， BC 的中点，连结 ，则 ，OG/AB因为 平面 ， 平面 ，ABPDAPD所以 ，所以 因为 ，由（）知， 3EC3,F又因为 ，所以 ，42所以 22,APF所以 为正三角形，所以 ，DPOAD因为 平面 ， 平面 ，所以 BBPO又因为 ，所以 平面 C故 两两垂直，可以点 O 为原点，分别以 的方向为 轴的,OG,G,xyz正方向，建立空间直角坐标系 ，如图所示xyz， ， ，0,3P1,20,CD13,2E所以 ， ， ，,D,P 3,02C设平面

21、的法向量 ，PC,nxyz则 所以 取 ，则 ， 0, n30, 2z13,01n设 与平面 所成的角为 ，则 ，ECPDsinco,2EC因为 ，所以 ，所以 与平面 所成角的大小为 0,26PD622已知函数 （其中 ）在点 处的切线斜率为 1.bfxa,aR1,f（1）用 表示 ；ab（2）设 ，若 对定义域内的 恒成立，求实数 的取值范lngxfx1gxa围；（3）在（2）的前提下，如果 ，证明： .12x12【答案】 （1） ；（2） ；（III）证明见解析.ba,【解析】试题分析：（1）由题意 即得；fab（2） 在定义域 上恒成立，即1lnlngxfxx0,，由 恒成立，得 ，再

22、证当 时， 即可；min 1min1gx（3）由（2）知 ，且 在 单调递减；在 单调递增，当1agx0,1,时，不妨设 ，要证明 ，等价于12gx212x，需要证明 ，令21xg，可证得 在 上单调递增， ,0,GxgGx0,即可证得.10试题解析：（1 ） ，由题意 2bfxa 11faba（2 ） 在定义域 上恒成立，即lnlngfxx0,。minx解法一： 恒成立，则 。111gaa当 时， ，a22 21xxgxa 令 得 （注意 ）01,01a所以 时， 单调递减；当 时， ,x,gxx,x0,gx单调递增。g所以 ，符合题意。min12xa综上所述， 对定义域内的 恒成立时，实数

23、 的取值范围是 。xa1,解法二：（分离变量） 恒成立，分离变量可1lnlnagxfxx得对 恒成立，21lnln1xax0,令 ，则 。2l1hxmaxh这里先证明 ，记 ，则 ，lnln1s1sx易得 在 上单调递增，在 上单调递减， ，所以sx0, ,max10s。l1因此， ，且 时 ，221lnxh1h所以 ，实数 的取值范围是 。max1,（3 ）由（2 ）知 ，且 在 单调递减；在 单调递增，gx011,当 时，不妨设 ，要证明 ，等价于12gx22x，2只需要证明 ，这里 ，121xgx10x令 ,Gx，求导得2lnlnaaxx.2 22 21112x axx 注意当 时， ， ， （可由基本不等式推出）0,x22x又 1a因此可得 ，当且仅当 时等号成立。210Ga1,a所以 在 上单调递增， ，也即 ， x0, 0Gx2gx,1因此 ，此时 都在单调递增区间 上，122gxgx12,x1,所以 ，得1